C．{x∈R|x2＋1＝0}D．{x∈R|x2－1＝0}
【解析】 当x∈R时，方程x2＋1＝0，即x2＝－1无解，集合{x∈R|x2＋1＝0}为∅，显然A，B，D中的集合均为非空集合．
【答案】 C
[小组合作型]
集合的含义
下列每组对象能否构成一个集合：
（1）我们班的所有高个子同学；
（2）不超过20的非负数；
（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；
（4）
的近似值的全体．
【精彩点拨】 判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定．
【尝试解答】
（1）“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合；
（2）任给一个实数x，可以明确地判断是否为“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；（3）“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（4）“
的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“
的近似值”不能构成集合．
判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，则不能构成集合.
[再练一题]
1．下列所给的对象能构成集合的是__________．
（1）所有正三角形；
（2）必修1课本上的所有难题；
（3）比较接近1的正整数全体；
（4）某校高一年级的16岁以下的学生．
【解析】
序号
能否构成集合
理由
（1）
能
其中的元素满足三条边相等
（2）
不能
“难题”的标准是模糊的、不确定的，所以所给对象不确定，故不能构成集合
（3）
不能
“比较接近1”的标准不明确，所以所给对象不确定，故不能构成集合
（4）
能
其中的元素是“16岁以下的学生”
【答案】
（1）（4）
集合的表示法
用适当的方法表示下列集合．
（1）被3除余2的整数；
（2）方程（x＋1）（x2－2）＝0的解集；
（3）直线y＝x－1，y＝－x＋1的交点组成的集合；
（4）直角坐标系内第二象限的点组成的集合．
【导学号：
04100000】
【精彩点拨】
（1）类比奇数表示为x＝2k＋1，k∈Z.
（2）求出方程的解后用列举法表示．（3）联立直线方程组求出交点后用集合表示．（4）结合直角坐标系第三象限内点的符号特征表示．
【尝试解答】
（1）被3除余2的整数表示为3k＋2，k∈Z，用集合表示为{x|x＝3k＋2，k∈Z}．
（2）解方程（x＋1）（x2－2）＝0得x＝－1或x＝±
，故其解集用集合表示为{－1，－
，
}．
（3）由
解得
故两直线的交点为（1,0）．
用集合表示为{（1,0）}．
（4）代表元素是有序数对（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x<0，且y>0}．
1．常见的集合表示：
（1）数集，如偶数集；
（2）不等式（方程）的解集；（3）点集，如直线（曲线）上的点，曲线的交点等．注意：
点用有序实数对（x，y）表示．
2.列举法和描述法各有优点，应根据具体问题确定采用哪种表示方法，一般遵循最简的原则．另外当集合中元素较多或有无限个时，不宜采用列举法．
[再练一题]
2．用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集．
（1）由所有非负奇数组成的集合；
（2）由所有小于20，既是奇数又是质数的数组成的集合；
（3）方程x2＋x＋2＝0的实数解组成的集合；
（4）平面直角坐标系内所有第四象限的点组成的集合．
【解】
（1）由所有非负奇数组成的集合可表示为：
A＝{x|x＝2k＋1，k∈N}，也可以表示为{1,3,5,7，…}，A是无限集．
（2）满足条件的数有3,5,7,11,13,17,19，所以所求集合为
B＝{3,5,7,11,13,17,19}，B是有限集．
（3）因为方程x2＋x＋2＝0的判别式Δ<0，故无实根．
所以所求集合是空集，是有限集．
（4）所求集合为C＝{（x，y）|x>0，y<0，且x∈R，y∈R}，C是无限集．
[探究共研型]
集合元素的特性
探究1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？
某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？
集合定义中“某些确定的”含义是什么？
【提示】 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准；高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．“某些确定的”含义是：
集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
探究2 集合{a，a2}中，元素a能否为1?
【提示】 集合{a，a2}中，元素a不能等于1，因为当a＝1时，a＝a2＝1，不满足集合元素的互异性．
探究3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？
甲同学说：
北京、上海、天津、重庆；乙同学说：
上海、北京、重庆、天津．他们的回答都正确吗？
由此说明什么？
怎样说明两个集合相等？
【提示】 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．
若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}且－3∈A，求实数a的值．
【精彩点拨】 按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三类情况分别求解a的值，注意验证集合A中元素是否满足互异性．
【尝试解答】
（1）若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意；
（2）若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足题意；
（3）若a2－4＝－3，则a＝±1.
当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，满足题意；
当a＝－1时，由
（2）知，不满足题意．
综上可知，a＝0或a＝1.
1.本题以－3是否等于a－3或2a－1或a2－4为标准分类，从而做到“不重不漏”；在解含字母的问题时，常常采用分类讨论思想，注意分类标准的明确．
2.本题在求解过程中，常因忽视检验集合中元素的互异性，而导致产生增解－1.
[再练一题]
3．已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
【解】 若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，
不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合为{1,0,1}，舍去；
当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，
由上可知，x＝0和x＝1都舍去．
综上所述，x＝－1.
1．已知集合M＝{y|y＝x2}，用自然语言描述M应为（ ）
A．函数y＝x2的值域
B．函数y＝x2的定义域
C．函数y＝x2的图像上的点组成的集合
D．以上说法都不对
【解析】 由于集合M＝{y|y＝x2}的代表元素是y，而y为函数y＝x2的函数值，因此M应为y＝x2的值域．故A正确．
【答案】 A
2．下列所给关系正确的个数是（ ）
①π∈R；②
∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ①π∈R显然是正确的；
②
是无理数，而Q表示有理数集，∴
∉Q，正确；
③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；
④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的，故选B.
【答案】 B
3．若集合A＝{3，m＋1}，且4∈A，则实数m＝________.
【解析】 ∵4∈A，A＝{3，m＋1}，
∴4＝m＋1，∴m＝3.
【答案】 3
4．方程组
的解构成的集合用列举法表示是________.
【导学号：
04100001】
【解析】 由
得
∴集合为{（5，－4）}．
【答案】 {（5，－4）}
5．用适当的方法表示下列集合：
（1）方程x（x2＋2x＋1）＝0的解集；
（2）在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；
（3）不等式x－2>6的解的集合；
（4）大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
【解】
（1）∵方程x（x2＋2x＋1）＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
（2）{x|x＝2n＋1，且x<1000，n∈N}；
（3）{x|x>8}；
（4）{1,2,3,4,5,6}．
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