北京朝阳区高三数学理一模试题和答案.docx
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北京朝阳区高三数学理一模试题和答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试(理工类)
2013.4
第一部分(选择题共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
(1)为虚数单位,复数的虚部是
A.B.C.D.
(2)已知集合,,则
A.B.C.D.
(3)已知向量,.若,则实数的值为
A.B.C.D.
(4)在极坐标系中,直线与曲线相交于两点,为极点,则的
大小为
A.B.C.D.
(5)在下列命题中,
①“”是“”的充要条件;
②的展开式中的常数项为;
③设随机变量~,若
,则.
其中所有正确命题的序号是
A.②B.③
C.②③D.①③
(6)某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三
视图如图所示,则这个几何体的体积为
A.B.C.D.8
(7)抛物线(>)的焦点为,已知点,为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为
A.B.1C.D.2
(8)已知函数.若,使成立,则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有
A.1个B.2个C.3个D.4个
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
(9)在等比数列中,,则,为等差数列,且,则
数列的前5项和等于.
(10)在中,,,分别为角,,C所对的边.已知角为锐角,且,
则.
(11)执行如图所示的程序框图,输出的结果S=.
(12)如图,圆是的外接圆,过点C作圆的切
线交的延长线于点.若,
,则线段的长是;圆的
半径是.
(13)函数是定义在上的偶函数,且满足
.当时,.若在区间上方程恰有
四个不相等的实数根,则实数的取值范围是.
(14)在平面直角坐标系中,已知点是半圆(≤≤)上的一个动点,点在线段的延长线上.当时,则点的纵坐标的取值范围是.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题满分13分)
已知函数()的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;
(Ⅱ)当时,求函数的取值范围.
(16)(本小题满分13分)
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片,卡片上分别标有数字.称“从盒中随机抽取一张,记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响).
(Ⅰ)在一次试验中,求卡片上的数字为正数的概率;
(Ⅱ)在四次试验中,求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率;
(Ⅲ)在两次试验中,记卡片上的数字分别为,试求随机变量的分布列与数学期望.
(17)(本小题满分14分)
如图,在四棱锥中,平面平面,且,.四边形满足,,.点分别为侧棱上的点,且.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)当时,求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅲ)是否存在实数,使得平面平面?
若存在,
试求出的值;若不存在,请说明理由.
(18)(本小题满分13分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在上有且只有一个零点,求实数的取值范围.
(19)(本小题满分14分)
已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点,直线,与直线分别交于点,.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
(20)(本小题满分13分)
设是数的任意一个全排列,定义,其中.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)求的最大值;
(Ⅲ)求使达到最大值的所有排列的个数.
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案(理工类)
2013.4
一、选择题:
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
A
D
A
C
C
D
A
B
二、填空题:
题号
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
答案
,
1,
(注:
两空的填空,第一空3分,第二空2分)
三、解答题:
(15)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)
.…………………………………………4分
因为最小正周期为,所以.………………………………6分
所以.
由,,得.
所以函数的单调递增区间为[],.………………8分
(Ⅱ)因为,所以,…………………………………10分
所以.………………………………………12分
所以函数在上的取值范围是[].……………………………13分
(16)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)设事件A:
在一次试验中,卡片上的数字为正数,则
.
答:
在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是.…………………………3分
(Ⅱ)设事件B:
在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数.
由(Ⅰ)可知在一次试验中,卡片上的数字为正数的概率是.
所以.
答:
在四次试验中,至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为.……………7分
(Ⅲ)由题意可知,的可能取值为,所以随机变量的可能取值为.
;;
;;
;.
所以随机变量的分布列为
所以.……………………13分
(17)(本小题满分14分)
证明:
(Ⅰ)由已知,,
所以.
因为,所以.
而平面,平面,
所以平面.……………………………………………………4分
(Ⅱ)因为平面平面,
平面平面,且,
所以平面.
所以,.
又因为,
所以两两垂直.……………………………………………………5分
如图所示,建立空间直角坐标系,
因为,,
所以
.
当时,为中点,
所以,
所以.
设异面直线与所成的角为,
所以,
所以异面直线与所成角的余弦值为.…………………………………9分
(Ⅲ)设,则.
由已知,所以,
所以所以.
设平面的一个法向量为,因为,
所以即
令,得.
设平面的一个法向量为,因为,
所以即
令,则.
若平面平面,则,所以,解得.
所以当时,平面平面.…………………………………………14分
(18)(本小题满分13分)
解:
函数定义域为,且…………2分
①当,即时,令,得,函数的单调递减区间为,
令,得,函数的单调递增区间为.
②当,即时,令,得或,
函数的单调递增区间为,.
令,得,函数的单调递减区间为.
③当,即时,恒成立,函数的单调递增区间为.…7分
(Ⅱ)①当时,由(Ⅰ)可知,函数的单调递减区间为,在单调递增.
所以在上的最小值为,
由于,
要使在上有且只有一个零点,
需满足或解得或.
②当时,由(Ⅰ)可知,
(ⅰ)当时,函数在上单调递增;
且,所以在上有且只有一个零点.
(ⅱ)当时,函数在上单调递减,在上单调递增;
又因为,所以当时,总有.
因为,
所以.
所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增,
从而当时,在上有且只有一个零点.
综上所述,或或时,在上有且只有一个零点.…………………………………………………………………………………………13分
(19)(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)设椭圆的方程为,
依题意得解得,.
所以椭圆的方程为.………………………………………………4分
(Ⅱ)显然点.
(1)当直线的斜率不存在时,不妨设点在轴上方,易得,,所以.…………………………………………6分
(2)当直线的斜率存在时,由题意可设直线的方程为,显然时,不符合题意.
由得.
设,则.
直线,的方程分别为:
,
令,则.
所以,.……………………10分
所以
.……………………………………………12分
因为,所以,所以,即.
综上所述,的取值范围是.……………………………………14分
(20)(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ).……3分
(Ⅱ)数的倍与倍分别如下:
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为,所以.
对于排列,此时,
所以的最大值为.……………………………………………………………8分
(Ⅲ)由于数所产生的个数都是较小的数,而数所产生的个数都是较大的数,所以使取最大值的排列中,必须保证数互不相邻,数也互不相邻;而数和既不能排在之一的后面,又不能排在之一的前面.设,并参照下面的符号排列△○□△○□△○□△○
其中任意填入个□中,有种不同的填法;任意填入个圆圈○中,共有种不同的填法;填入个△之一中,有种不同的填法;填入个△中,且当与在同一个△时,既可以在之前又可在之后,共有种不同的填法,所以当时,使达到最大值的所有排列的个数为,由轮换性知,使达到最大值的所有排列的个数为.……………………………13分