7．如右图，在正方体中，点为线段的中点，则异面直线与所成角的值为（）
A.B.
C.D.
8.已知是圆的动弦，且，则的中点的轨迹方程是（）．
A.B.C.D.
9.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为（）．
A.B.C.D.
10.已知点M（a，b）在圆O：
x2＋y2＝4外，则直线ax＋by＝4与圆O的位置关系是（ ）
A.相离B.相切C.相交D.不确定
11．如图，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD的中点，F,G分别是边BC,CD上的点，且＝＝，则（）
A．EF与GH互相平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
12.奇函数、偶函数的图像分别如图1、2所示，方程，的实根个数分别为、，则（ ）
A.10B.8C.7D.3
二、填空题:
本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中答题卷相应横线上，否则不给分。
13．两直线3x＋4y－9＝0和3x＋my+1＝0平行，则它们之间的距离为___________．
14.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等
的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为.
15.已知圆C1：
和圆C2：
，
则两圆的公切线有条．
16.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点．
在此几何体中，给出下面四个结论：
①B，E，F，C四点共面；
②直线BF与AE异面；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD；．
⑤折线B→E→F→C是从B点出发，绕过三角形PAD面，到达点C的
一条最短路径．
其中正确的有 ．（请写出所有符合条件的序号）
三、解答题：
本题有6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知.
（1）求出函数的定义域，并求不等式的解集.
（2）判断的奇偶性并证明.
18.（本小题满分12分）.
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的方程.
19.（本小题满分12分）
如图，正方体的棱长为2，、分别是、、的中点.
（1）求证：
∥平面；
（2）求与平面所成的角的正切值.
20.（本小题满分12分）
某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，
将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁
以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以
上的概率为，求x、y的值．
21．（本小题满分12分）
如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B．
（1）证明：
平面AB1C⊥平面A1BC1；
（2）设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求的值．
22．（本小题满分14分）
已知圆M的方程为，直线的方程为，点P在直线上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）若，试求点P的坐标；
（2）若P点的坐标为，过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，
求直线CD的方程；
（3）经过A，P，M三点的圆必过定点，求出所有定点的坐标．
福建省厦门市2018-2019学年下学期期中考试
高一数学试题参考答案
一、选择题：
1-5BADCC6-10BACBC11-12DA
二、填空题：
13．14.15.16.①②③
三、解答题：
17.（本小题满分12分）
解:
（1）由解得函数的定义域为,……………………………2分
由即
由解得不等式的解集为……………6分
（2）判断知为奇函数,……7分
证明:
设任意,所以函数为奇函数.……12分
18.（本小题满分12分）
解：
（1）因为AB边所在直线的方程为，……………………1分
………………3分
又因为点在直线AD上，
所以AD边所在的直线的方程为，即．…………6分
（2）由，解得点A的坐标为，…………………………………8分
因为矩形ABCD两条对角线的交点为，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心，
又，………………………………………………11分
从而矩形ABCD外接圆的方程为．……………………12分
19．（本小题满分12分）
证明:
（1）、分别是、的中点.
∥平面……………………………………………6分
（2）
是在平面上的投影
是与平面所成的角………………………8分
与平面所成的角的正切值为.………………………12分
20.（本题满分12分）
解:
（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，
设抽取学历为本科的人数m，
∴＝，解得m＝3.……2分
∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3.
记至少有1人的学历为研究生为事件A………3分
从中任取2人的所有基本事件有：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），
（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）．共10个……5分
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），
（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）．共7个……6分
∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为.……7分
（2）依题意得：
＝，解得N＝78.……8分
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.……9分
∴＝＝.
解得x＝40，y＝5.∴x＝40，y＝5.……12分
21.（本题满分12分）
（1）证明:
因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1．
又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1．又B1C⊂平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1．……6分
（2）解:
设BC1交B1C于点E，连接DE，
因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE．
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即＝1……12分
22.（本题满分14分）
解：
（1）点P在直线上,可设，又
由题可知
（2m）2+（m﹣2）2=4，………………………2分
解之得：
，
故所求点P的坐标为P（0，0）或．…………………4分
（2）①当斜率不存在时,直线CD的方程为：
，此时直线CD与圆M相离，不符合。
…5分
②当斜率存在时，设直线CD的方程为：
y﹣1=k（x﹣2），
由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，…………7分
解得，k=﹣1或，故所求直线CD的方程为：
x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．……9分
（3）设P（2m，m），MP的中点，
因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，
故其方程为：
……11分
化简得：
x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式，
故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，
解得或
所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或………………………14分
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高一数学试题
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
最后要将所有答案填写在答题卷上，否则不给分。
1．已知集合,,则（）
A.B.C.D.
2.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
3.如图，是的斜二测直观图，斜边，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
4．若圆关于直线对称，则实数的值为（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
5.如图，函数的图像过矩形OABC的顶点B，且.
若在矩形OABC内随机地撒100粒豆子，落在图中阴影部分
的豆子有67粒，则据此可以估算出图中阴影部分的面积约为（ ）
A．2.64B．2.68C．5.36D．6.64
6.如图是某年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个）.去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1,a2,则一定有（ ）
A.a1>a2B.a17．如右图，在正方体中，点为线段的中点，则异面直线与所成角的值为（）
A.B.
C.D.
8.已知是圆的动弦，且，则的中点的轨迹方程是（）．
A.B.C.D.
9.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为（）．
A.B.C.D.
10.已知点M（a，b）在圆O：
x2＋y2＝4外，则直线ax＋by＝4与圆O的位置关系是（ ）
A.相离B.相切C.相交D.不确定
11．如图，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD的中点，F,G分别是边BC,CD上的点，且＝＝，则（）
A．EF与GH互相平行
B．EF与GH异面
C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
D．EF与GH的交点M一定在直线AC上
12.奇函数、偶函数的图像分别如图1、2所示，方程，的实根个数分别为、，则（ ）
A.10B.8C.7D.3
二、填空题:
本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中答题卷相应横线上，否则不给分。
13．两直线3x＋4y－9＝0和3x＋my+1＝0平行，则它们之间的距离为___________．
14.一个几何体的三视图如右图所示，其中
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