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高数读书笔记

篇一：

高数读书笔记

问题1学习多元函数微分学应该注意什么?

答多元函数微分学是一元函数微分学的推广．多元函数微分学与一元函数微分学有密切联系，两者有很多类似之处，但特别应注意的是，两者在概念、理论及计算方法上还有一些实质性的差异从二元到二元以上的函数在理论上以及研究方法上是类似的.因此,我们是以二元函数为代表对多元函数微分学进行研究.在学习本章时．一定要注意与一元函数相对照、类比，比较它们之间的异同，这样有助于学好多元

函数微分学．

问题5二元函数的极限与一元函数的极限有何同异点?

答二元函数的极限定义与一元函数极限定义在文字叙述上是类似的，但实际上二元函数极限比一元函数极限的自变量变化过程在方式

上复杂得多．

对于一元函数y=f（x），当x→x0时，如果极限存在且为a，这里x→x0，是指x始终在x轴上，x或者在x0的左侧趋于x0，或者在x0的右侧趋于x0，f（x）都趋于a．对于二元函数z=f（x，y），当（x，y）→（x0，y0）时，f（x，y）的极限存在且为a，这里是指（x，y）在其定义域内以任意方式趋于点（x0，y0）时，f（x，y）趋于同一个确定值a．由于点（x，y）在其定义域内趋于点（x0，y0）的情形可以很复杂，因此二元函数极

限的复杂性就在这里，故求二元函数极限时必须注意：

（1）求二元函数极限时，不能限制点（x，y）→（x0，y0）的方式（即应该以

任意方式）．

（2）如果限制（x，y）→（x0，y0）的方式来计算二元函数极限，则必须首

先证明极限的存在性（即在已知f（x，y）存在的前提下，才可以用一

条特殊的路径来求此极限）．

（3）若当（x，y）沿着两条不同路径趋于（x0，y0），f（x，y）趋于不同值时，则可断定当（x，y）→（x0，y0）时，f（x，y）的极限不存在（此法可用来判

断极限不存在）．

问题6何谓偏导数?

怎样求偏导数?

答多元函数的偏导数，就是只有一个自变量变化（其它自变量看成是常数）时，函数的变化率因此，求多元函数的偏导数就相当于求一元函数的导数.一元函数的导数公式和求导的四则运算法则对于求多元

函数的偏导数完全适用.

偏导数的求法：

1当二元函数为分段函数时，求在分段点或分段线上的点（x0，y0）处

的偏导数时，要根据偏导数的定义来求即

2。

求多元初等函数偏导数时．可将多元函数视为一元函数，即将不对其求偏导数的那些变量统统看成常量，利用一元函数的求导公式和求导法则求出偏导数.值得指出，多元函数的偏导数记号与一元函数的导数记号不同．偏导数记号、是一个整体，不能分开不能看

成z与x之商，记号z与x本身没有意义.而一元函数的导数记号如，可看成两个微分dz与dx之商.

思考题5如果函数z=f（x,y）在（x0，y0）点偏导数存在，试问z=f（x，y）

在（x0，y0）点一定连续吗?

分析不一定二元函数的连续性与可导性（即一阶偏导数都存在）．两者没有必然联系.这与一元函数可导必连续是不同的为什么偏导数存在而函数可以不连续呢?

这是因为f（x，y）在点m0（x0，y0）存在关于x的偏导数fx（x0，y0），只能得到一元函数z=f（x，y0）在点x=x0处连续.同样，由fy（x0，y0）存在，只能得到一元函数z=f（x0，y）在点y=y0处连续事实上，偏导数fx（x0，y0）与fy（x0，y0）的存在，只反映了f（x，y）沿平行于x轴与平行于y轴两个特殊方向在m0（x0，y0）处的变化率，它们的存在只能保证点m（x，y）沿x轴与沿y轴方向趋于点m0时，函数值f（x，y）趋于f（x0，y0），但这不能保证点m以任何方式趋于点m0时．函数值f（x，y）都趋于f（x0，y0）.所以，函数f（x，y）在点（x0，

y0）偏导数存在，不能保证f（x，y）在点f（x，y）一定

思考题7二元函数f（x，y）在一点处极限存在、连续、偏导数存在可微以及偏导数连续等诸条件之间有何相

互关系?

分析二元函数f（x，y）在点（x0，y0）处，上述诸条件之间关系可以用箭头表示：

其中记号“a→b”，表示“a可以推出b”，两个条件之间没有箭头表示，则表示两条件间没有必然联系，上

式的箭头方向是不可逆的.

二元函数与一元函数诸条件之间的相互关系有相似之处．但又有一些明显不同如一元函数f（x）在x0点有：

可微可导→连续→有极限.

篇二：

高数读书笔记

马燕妮

四川农业大学经济学院高等数学读书笔记

——定积分与不定积分经济学中国成都611130

【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。

定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。

不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。

【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分【abstract】

【keywords】definiteintegral；indefiniteintegral；area；differentiationdivisionintegralmethod；integralmethodinyuan；theindefiniteintegralrationalfunction

一、不定积分与定积分的定义

（一）、定积分的定义：

设f是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割t={?

1,?

2?

?

?

n}，任取点

?

i?

?

i,i?

1,2,?

，n,并作和式?

f（x）?

xi称此和式为函数f在[a,b]上的一个积分和，也

i?

1

n

称黎曼和。

设f是定义在[a,b]上的一个函数，j是一个确定的实数。

若对任给的正数?

，总存在某一正数?

，使得对[a,b]的任何分割t，以及在其上任意选取的点集{?

i}，只要||t||<?

就有

?

f（x）?

xi?

j?

?

则成函数f在区间[a,b]上可积；数j称为f在[a,b]上的定积分

i?

1

n

记作j=

?

b

a

f（x）dx其中，f称为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a,b分别

称为这个定积分的下限和上限。

（二）、不定积分的定义

函数f（x）在区间i的所有的原函数f

?

x?

?

c?

?

c?

r?

称为函数f（x）的不定积分，

dx?

f（x）?

cf（x）?

f（x）（，c为积分常数）,表为f（x）

?

其中∫称为积分符号，x称为积分变量，f（x）称为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，c称为积分常数。

在这里要特别注意：

一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。

列如：

?

1122?

?

?

at?

atatdt?

at?

c；，而?

2?

?

2?

?

?

sinx?

?

cosx,而?

cosxdx?

sinx?

c；

?

13?

1322

?

?

x?

xxdx?

x?

c.，而?

3?

?

3?

?

这也就是说：

d

dx

?

?

f（x）?

和?

f（x）dx是不相等的，即前者的结果是一个函数，而后

者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。

二、基本积分

1

0dx?

csinaxdx?

?

cosax?

c（a?

0）?

?

a

?

dx?

x?

c

x

?

x

?

dx?

x

?

?

1

?

?

1

?

c（?

?

?

1,x?

0）

1

?

x?

lnx?

c

?

edx?

e?

csc

2

?

c

?

adx?

lna?

c（a?

0,a?

1）

x

x

?

secx?

tanx?

secx?

c

dx?

?

cotx?

c

?

cosaxdx?

dx?

x

2

sinax

?

c（a?

0）x

2sec?

xdx?

tanx?

c

?

cscx?

cotxdx?

?

cscx?

c?

?

arcsinx?

c?

?

arccosx?

c

dx

?

1?

x2?

arctanx?

c?

?

arccotx?

c

三、定积分与不定积分的性质

（一）、定积分的性质

1若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf在[a,b]上也可积，且

?

b

b

a

kf（x）dx?

k?

f（x）dx

a

2若f、g都在[a,b]z上可积，则f±在[a,b]上也可积，且

?

b

a

[f（x）?

g（x）]dx?

?

f（x）dx?

?

g（x）dx

a

a

bb

3若f、g都在[a,b]上可积，则f*g在[a,b]上也可积.

4f在[a,b]上可积的充要条件是：

任给c∈（a,b）,f在[a,c]与[c,b]上都可积。

此时又有等式

?

b

a

f（x）dx?

?

f（x）dx?

?

f（x）dx

a

c

cb

5.设f为[a,b]上的可积函数.若f（x）≥0,x∈[a,b],则

?

b

a

f（x）dx?

0.

若f与g为[a,b]上的两个可积函数，且f（x）≤g（x）,x∈[a,b],则有

?

b

a

f（x）dx?

?

g（x）dx

a

b

6.若f在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且

?

b

a

f（x）dx?

?

f（x）

a

b

积分中值定理：

若f在[a,b]上连续，则至少存在一点?

?

[a,b],使得

?

b

a

f（x）dx?

f（?

）（b?

a）.

（推广的积分第一中值定理）若f与g都在[a,b]上连续，且g（x）在[a,b]上不变号，则至少存在一点?

?

[a,b],使得

（二）、不定积分的性质

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：

设函数发f（x）及

g

（x）的原函数存在，则

2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。

即：

设函数f（x）

的原函数存在，k非零常数，

三、定积分与不等积分的计算方法1.分项积分法

则

?

b

a

f（x）g（x）dx?

f（?

）?

g（x）dx

a

b

我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：

f（x）?

k（x）+k）1g12g2（x

?

b

a

f（x）dx，若右端的积分会求，则应用法则?

f（x）dx?

k1?

g1（x）dx+k2?

g2（x）dx,其

a

a

a

bbb

中k1，k2是不全为零的任意常数，就可求出积分，这就是分项积分法.

?

例1计算定积分

4

12

1

.x4（1?

x2）

解利用加减一项进行拆项得

?

=

412

?

?

?

2222

1（1?

x）?

x1（1?

x）?

x

=144dx=144?

1424222

x（1?

x）x（1?

x）xx（1?

x）222?

?

?

111144

?

?

+=dx12x2121?

x2

3x3x4

?

412

412

1+x

?

412

+arctanx

?

412

.

=?

64415?

?

arctan?

.3

3?

?

23

2.分段积分法

分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.

被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.

例2计算定积分

?

1?

（x?

1）min,cosx?

?

dx.?

?

2

?

2?

2

?

?

解由于min?

cosx?

为偶函数，在?

0,

?

?

1

?

2?

?

?

?

?

?

上的分界点为，所以?

32?

?

?

1?

xmin,cosx?

?

dx?

?

?

2

?

2?

2

?

1?

1?

?

?

22

=+2min,cosx（x?

1）min,cosxdx?

?

dx?

?

?

?

?

?

20

?

2?

?

2?

?

?

?

1

=0?

2（?

3?

?

2cosxdx）=?

2?

0233

?

3.换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型：

篇三：

《高等数学》读书笔记

类型课程学习名称：

高等数学1时间：

2006.7.7体裁：

说明文

掌握

黑色增删修内容

2说明：

凡属课程都属说明文。

要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次的说明内容的意思

3步骤：

1填写结构

2对照课程阅读，理解弄懂

合上课程，看书记住没

篇四：

数学读书笔记

数学读书笔记

暑假读了黄先明的《高中数学学习方法》。

首先，他告诉我们高中数学学习要注意以下三点。

一）、课内重视听讲，课后及时复习。

重视课内的学习效率，要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。

二）、适当多做题，养成良好的解题习惯。

从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。

对于一些易错题，可备有错题集。

三）、调整心态，正确对待考试。

首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开。

其次，他将初中数学与高中数学进行了比较。

1、知识差异。

高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善。

2、学习方法的差异。

现在高考数学考察，旨在考察学生能力，避免学生高分低能，避免定势思维，提倡创新思维和培养学生的创造能力培养。

3、学生自学能力的差异。

高中的知识面广，知识全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使学生失去一类型习题的解法。

最重要的，是告诉了我们如何建立好的学习数学兴趣。

（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。

（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。

听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。

（3）思考问题注意归纳，挖掘学习的潜力。

（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？

（5）把概念回归自然。

总结起来，高中数学学习就是要：

多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。

篇五：

数学读书笔记

《小学数学教学论》读书笔记

注重学生在数学课堂中情感态度的培养

学习了著名数学教育专家李光树老师的《小学数学教学论》第一章《小学数学的教学思想》，我颇有感悟，现浅谈一下自己的一点心得体会。

在数学课堂教学中，既需要注重学生知识、能力和培养，又要注重学生情感态度的培养。

应该说，情感态度的培养比知识能力的培养更重要。

小学数学课程标准中明确提出：

“培养孩子积极思考的态度，使孩子在学习过程中增强学习数学的信心，培养孩子学习数学的兴趣。

”我从这几句浅显的话语中悟出了许多深刻的道理。

现代社会是一个知识经济爆炸的年代，社会对孩子的需求也越来越高，作为新一代的教师，我们不仅要培养出成绩优异的孩子，而且要培养出具有自信心的良好心态的孩子。

因为实践证明，良好的心态是成功的第一保障，现代儿童的心理问题已经给我们的教育提出了许多严峻的课题。

因此，我认为数学课堂上也要注重学生情感态度的培养。

在这个问题上，我认为可以从以下三个方面重点培养，主要是积极主动的参与意识；学习数学的自信心；学习数学的兴趣。

仔细思考了一下这三个方面应该是互相联系、辨证统一的。

有了积极主动的参与意识，自信心就慢慢培养了起来，有了学习数学的自信心就有了学习数学的兴趣，如何培养孩子这些方面的情感态度。

首先，在课堂上要充分体现以学生为主体，真正体现学生是学习的主人，创设民主、和谐的课堂氛围。

在课堂上，教师不能以传统填鸭式的方式教学，要让学生通过操作、实验、交流、讨论等活动，自己经历知识的形成过程，自己总结出结论，充分体现学生自主学习、自主探索，这样慢慢的培养起学生的自主参与意识。

其次，要多给孩子鼓励，多给孩子信心，任何孩子在成长中都会犯这样、那样的错误，在数学学习中也难免如此。

这时，老师不要一味地批评，因为过度地批评会让孩子失去信心，会让孩子缺乏思考的勇气，久而久之就会使孩子只学会接受，没有自己的思考和思想，更谈不上学习的自信心和兴趣了。

所以，我们在教学中应该多以鼓励为主，多给孩子一些信心，相信你的学生是最棒的。

最后，我认为除了在思想、情感上多以积极的心态培养孩子外，还应该给孩子们创设学习数学的良好氛围，让孩子们在一个喜欢数学的环境中学习，受到熏染，培养孩子的兴趣。

自信心是成功的第一步阶梯，作为一个教师，有义务也有责任为这一步阶梯奠基，要让学校成为培养孩子自信心的摇篮，不要让孩子的自信心被扼杀在了摇篮里。

我要努力让自己的每节课既要注重学生知识能力的培养，又要注重情感态度的培养。