高三数学一轮复习精品教案3古典概型教学设计.docx

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高三数学一轮复习精品教案3古典概型教学设计

10.5.1　古典概型

1．理解古典概型及其概率计算公式．

2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．

『梳理自测』

1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为（　　）

A.　　　　　　　　　　B.

C.D.

2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（　　）

A.B.

C.D.

3．甲乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是（　　）

A.B.

C.D.

4．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．

5．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则a＜b的概率为________．

『答案』1.D　2.C　3.B　4.　5.

◆以上题目主要考查了以下内容：

（1）基本事件的特点

①任何两个基本事件是互斥的．

②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．

（2）古典概型

①定义

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

a．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．

b．每个基本事件出现的可能性相等．

②概率公式：

P（A）＝．

『指点迷津』　

1．一条规律

从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I，基本事件的个数n就是集合I的元素个数，事件A是集合I的一个包含m个元素的子集．故

P（A）＝＝.

2．两个特征

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．

3．两种方法

（1）列举法：

适合于较简单的试验．

（2）树状图法：

适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．

考向一　简单古典概型的概率

　（2014·辽宁省大连市调研）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2』，（4.2，4.5』，…，（5.1，5.4』．经过数据处理，得到如下频率分布表：

分组

频数

频率

（3.9，4.2』

3

0.06

（4.2，4.5』

6

0.12

（4.5，4.8』

25

x

（4.8，5.1』

y

z

（5.1，5.4』

2

0.04

合计

n

1.00

（1）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；

（2）从样本中视力在（3.9，4.2』和（5.1，5.4』的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．

『审题视点』　依频数、频率之间的关系求n，x，y，z，列举所有随机事件的结果，由古典概型求概率．

『典例精讲』　

（1）由频率分布表可知，样本容量为n，由＝0.04，得n＝50.

∴x＝＝0.5，y＝50－3－6－25－2＝14，z＝＝＝0.28.

（2）记样本中视力在（3.9，4.2』的三人为a，b，c，在（5.1，5.4』的两人为d，e.

由题意，从五人中随机抽取两人，所有可能的结果有：

（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种．

记事件A表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的可能的结果有：

（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），共4种．

所以P（A）＝＝.

故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为.

『类题通法』　根据公式P（A）＝进行概率计算时，关键是求出n，m的值，在求n值时应注意这n种结果必须是等可能的，对一些比较简单的概率问题，求m，n的值只需列举即可．

1．（2014·武汉市适应性训练）编号为A1，A2，…，A10的10名学生参加投篮比赛，每人投20个球，各人投中球的个数记录如下：

学生编号

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

投中个数

4

13

11

17

10

6

9

15

11

12

（1）将投中个数在对应区间内的人数填入表的空格内；

区间

『0，5）

『5，10）

『10，15）

『15，20）

人数

（2）从投中个数在区间『10，15）内的学生中随机抽取2人，

①用学生的编号列出所有可能的抽取结果；

②求这2人投中个数之和大于23的概率．

『解析』

（1）依题意得，投中个数在对应区间内的人数如下表：

区间

『0，5）

『5，10）

『10，15）

『15，20）

人数

1

2

5

2

（2）①投中个数在区间『10，15）内的学生编号为A2，A3，A5，A9，A10，从中随机抽取2名学生，所有可能的抽取结果为（A2，A3），（A2，A5），（A2，A9），（A2，A10），（A3，A5），（A3，A9），（A3，A10），（A5，A9），（A5，A10），（A9，A10），共10种．

②将“从投中个数在区间『10，15）内的学生中随机抽取2人，这2人投中个数之和大于23”记为事件B，事件B的所有可能的结果为（A2，A3），（A2，A9），（A2，A10），共3种．所以P（B）＝.

考向二　有放回抽样与无放回抽样

　（2014·大连模拟）盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．

（1）从中取出1只，然后放回，再取1只，求①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；

（2）从中一次任取出2只，求2只都是正品的概率．

『审题视点』　从中取一只再放回，属于有放回抽样，每次取灯泡的总数不变，还是3只，可列举事件个数，属于古典概型．

『典例精讲』　

（1）将灯泡中2只正品记为a1，a2，1只次品记为b1，

则第一次取1只，第二次取1只，基本事件总数为9个，

a1a1a2b1　a2a1a2b1　b1a1a2b1

①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为（a1，a1）（a1，a2）（a2，a1）（a2，a2）共4个基本事件；

②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为（a1，b1）（a2，b1）（b1，a1）（b1，a2）共4个基本事件．

（2）“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即a1a2，a1b1，a2b1，“2只都是正品”的基本事件数是1，所以其概率为P＝.

『类题通法』　有“放回抽样”，被抽取的元素总数不变，同一个元素可以被重复抽取．“无放回抽样”，被抽取的元素总数随抽取的次数逐渐减少，同一个元素不会被重复抽取．

2．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．

（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

『解析』

（1）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：

（A，D），（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），共9种，

从中选出的2名教师性别相同的结果有：

（A，D），（B，D），（C，E），（C，F），共4种．

所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝.

（2）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C）（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：

（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F），共6种，

所以选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝＝.

考向三　古典概型与互斥（对立）事件概率的综合应用

　（2014·山东莱芜模拟）中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1，2，3，4，5的五名男记者和编号分别为6，7，8，9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号（x，y）表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x、y，且x

（1）共有多少个基本事件？

并列举出来；

（2）求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率．

『审题视点』　列举所有基本事件从中找出，满足11≤x＋y＜17且x＜y或“x＜y≤5”的个数，用古典概型求概率．

『典例精讲』　

（1）共有36个基本事件，列举如下：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（3，8），（3，9），（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（6，7），（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，9），共36个．

（2）记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，且11≤x＋y<17，其中x

（1）可知事件A共含有15个基本事件，列举如下：

（2，9），（3，8），（3，9），（4，7），（4，8），（4，9），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（6，7），（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），共15个．“都是男记者”记作事件B，则事件B为“x

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个．故P（A）＋P（B）＝＋＝.

『类题通法』　

（1）本题属于求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．

（2）在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时，要保证计数的一致性，就是在计算基本事件数时，都按排列数求，或都按组合数求．

3．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.

（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n

『解析』

（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．

从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个．

因此所求事件的概率P＝＝.

（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：

（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．

又满足条件n≥m＋2的事件为（1，3），（1，4），（2，4），共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.

故满足条件n

1－P1＝1－＝.