高三数学理一轮复习讲解与练习91分类加法计算原理和分步乘法计数原理含答案解析.docx
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高三数学理一轮复习讲解与练习91分类加法计算原理和分步乘法计数原理含答案解析
第一节 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
高考中，对于两个计数原理一般不单独考查，多与排列、组合相结合考查，且多为选择、填空题，如2012年北京T6，浙江T6等.
[归纳·知识整合]
1．分类加法计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事，共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
[探究] 1.选用分类加法计数原理的条件是什么？
提示：
当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分类加法计数原理．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．
[探究] 2.选用分类乘法计数原理的条件是什么？
提示：
当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理．
[自测·牛刀小试]
1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为（ ）
A．182 B．14
C．48D．91
解析：
选C 由分步乘法计数原理得不同取法的种数为
6×8＝48.
2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（ ）
A．3种B．6种
C．7种D．9种
解析：
选C 分3类：
买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7种．
3．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有（ ）
A．30B．20
C．10D．6
解析：
选D 从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由加法原理得共有N＝3＋3＝6种．
4．如图，从A→C有________种不同的走法．
解析：
分为两类：
不过B点有2种方法，过B点有2×2＝4种方法，共有4＋2＝6种方法．
答案：
6
5．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为________．
解析：
建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，有2种方法，故由分步乘法计数原理得映射有23＝8个．
答案：
8
分类加法计数原理
[例1]
（1）（2012·北京高考）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．18
C．12D．6
（2）将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（ ）
A．80B．120
C．140D．50
[自主解答]
（1）法一：
（直接法）本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C
C
A
＋C
C
＝12＋6＝18；
法二：
（间接法）奇数的个数为n＝C
C
C
A
－C
C
＝18.
（2）分两类：
若甲组2人，则乙、丙两组的方法数是C
A
，此时的方法数是C
C
A
＝60；若甲组3人，则方法数是C
A
＝20.根据分类加法计数原理得总的方法数是60＋20＝80.
[答案]
（1）B
（2）A
本例
（1）条件不变，求有多少个能被5整除的数？
解：
能被5整除的数分两类：
当个位数是0时，有A
＝6个；
当个位数是5时，若含有数字0时，则有2个，若不含有0时，则有C
·A
＝4个．故共有12个能被5整除的数．
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使用分类加法计数原理计数的两个条件
一是根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；
二是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
1．若自然数n使得作竖式加法n＋（n＋1）＋（n＋2）均不产生进位现象，则称n为“良数”．例如：
32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1000的“良数”的个数为（ ）
A．27B．36
C．39D．48
解析：
选D 一位“良数”有0,1,2，共3个；两位数的“良数”十位数可以是1,2,3，两位数的“良数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的“良数”有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共3×3＝9个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位“良数”，共有3×9＝27个．根据分类加法计数原理，共有48个小于1000的“良数”．
分步乘法计数原理
[例2] 学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有________种（用数字作答）．
[自主解答] 有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是（1,2），（3,4）；（1,2），（4,5）；（1,2），（5,6）；（2,3），（4,5）；（2,3），（5,6）；（3,4），（5,6），共六种情况，把四名教师进行全排列，有A
＝24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同的排法6×24＝144种．
[答案] 144
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使用分步乘法计数原理计数的两个注意点
（1）要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；
（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
2．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni（i＝1,2,3）表示第i行中最大的数，则满足N1解析：
由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A
A
＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为A
A
＝4，由分类乘法计数原理知满足条件的排列个数是240.
答案：
240
两个计数原理的综合应用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
[例3] 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．
[自主解答] 分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同色，则2,6的涂法为2×2，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是C
（2×2＋C
×1）×（2×2＋C
×1）＝3×6×6＝108.
[答案] 108
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应用两个原理解决实际问题的注意点
在解决实际问题中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．
3．如图所示，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．288种 B．264种
C．240种D．168种
解析：
选B 分三类：
①B，D，E，F用四种颜色，
则有A
×1×1＝24种方法；
②B，D，E，F用三种颜色，则有A
×2×2＋2A
×2×1＝192种方法；
③B，D，E，F用两种颜色，则有A
×2×2＝48，所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264种．
2个区别——两个计数原理的区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
每类办法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成
每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类办法之间是互斥的，并列的，独立的
各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏
3个注意点——利用两个计数原理解题时的三个注意点
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；
（2）分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；
（3）混合问题一般是先分类再分步．
.
数学思想——计数原理中的分类讨论
从近几年的高考试题来看，两个计数原理的问题重点考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想的应用．解决此类问题时，需要分清两个原理的区别，一般情形是考虑问题有几种情况，即分类；考虑每种情况有几个步骤，即分步．要求既要会合理分类，又要能合理分步．
[典例] （2012·浙江高考）若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）
A．60种 B．63种
C．65种D．66种
[解析] 对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个数为奇数，4个数均为奇数，因此共有C
＋C
C
＋C
＝66种．
[答案] D
（1）本题主要考查排列组合计数问题，可通过分类讨论思想进行求解，即把所取的4个数分为三类求解．
（2）对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现重复或遗漏的现象．
1．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有（ ）
A．9种 B．16种
C．20种D．28种
解析：
选D 当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数，当a为其他数时，b都可以取3个数．故共有28种情形.
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有（ ）
A．30个 B．42个
C．36个D．35个
解析：
选C ∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．
2．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ）
A．16种B．18种
C．37种D．48种
解析：
选C 三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37种．
3．（2013·哈尔滨模拟）如图所示，在A，B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ）
A．9种B．11种
C．13种D．15种
解析：
选C 每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂，但电路通的情况却只有3种，即焊接点2脱落或焊接点3脱落或全不脱落，故满足题意的焊接点脱落的不同情况共有24－3＝13种．
4．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（ ）
A．12种B．24种
C．30种D．36种
解析：
选B 从4位同学中选出2人有C
种方法，另外2位同学每人有2种选法，故不同的选法共有C
×2×2＝24种．
5．（2013·汕头模拟）如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A．400种B．460种
C．480种D．496种
解析：
选C 从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×（1＋3）＝480种．
6．（2013·杭州模拟）如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（ ）
A．60B．48
C．36D．24
解析：
选B 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个．
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为________．
解析：
当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8；当公比为3时，等比数列可为1、3、9；当公比为
时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1和8、4、2,9、3、1,9、6、4也是等比数列，共8个．
答案：
8
8．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种（用数字作答）．
解析：
若取出1本画册，3本集邮册，有C
种赠送方法；若取出2本画册，2本集邮册，有C
种赠送方法，则不同的赠送方法有C
＋C
＝10种．
答案：
10
9．将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai（i＝1，2，…，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1解析：
分两步：
第一步，先排a1，a3，a5，若a1＝2，有2种排法；若a1＝3，有2种排法；若a1＝4，有1种排法，所以共有5种排法；第二步再排a2，a4，a6，共有A
＝6种排法，故不同的排列方法有5×6＝30种．
答案：
30
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
10．
（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？
解：
（1）该问题中要完成的事情是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81种报名方法．
（2）该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64种．
11．如右图所示三组平行线分别有m，n，k条，在此图形中
（1）共有多少个三角形？
（2）共有多少个平行四边形？
解：
（1）每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成m·n·k个三角形．
（2）每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成C
C
＋C
C
＋C
C
个平行四边形．
12．把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问
（1）有多少种不同的涂法？
（2）若分割成4块扇形呢？
解：
（1）不同涂色方法数是：
5×4×3＝60种；
（2）如右图所示，分别用a，b，c，d记这四块，a与c可同色，也可不同色，先考虑给a，c两块涂色，分两类：
①给a，c涂同种颜色共5种涂法，再给b涂色有4种涂法，最后给d涂色也有4种涂法，由乘法原理知，此时共有5×4×4种涂法；
②给a，c涂不同颜色共有5×4种涂法，再给b涂色有3种方法，最后给d涂色也有3种方法，此时共有5×4×3×3种涂法．
故由分类加法计数原理知，共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂法．
1．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）
A．4种B．5种
C．6种D．12种
解析：
选C 若甲先传给乙，则有：
甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲，3种不同的传法；同理甲先传给丙，也有3种不同的传法，共有6种不同的传法．
2．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种值A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有________种（用数字作答）．
解析：
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
分两步：
第一步，先选垄，如图．共有6种选法；
第二步：
种植A、B两种作物，有2种选法．
因此，由分步乘法计数原理，不同的选垄种植方法有6×2＝12种．
答案：
12
3．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有________场比赛．
解析：
小组赛共有2C
场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛；根据分类计数原理共有2C
＋4＝16场比赛．
答案：
16
4．某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？
解：
首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：
第一类：
既会排版又会印刷的2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1＝3种选法．
第二类：
既会排版又会印刷的2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2＝12种选法．
再由分类计数原理知共有6＋12＝18种选法．
第三类：
既会排版又会印刷的2人全被选出，同理共有16种选法．
所以共有3＋18＋16＝37种选法．
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