届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学文试题word版.docx

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届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学文试题word版

2018届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试

数学文试题（word版）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数满足（是虚数单位），则=（）

A．1B．-1C．D．

2.已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3.为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则最后一个样本编号是（）

A．0047B．1663C．1960D．1963

4.已知实数满足，则的最小值是（）

A．4B．5C.6D．7

5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）

A．B．C.D．

6.如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，该四棱锥的俯视图如图2所示，则的长是（）

A．B．C.D．

7.在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是（）

A．B．C.D．

8.甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：

“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）

A．吉利，奇瑞B．吉利，传祺C.奇瑞，吉利D．奇瑞，传祺

9.双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）

A．1B．2C.D．

10.若曲线的一条切线是，则的最小值是（）

A．2B．C.4D．

11.已知圆，圆交于不同的，两点，给出以下列结论：

①；②；③，，其中正确结论的个数是（）

A．0B．1C.2D．3

12.中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）

A．B．C.D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.抛物线的焦点坐标是．

14.奇函数的图象关于点对称，，则．

15.已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为．

16.四边形中，，，设、的面积分别为、，则当取最大值时，．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知正项数列的前项和满足：

．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前项和.

18.十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在，，，，，（单位：

克）中，其频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；

（Ⅱ）以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案：

A.所有蜜柚均以40元/千克收购；

B．低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250克的以80元/个收购.

请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

19.如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是菱形，且，点是侧棱的中点.

（Ⅰ）求证：

直线平面；

（Ⅱ）若，三棱锥的体积是，求的值.

20.在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且轴，直线交轴于点，，为椭圆的上顶点，的面积为1.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过的直线交椭圆于，，且满足，求的面积.

21.已知函数的两个极值点，满足，且，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）时，求的值；

（Ⅱ）求的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.

23.选修4-5：

设函数.

（Ⅰ）若的最小值是4，求的值；

（Ⅱ）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:

ABDCC6-10:

ADABC11、12：

DB

二、填空题

13.14.215.16.

三、解答题

17.解：

（Ⅰ）由已知，可得

当时，，可解得，或，

由是正项数列，故.

当时，由已知可得，，

两式相减得，.化简得，

∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.

∴数列的通项公式为.

（Ⅱ）∵，代入化简得，显然是等比数列，

∴其前项和.

18.解：

（Ⅰ）由题得蜜柚质量在和的比例为，

∴应分别在质量为，的蜜柚中各抽取2个和3个.

记抽取质量在的蜜柚为，，质量在的蜜柚为，，，

则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：

，，，，，，，，，，

其中质量均小于2000克的仅有这1种情况，故所求概率为.

（Ⅱ）方案好，理由如下：

由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在，，，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.

若按方案收购：

根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，

于是总收益为

（元）

若按方案收购：

∵蜜柚质量低于2250克的个数为，

蜜柚质量低于2250克的个数为,

∴收益为元.

∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.

19.解：

（Ⅰ）证明：

连接，与交于点，连接.

由是菱形，知点是的中点.又∵点是的中点，∴，

而，，∴.

（Ⅱ）∵，∴，.

又∵，∴，于是.

由已知，得.

令菱形的边长为，则由，可得，

∴，.

∴，

解得，于是.

20.解：

（Ⅰ）设，由题意可得，即.

∵是的中位线，且，∴，即，整理得.①

又由题知，为椭圆的上顶点，∴的面积，

整理得，即，②

联立①②可得，变形得，解得，进而.

∴椭圆的方程为.

（Ⅱ）由可得，两边平方整理得.

直线斜率不存在时，，，不满足.

直线斜率存在时，设直线的方程为，，，

联立，消去，得，

∴，，（*）

由得.

将，代入整理得，

展开得，

将（*）式代入整理得，解得，

∴，，

的面积为，

代入计算得，即的面积为.

21.解：

（Ⅰ）当时，，

由题意知、为方程的两个根.

根据韦达定理得，.

于是.

（Ⅱ）∵，

同（Ⅰ）由韦达定理得，，于是.

∵，

∴

，

由，整理得，代入得，

令，于是可得，

故，

∴在上单调递减，∴.

22.解：

（Ⅰ）由题可变形为，

∵，，∴，∴.

（Ⅱ）由已知有，，设，.

于是由

，

由得，于是，

∴四边形最大值.

23.解：

（Ⅰ），

由已知，知，解得.

（Ⅱ）由题知，又是存在的，∴.

即，变形得，∴，∴.