江苏省高考第一次模拟考试数学理试题含答案.docx

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江苏省高考第一次模拟考试数学理试题含答案

第一次模拟考试

理科数学能力测试

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷（选择题）

一、选择题：

（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，集合，则等于（）

A．B．C．D．

2．复数的虚部是（）

A.iB.－iC.1D.－1

3．在中，若，则（）

A．B．C．D．

4．以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的方程为（）

A．B．

C．D．

5.MOD（a，b）表示求a除以b的余数，若输入a＝34，b＝85，则输出的结果为（）

A.0B.17C.21D.34

6．三棱柱的侧棱长和底面边长均为，且侧棱底面，其正视图是边长为的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为（）

A．B．C．D．

7．设满足约束条件，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

8.已知函数（ω＞0）的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）是减函数的区间为（　）

9．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面,则下列四个命题中错误的为（）

A.若，，则B.若，，则

C.若，，则D.若，，则

10.若a∈[1，6]，则函数y＝在区间[2，＋∞）内单调递增的概率是（）

A.B.C.D.

11．的外接圆的圆心为，半径为,若，且，则向量在向量方向上的投影为（）

A．B．C．D．.

12.已知函数f（x）＝在定义域上单调递增，且对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，则函数g（x）＝f（x）－x在区间（n∈N*）上的所有零点的和为（　　）

A.B.22n－1＋2n－1C.D.2n－1

第II卷（非选择题）

二、填空题：

（本大题共4小题，每小题5分,共20分）

13．已知展开式中常数项为，则正数________

14．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件三个人去的景点各不相同，事件甲独自去一个景点，则__________

15．等于

16．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：

①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________.

三、解答题:

（本大题共6小题70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知：

等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式.

（2）数列的前n项和为Tn，若Tn

18.（本小题满分12分）

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并求样本数据的众数，中位数，平均数和方差.（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；

（2）从被抽取的数学成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；

（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括分）的人数为（以该校学生的成绩的频率估计概率），求的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，为的中点,面．

（1）求的长；

（2）求证：

面面；

（3）求平面与平面相交所成锐角二面角

的余弦值．

20.（本小题满分12分）

如图，已知圆E：

（x＋）2＋y2＝16，点F（，0），P是

圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.

（1）求动点Q的轨迹Г的方程；

（2）已知A，B，C是轨迹Г的三个动点，点A在一象限，B与A关于原点对称，且|CA|＝|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？

若存在，求出此最小值及相应直线AB的方程；若不存在，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

设，曲线在点处的切线与直线垂直．

（1）求的值；

（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围．

请考生在22，23，二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．（本题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程；

（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|x+y﹣1|的最大值．

23．（本题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

设函数

（1）当时，解不等式：

；

（2）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足

，求证：

≥6．

1.A.2．C3．A4..C5.B6.B7.D8.D9..C10．B11．A.12.B

13．【答案】114.【答案】15．【答案】16．【答案】3

17．（本小题共12分）

已知：

等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式

（2）数列的前n项和为Tn，若Tn

.解析　

（1）由已知可得解得d＝q＝2，所以an＝2n＋1，bn＝2n－1，

（2）由＝，故Tn＝3×＋5×＋7×＋…＋（2n＋1）×，由此可得Tn＝3×＋5×＋7×＋…＋（2n＋1）×，以上两式两边错位相减可得Tn＝3＋2－（2n＋1）×＝3＋2－－，即Tn＝10－－，故当n→＋∞时，→0，→0，此时Tn→10，所以M的最小值为10.…………（12分）

18.（本小题满分12分）

某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并求样本数据的众数，中位数，平均数和方差.（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；

（2）从被抽取的数学成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.

（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括分）的人数为（以该校学生的成绩的频率估计概率），求的分布列和数学期望.

解析：

（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：

.

直方图如图所示.

中位数是，

样本数据中位数是分.众数是75；=71；=194

（2），，的人数是，，，所以从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率：

.

（3）因为，，，

所以其分布列为：

0

1

2

3

4

0.2401

0.4116

0.2646

0.0756

0.0081

数学期望为.

19.（本小题满分12分）

如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面，，，，为的中点,面．

（1）求的长；

（2）求证：

面面；

（3）求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值．

（1）取的中点，连接

则为梯形的中位线，

又,所以

所以四点共面……………2分

因为面，且面面

所以

所以四边形为平行四边形，

所以……………4分

（2）由题意可知平面面；

又且平面

所以面

因为所以面

又面，所以面面；……………6分

（3）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系……7分

设为的中点，则

易证：

平面

平面的法向量为……………8分

设平面的法向量为，

由得所以……………10分

所以，……………11分

由所求二面角为锐二面角角，所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值．为…………12分

20.（本小题满分12分）

如图，已知圆E：

（x＋）2＋y2＝16，点F（，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.

（1）求动点Q的轨迹Г的方程；

（2）已知A，B，C是轨迹Г的三个动点，点A在一象限，B与A关于原点对称，且|CA|＝|CB|，问△ABC的面积是否存在最小值？

若存在，求出此最小值及相应直线AB的方程；若不存在，请说明理由.

解　

（1）∵Q在线段PF的垂直平分线上，

∴|QP|＝|QF|，

得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4，

又|EF|＝2＜4，∴Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，

∴Г：

＋y2＝1.

（2）由点A在第一象限，B与A关于原点对称，设直线AB的方程为y＝kx（k＞0），

∵|CA|＝|CB|，

∴C在AB的垂直平分线上，

∴直线OC的方程为y＝－x.

⇒（1＋4k2）x2＝4，|AB|＝2|OA|＝2＝4，同理可得|OC|＝2，

S△ABC＝|AB|×|OC|＝4＝，

≤＝，当且仅当k＝1时取等号，

∴S△ABC≥.

综上，当直线AB的方程为y＝x时，△ABC的面积有最小值.

21．（本小题满分12分）

设，曲线在点处的切线与直线垂直．

（1）求的值；

（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围．

解：

（1）f′（x）=………..1分

由题设f′

（1）=1，∴，∴a=0．………..3分

（2），∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），

即4lnx≤m（3x﹣﹣2）………..4分

设g（x）=4lnx﹣m（3x﹣﹣2），即∀x∈[1，|+∞），g（x）≤0，

∴g′（x）=﹣m（3+）=，g′

（1）=4﹣4m……..6分

1若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g

（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾..7分

2若m∈（0，1），当x∈（1，），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）≥g

（1）=0，与题设矛盾．………..9分

3若m≥1，当x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g

（1）=0，即不等式成立综上所述，m≥1．………..12分

22．（本题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程

22.解：

（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，

则其参数方程为，（α为参数）；………..1分

直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，

即ρsinθ+ρcosθ=3，………..3分,将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，

即直线l的普通方程为x+