二次根式知识点总结及习题带答案.doc

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【基础知识巩固】

一、二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：

在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：

因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

二、取值范围

1.   二次根式有意义的条件：

由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.   二次根式无意义的条件：

因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

三、二次根式（）的非负性

（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：

因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

四、二次根式（）的性质：

一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

（）

注：

二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：

若，则，如：

，.

五、二次根式的性质：

一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

六、与的异同点

1、不同点：

与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的， ，而

2、相同点：

当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.

七、二次根式的运算

1、最简二次根式必须满足以下两个条件

（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.

2、乘法法则：

=·（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.

3、除法法则：

（b≥0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.

4、合并同类项的法则：

系数相加减，字母的指数不变.

5、二次根式的加减

（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。

（2）步骤：

如果有括号，根据去括号的法则去掉括号；把不是最简二次根式的二次根式化简；合并被开方数相同的二次根式。

6、混合运算：

与有理数的运算一致，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面。

有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

二次根式有意义的条件：

例1：

求下列各式有意义的所有x的取值范围。

解：

（1）要使有意义，必须，由得，

当时，式子在实数范围内有意义。

（2）要使有意义，必须

的范围内。

当时，式子在实数范围内有意义。

小练习：

1、

（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？

（2）当x是多少时，+在实数范围内有意义？

②

（3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？

（4）当时，有意义。

2.使式子有意义的未知数x有（）个．

A．0B．1C．2D．无数

3．已知y=++5，求的值．

4．若+有意义，则=_______．

5.若有意义，则的取值范围是。

最简二次根式例2：

把下列各根式化为最简二次根式：

解：

同类根式：

例3：

判断下列各组根式是否是同类根式：

分析：

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。

解：

分母有理化：

例4：

把下列各式的分母有理化：

分析：

把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，均为有理化因式。

解：

求值：

例5：

计算：

分析：

迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。

解：

（1）原式

化简：

例6：

化简：

分析：

应注意

（1）式，

（2），所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。

解：

例7：

化简练习：

解：

化简求值：

例8：

已知：

求：

的值。

分析：

如果把a，b的值直接代入计算的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到互为有理化因子可计算，然后将求值式子化为的形式。

解：

小结：

显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。

类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。

例9：

在实数范围内因式分解：

[来源:

学*科*网Z*X*X*K]

1、2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】2（x＋）（x－）

2、x4－2x2－3．【提示】先将x2看成整体，利用x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，ab＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋）（x－）．

例10、综合应用：

如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：

几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？

PQ的距离是多少厘米？

（结果用最简二次根式表示）

一、选择题：

在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。

1、成立的条件是：

A． B． C． D．

2、把化成最简二次根式，结果为：

A． B． C． D．

3、下列根式中，最简二次根式为：

A． B． C． D．

4、已知t<1，化简得：

A． B． C．2 D．0

5、下列各式中，正确的是：

A． B．

C． D．

6、下列命题中假命题是：

A．设 B．设

C．设 D．设

7、与是同类根式的是：

A． B． C． D．

8、下列各式中正确的是：

A． B．

C． D．

三、1、化简

2、已知：

求：

【答案】：

一、选择题：

1、B 2、C 3、B 4、D 5、B

6、C 7、D 8、D 9、C 10、B二、计算：

三、

二次根式测试题

（一）

1．下列式子一定是二次根式的是（）

A．B．C．D．

2．若，则（）

A．b>3B．b<3C．b≥3D．b≤3

3．若有意义，则m能取的最小整数值是（）

A．m=0B．m=1C．m=2D．m=3

4．若x<0，则的结果是（）

A．0B．—2C．0或—2D．2

5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）

A．B．C．D．

6．如果，那么（）

A．x≥0B．x≥6C．0≤x≤6D．x为一切实数

7．小明的作业本上有以下四题：

①；②；

③；④。

做错的题是（）

A．①B．②C．③D．④

8．化简的结果为（）A．B．C．D．

9．若最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（）

A．B．C．a=1D．a=—1

10．化简得（）A．—2B．C．2D．

11．①；②。

12．二次根式有意义的条件是。

13．若m<0，则=。

14．成立的条件是。

15．比较大小：

。

16．，。

17．计算=。

18．的关系是。

19．若，则的值为。

20．化简的结果是。

21．求使下列各式有意义的字母的取值范围：

（1）

（2）（3）（4）

22．化简：

（1）

（2）（3）（4）

23．计算：

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

24．若x，y是实数，且，求的值。

二次根式

（一）

1．C2．D3．B4．D5．A6．B7．D8．C9．C10．A

11．①0.3②12．x≥0且x≠913．—m14．x≥115．<

16．1817．18．相等19．120．

21．

（1）

（2）（3）全体实数（4）

22．解：

（1）原式=；

（2）原式=；

（3）原式=；（4）原式=。

23．解：

（1）原式=49×；

（2）原式=；

（3）原式=；

（4）原式=；

（5）原式=；（6）原式=。

24．解：

∵x—1≥0,1—x≥0,∴x=1，∴y<.∴=.

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