特征方程法求解递推关系中的数列通项.docx
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特征方程法求解递推关系中的数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、(一阶线性递推式)设已知数列{an}的项满足a-\=b,ancand,
其中c=0,c=1,求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想
通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程
法:
针对问题中的递推关系式作出一个方程x=cx•d,称之为特征方程;
借助这个特征方程的根快速求解通项公式•下面以定理形式进行阐述.
定理1:
设上述递推关系式的特征方程的根为x0,则当x0=a1时,an
为常数列,即an二a1;当X0二a1时,an二bn■x°,其中{bn}是以c为公比
的等比数列,即bn=0亍」,0=a1-x0•
n1
当X。
=a1时,6=0,数列{bn}是以c为公比的等比数列,故bn-
当x°二a1时,0=0,{bn}为0数列,故a*=a1,n•N.(证毕)
F面列举两例,说明定理1的应用•
1
例1.已知数列{an}满足:
an^^a-2,-N»4,求an.
解:
作方程x
13
2
11
--x-2,则X。
--
3
当a1=4时,
数列{bn}
bn
讪-3)
n-4
1
是以——
3
111n4
(),an23
-3b
比数列•于是
例2.已知数列{an}满足递推关系:
an^(2an-3)i,n,N,其中i为虚数
单位。
当ai取何值时,数列{a.}是常数数列?
a^:
-,a2二:
给出的数列:
an爲方程x2-px-q=0,叫做数列:
an/的
特征方程。
若Xi,X2是特征方程的两个根,当Xi=X2时,数列的通项为an=Ax;」Bx2J,其中A,B由aim,a2=2决定(即把ai,a2,Xi,X2和n=i,2,代入a.二Ax;JBx;」,得到关于A、B的方程组);当捲=x?
时,数列^n』的通项为a^(AB)xinJ,其中A,B由ai-「,a2二:
决定(即把ai,a2,Xi,X2和n=i,2,代入a^(A-Bn)x7,得到关于a、B的方程组)。
例3:
已知数列'a/满足
ai=a,a2=b,3an2-5ani'2an=0(n_0,n•N),求数列:
an的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法)
由3an.2-5an12an=0,得
—2/、
an2an1-3(an1an),
3
且玄2_a〔二b_a。
则数列a,-an[是以b-a为首项,-为公比的等比数列,于是
3
2
ani-an=(b-a)(—)n*。
把n=1,2,3,…,n代入,得
3
a3-a2
a4_a3
=(b一a)(3),
3
=(b-a)(孑,
an-an」=(b-a)
(2)n‘。
3
把以上各式相加,得
222
an-ai=(b-a)[1(―)「•(严]二
333
1召
才(b-a)。
1-
3
an二[3-
n」3b-2a。
n」](b-a)a=3(a-
=0(n一0,nN),
解法二(特征根法):
数列「an1:
3an.2-5anq•2an
2
a^a,a2二b的特征方程是:
3x-5x^0。
聪-AB(|厂。
‘A=3b—2a
故an=3b-2a3(^b)(-)n4
3
已知a1的值且对于
三、(分式递推式)定理3:
如果数列{an}满足下列条件:
h均为常数,且
n•N,都有a.i二卫如q(其中p、q、
ran+h
h
ph式qr,r式0,印式一-),那么,
r
当特征方程有两个相同的根
右a1
-■,则an-■,n•N;
a
an=1■,nN,
bn
bn
a1
—(n_1)—,n-;p—r■
N.特别地,当存在n°•N,使bn0=0时,
无穷数列{an}不存在.
{an}的通项公式.
则有
Cn弓-捫,nN.
55
-2_1
55
2(4i
55
n
N.
即an二
(-5)°-4
n^N.
n'
2(-5)n
例5.
已知数列{an}满足:
对于n・N,都有ani
_13an-25
an3
(1)
ai
-5,求an;
(2)
ai
=3,求an;
(3)
ai
=6,求an;
(4)
ai取哪些值时,无穷数列{a.}不存在?
13x—252
解:
作特征方程x.变形得x「10x•25=0,
特征方程有两个相同的特征根■-5.依定理2的第(i)部分解答.
(1)••
ai
=5,.a^—,.•对于n二N,都有an=,—5;
ai
二bn
ai-
1r
一(n_i)—p_r扎
丄(n_1)--
3-513-15
1n-1
=——十
28
令bn
=0,得n=5.故数列{an}从第5项开始都不存在,
当nw4,nN时,an=丄二切_仃
bn
n-5
⑶•a〔二6?
■—5,--a〔=.•■..
1rn—1
•••bn(n-1)1,nN・
a〔一九p—hr8
5n43
nN.
令bn=0,则n--7'n.•••对于nN,bn=0.
11
——+A=
bn1•口
8
的解答过程知,
a1=5时,数列{a.}是存在的,当a^■-5时,则有
1r1n-1
bn(n—1),nN.令bn=0,贝U得
5n-13a1,n
n-1
•••当耳二心
n—1
a1-丸p-灯a1-58
(其中n,N且n>2)时,数列{an}从第n项开始便不存在•
于是知:
当a1在集合{-3或5n一13:
N,且n>2}上取值时,无穷
n—1
数列{an}都不存在.
练习题:
求下列数列的通项公式:
1、在数列{an}中,a1=1,a2=7,an=2az+3an/(n色3),求an。
key:
2、在数列{an}中,a1=1,a2=5,且a^5an4-4an^,求a.。
(key:
1
an=3(4n-1))
3
3、在数列{an}中,=3,a?
=7,an=3an」-2an_2(n_3),求an°(key:
an=2n1-1)
(key:
q=1时,an=a(n—1)(b—a);q=1时,
an
n_1
aqb-(b-a)(-q))
(P=q);an=a「(n-1)b)(p=q)
8、在数列{an}中
a1,a2给定,
an=banJcan/.求
pz_0t2
an.(key:
an二—-
a1(j才■■-');若〉=一:
,
上式不能应用,此时,an
=(n-1)a2:
nJ-(n
_2)aF2
附定理3的证明
定理3(分式递推问题):
如果数列{an}满足下列条件:
已知a1的值且对于
nN,都有ani
panq
(其中p、q、r、h均为常数,且
ranh
ph^qr,r式0,印式—也),那么,可作特征方程x=px+q.
rrx+h
(1)当特征方程有两个相同的根■(称作特征根)时,
1
若a^i=■,贝Uan=■,n•N;若a^/.,贝Uan',n•
bn
bn
(n-1)
ai-
n-N.特别地,
当存在n0•N,使b
无穷数列{an}不存在.
(2)当特征方程有两个相异的根「
'2(称作特征根)
cn-1
nN,其
N,其中
10=0时,
时,则
中
色h卫亘)2,nN,(其中印「2).一2P一2「
证明:
先证明定理的第
(1)部分•
作交换dn=an-rn•N
panq
ranh
an(p-•r)q-'h
ranh
(dn•')(P_'r)qh
r(dn+扎)+h
dn(P-r)-[r2‘(h-p)-q]
rdnh-r
■是特征方程的根,「•■==r■2..;”(h-p)-q=0.
rk+h
将该式代入①式得dn.1二卫虫卫°,n•N.②
rdn+h_貼
将x=P代入特征方程可整理得ph=qr,这与已知条件ph=qr矛盾.
r
故特征方程的根•-于是p一•r=0.
r
③
当d1=0,即a1=d^i…冷=■时,由②式得bn=0,n•N,故an=dn,=',nN.
当di=0即a^■时,由②、③两式可得dn=0,n・N.此时可对②式作如下变化:
1rdnh-';rh*r1r
n.④
dn1dn(p一r)p—rdnp一,r
pxqp-h
由■是万程x的两个相同的根可以求得
rx+h2r
,h+
p「h
r
.h+hr_
2r
Jp=1,
P_rc
P—h”
ph
p
r
2r
将此式代入④式得
1
1r
丄一r,nN
dn1
dnP一r
1_r-
令bn,nN.则bnd=bn,nN.故数列{bn}是以
dnP-’r
r
二bn=b1(n-1),nN.
p-"
1
其中D二一
di
1
当nN,bn=0时,an=dn,nN.
bn
1
当存在n0^N,使bn°=0时,an=dn+丸=——+丸无意义.故此时,bn°
无穷数列{an}是不存在的.
再证明定理的第
(2)部分如下:
•••特征方程有两个相异的根,1、,2,二其中必有一个特征根不等于a1,
a—,
不妨令,2=&.于是可作变换cnn'n・N.
an-入2
故Cn1亠丑匚一1,将an厂旦q代入再整理得
an舟一7-2ran+h
Cn1
an(P-T)q-/
an(p-qr)q-qh
由第
(1)部分的证明过程知乂=卫不是特征方程的根,故
r
十R,-2」
rr
故P_'订=0,P-’2「=0.所以由⑤式可得:
p-■1r
P匕nN丄q-入2han
rx2・x(h-p)-q=O有两个相异根-1、,而方程-x二-__xh与方程
p_xr
2
rx-x(h-p)-q=0又是同解方程
Cn,nN
-q—,-2h
--'i,_
p-12r
将上两式代入⑥式得
p—入订an_,-1
cn」=
p—九2ran一九2
cp—人订
当Ci=0,即ai=-1时,数列{Cn}是等比数列,公比为一.此时对P-扎2「
于n•N都有
p—n」/ai—打、/P—入r、n」
Cn7()=()().
P_2「*1_'2P_‘2「
当g=0即a^=■1时,上式也成立.
a,
由cnn-且/.2可知cn=1,n•N.
an-'-2
所以an二二^1,n•N.(证毕)
Cn-1
注:
当ph=qr时,卫引q会退化为常数;当r=0时,an丫=些qran+hran+h
可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述