辽宁省名校联盟届高三份联合考试数学试题含答案解析.docx
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辽宁省名校联盟届高三份联合考试数学试题含答案解析
辽宁省名校联盟2021届高三3月份联合考试
学2021.3
考生注意：
1.本试卷分选择題和非逸择题两梆分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案签崔答题卡上。
选择題毎小题选出答案后，用2B4&C把答題卡上对应趨目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5米黑邑屋水签■字笔在答題卡上各题的答題区城内作答•厚単等粵孚学丰芦禺等率不寳李母嬰蓼、拿寮竽占作等不孜。
3.本卷命題范田；命#■注乳
一、单项选择题：
本题共8小题，毎小题5分，共40分.衽每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={H|lVrW2},B=®.y=2e+a,j：
€川，若AGB,则实数“的取值范国为
A.[l,2]B.[—2,—1]C.[-2,2]D.[-l,l]
2.已知复数z二与拶是纯虎数（其中i是虔数单位），则实数a的值为
厶1
A.1B.2C.3D.—2
3.为了更好地进行新冠肺炎的疫情防控•某礼区安排6名丄作人员到A,B,C三个小区讲解疫情防控的注意事项，若每个小区安排两名工作人员，则不同的安排方式的种数为
A.90B.540C.180D.270
4.为了方便向窄口容器中注人液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下:
该圆锥形漏斗的高为10cm,且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2im,则制造该灌斗所孫材料面积的大小约为（假设材料没有浪费〉
A.15阿TtcnfB.20>/5zcm2C.25^5ncm2D.30^5kcm2
5.已知a为锐角，且cos（a-|于）
==晋，则tana=
A.2B.3C.D.-y
6.唐代诗人张若甫在《春江花月夜》中曾写道:
“春江潮水连海平，海上明月共潮生潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中毎天出现大潮的概率均为壬，则该地在该季节内连续三天内•至少有两天出现大潮的概率为
<20R8r8门13
A-27B-7C*27_迈
7.已知正三角形ABC的边长为仁D是BC边上的动点（含端点〉，则（DA4-DB）・（亦+反）的取值范围是
A.[4,8]B,[8,24]C.[2,18]D・[4,20]
&已知定义在（一8,0）U（0,4-00）上的奇函数/（広）在（0r+co）上单调递增，且=
=关于无的不等式/（x）<丄+sin7tz的解集为
工
A.（―8,—l〉U（l，+8）B,（—1,0）U（0,1）
C.（一00,-1）U（0,1）D・<~l,0）U（b+oo）
二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.在毎小題给出的选项中，有多项符合JK目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得°分・
9.已知a=logz3,3fr=4,2c=log234-l,则下列结论正确的是
A.a<.cB.a&=2C.abc=a+lD.26c=b+2
10.在平面直角坐标系以万中，已知拋物线C：
b=4g过点P<77z,0）（m>0）作与x轴垂直的直线，与抛物线C交于A,E两点，则下列说法正确的是
A.若丨PA\>\P0\.则0VmV2
B.若△ABO为正三角形，则机=12
C.
若抛物线C上存在两个不同的点E,F（异于A,B）,使得|PE|=|PF|=J^,则尬>4
11.
对于正弦函数，=/（J）=sinz,当xG[—升于]肘"关于y的函数称为"反正弦函数"，记
作广】（攵）=8心12,如：
/7（*）=*丽样的，对于余弦函数y=g（z）=cosx，当工€[0伍]时,工关于y的函数称为“反余弦函数”，记作gT（z）=arccos文，如：
g->（*）=环则下列说
法正确的是
A.“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为[-M]
B.“反正弦函数”与“反余弦函数”的单调性相同
C.“反正弦函数”是奇函数，“反余弦函数”是偶函数
D•若•x2>0,且x?
+於=1•则arcsinxi=arccosx2
12.已知等差数列｛心｝的公差/H0,的"项和为S“，且S=・4“1一*，则
A.d=*
B.fli=1
C.数列中可以取出无穷多项构成等比数列
D.设氏=（一1）"・乙，数列｛人｝的前n项和为T「则|九|=并
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13•已知随机变量X服从正态分布NW若P（X>j）=P（X<0），则严.
14.在平面直角坐标系衣”中，双曲线M:
#—*=1的一条渐近线被圆C：
Cz—4）*+b=25截得的弦长为・
15•已知a>0,6>0,且小+沪=i,则斗辱的最小值为.
a十Q
【髙三3月份联合考试•数学第2页（共4页”
16.已知正方体ABCD-ADGD的梭长为3,P是正方体表面上一动点，且PA=2PAit则点
P形成的轨迹的长度为.
四、解答题：
本題共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在①UmA•tanB=I』=字：
②X4c,siM=会中任选一个,补充到下面的横线中，并求解.
在厶AJ3C中，角A,B,C所对的边分别为“』心共面积S=4凋■，且•求Z\ABC的
周长.
注：
如果选择多个徹件分别解签，按第一个解答计分•
1&（本小题满分12分）
已知等比数列也“｝的各项均为正数，且尙=1，%2=*心+|+2”
19.（本小题満分12分〉
某刚开业的大型百货商场进行促销活动，统计得刚开始的五天内的客流量如下表:
天数
第一天
第二天
第三天
第皿天
第五天
客流量（千人〉
6」
7.4
7.9
8.6
9.4
（1）求出口客流量》（千人）关于开业天数工（工=1,2,3,4,5）之间的线性回归方程；
〔2）根据帀场经验，在促销活动期间，客流量増长述度遵循
（1）中的线性回归方程.经过几天的调研发现，每天约有君的人进行了饮食消费•约有彳的人进行了购物消费，且在购物消费的人中，约有*的人进行了饮食消费•若该商场计划将促销活动持续进行20天，试判断能否实现笫20天肘商场内参与消费的人数超过】・5万人？
附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
-nxy左（©一云）（乂一亍〉
b=丄二g=—~~；—y—Bx.
丈云一”尹£5-亦
1-1
20.（本小题满分12分）
如图，圆O的半径为4,AB,CD是圆O的两条互相垂直的直径，P是OA的中点，EF〃CD.将此图形沿着EF折起,在翻折过程中，点A对应的点为A-
（1〉证明，4"丄CD?
⑵当ZA.PB=^时，求二面角儿-BC-P的正弦值.
21.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系x（）y中，已知椭圆C：
召+器=l（a>6>0〉的离心率为鲁，且过点
（1,亨），其左顶点为A,上顶点为民直线心=一2工十HcWR〉与工」轴分别交于点M,N,直线AN,BM分别与橢鬪C交于点P,Q.（P异于点A,Q异于点B）
（］）求椭圆C的方程；
（2）若IAP|=|BQ|,求直线2的方程.
22.（本小题满分12分）
已知函数/（x）=lnx-axJ+yx（a>0）.
（1）当“=丄时，求函数/（工）在x=e处的切线方程：
C
（2）若于Cr）在x=Xc（O0,求a的取值范®
辽宁省名校联盟2021届高三3月份联合考试•数学
参考答案、提示及评分细则
1.B
易知A=[l・2],B=|>+m+4]，ia为AUB,所以仁:
雲\解得“€[一2，—1].
2.A
_（a+2i）（2+i〉_2d—2+a+4）i丄吹业kF（2。
一2=0”
2（2-i）（2+i）5・由题总可知'J+4工0'即《1-
3.A
q•c;=9o.
4.C
设底面半径为厂则+=召，日卩r=5cm,则该圆储的母线长1=皿+尸=5岳cm,
所以侧面积S=tt〃=25产KemJ
5.D因为a为锐角.所以a+于€（于,齐）.所以sin（a+于）>0,即sin（a+于）=警.
所以tan（a+乎）=2,则tana=tan（a4,-.r。
•
V47'44，i+tan（卄刊・远于3
6.A"（寻）*©（寻「討等
7.B以BC中点为原点■且令A在y轴正半轴•建立坐标系•则B（—2・0）・C（2・0）・A（0・2膺）.设D（^,0）（-2所以（DA+DB）•（DA+DC）=（-2-2t,2V3）•（2—2心2、@）=4h+8€[8.24]・
8・C设g（x）=丄+siniws则宮（才）也为奇函数•且g（l）=l.
+>l・sirurr>0・则&（工）=十
当x6（U2）时，+11Q
当疋（2・+oo》时叶则gQ〉V号V/3.
所以/（Qvg〉的解集应为（-oo,-i>u（oa）.
9.BCD因为a>l.所以2c=a+\<2a.即A不正确；
因为方=1碍4=2呃2=急=吕，所以ab=2,即B正确;
由上述过程可知・C正确；
由C可知皿Mc=ab+乩则2ZH即D正确.
10.BCD对于A•易知PA=\yA\=丿1乔>加•解得0Vm<」l•即A错误；
对于B.易知佰•则極4^=皿、解得决=12"卩B正确：
对于c・易知竽=石•设抛物线上一点Q（手,y）・则。
0=（召一』+3'2=4加・整理得話+（］_号），'+〃】'一4加=。
9即5*1+（16—8?
?
r）x+16（?
?
^—4〃】）=0,所以（y—4z/j）Cy2—（4/A7—16）］=0,
若关于y的方屋有四个解•则4加一16>0,解得初>4.即C正确；
对于D■设ZAOP=0・则人:
［处=2诚十cog岳■当且仅当tang2时•等号成立.
此时2皿=袋=也竺=2,解得m=l.即D正确.
r（Jm
11.AD对于A•因为正、余弦函数的值域均为［一1・1］・所以反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为［一1•叮.即A正确；
对于B.因为正弦函数严皿（疋［一号€］）单调递増•所以y增大时小也增大•即“反正弦函数”单调递増•同理可知•“反余弦函数”单调递减，即B错浜；
对于C■由B可知广反余弦函数”单调递减■不可能是偶函数，即C错i吴；
对于D•设4心irui=a・Hircow2=卩•则sina=2】弋0甲=工2、因为R5>0・所以a.p€（°■今）•又#+卅=1•则sin?
a+cos'/?
=l,即^iira=sin\S.所以sin«=si叩•则a=目,即arcsin.rL=arcco&j-2*即D正确.
12.AC因为S„=«aan+1-y.所以S”+严a卄心+2一*，两式相滅•得6+】=心十】（心于2—如）=2da卄1•
因为dHO•所以2d=13=*・E卩A正确*
当M=1时,心=«1（U］+*）—*•易解得"I=1或«|=—~•即B错误；
对于C,由AB可知畀心｝可取遍所有正整数•所以可取岀无穷多项成等比数列，即C正确；
对于D■因为“ZLI+虹=—如-］十如=+，
所以T2n=（6j+%）+0+4）4（%-1+仏Q=今•B卩D错误.
2
13.y由题意可知•“=七一5•
14.6^2双曲统M的一条渐近线为$=务・即存工一3丿=0・
風心C到此渐近线的距离d=上迤k=/T•则弦长1=2=2725^=672.
77T9
15.警因为小十恃B专心=+•且卄b卷』2（/+/）=雄•当且仅当a=b时.等号成立,所以斗%》护土=吟.
2住4
16.乎+字分别以AB.AD.AA,为工*收轴•建立空间玄角坐标系•设PQ.y.z）・
则x^+y2十工=4［工2十，2十（2—3）q,整理得”十,十@一4）2=4,
即P在以（0,0,4）为球心，2为半径的球上，
易知F在面ABB.A,内的轨迹形成半径为2,且圆心角为手的圆弧，弧长为警，
同理・P在面ADD“h内的轨迹长度为警.
P在而A.B.C.D,内的轨迹形成以招为半径，且圆心角为于的圆弧，弧长为字
所以轨迹总长度为警+学.
17•解，选①.
由tanA•tanB=1•有sinAsinB=cosAcosB•有cos（A+B）=0.
山0VA+BV兀•有a+B=^.可知C=y,卜=鱼&
又由2«，解得q=4』=2州
c=/6十12=2疗
故ZVIBC的周长为4+2再+2冷・
选②.
由S=-^-Z^sinA=宇方疋=4再，有be=32
又由b=4c、有4忙=32■有c=2tZ>=8,sinA=^-（'=y-
4分
8分
10分
2分
4分
6分
8分
冇心于或夸
所以^=2-!
；
《2）证明：
因为石+（”十1）1昭汕“+1=尹+（”十1）"==0_?
+万—”十1
2"
1-±
c丄/[_1,1_1,.11\_o_1..__1_Q_1_]
1_T
因为对心・°v黑£夕
•'•■|€3—+—角<3・即*€£<3.
19.解：
（1）由表中数据可知,工」+2+严4+5=3°邛・7+1+7・_9十8.6+9.仁8,
另竝y=6.7+14.8+23.7+34.4+47=126.6.另工了=1+4+9+16+25=55.
|—|/—I
—c
所以b==126｛二］Xf严=0.66•则«=8-0.66X3=6.02・
SX_jX3~
所以回归显为Jr=0.66x4-6.02；
<2）fIi题意可知，进行消费的人所占总人数的比例为^+-|—yxy=-|-・
在促销活动第20夭时•客流呈y=0・66X20+6.02=19.22.
因为19・22X*>18X*=15.故可以实现目标.
20.解心）证明：
因为AB丄CD.CD//EF.
所以PA±EF.
所以PA丄EF,
因为EF//CD.
所以PA】丄CD.
因为PB丄CD・PBDPA=P・PB・PAU平面A.PB.所以CD丄平面A.PB.
因为A】BU平面A】PB・所以A.B^CD；
（2）过O作直线2丄平面ECD•在？
上取点Q（异于点O）•设二面角A,-BC-P为久以｛CB,丽・斎｝为小$・2轴•建立空间直角坐标系.
则E（0・4・0）・C（—4・0・0）・且当ZAiPB=y时•几（0・一3・招），
所以就=（一4・一4・0几丽7=（0,—7・苗）・
设平面AyBC的法向量为m=（x.y9z）.则
m•B（：
=—4工一4y=0
m•BA】=—7,十松z=0
令父=対•贝ljy=—yf3.z=~7.所以m=（>/3•—/3.—7）•
因为平而BCD的法向®n=（0-0J）,
则Icos^l=［绞：
|.7z=7.所以$in^=/I—cos*^=縉?
°.
1^1•IwlJ3+3+495555
21•解：
（1）由题意可知.£=娠
a
10分
12分
10分
12分
2*
所哙+洽
又因为a解得a=2.b=l.
所以椭岡C的方程为¥+_/=］；
因为椭呦c过点（1,睜），
⑵由
（1）可知,/l（-2>0）.B（0J）>且M（*.0）.N（0m）・则怂.7=寺，力HM=+=一-，所以尿•kMt=—1,
T
设AN的斜率为趴则AN：
y=eQ+2）・BMQ=-+«r+l・……
2=%（”十2）将宜线an与me的方程联立
r+b=l消去*整理得（4严+1）/+16卅広+16/一4=0,因为心=一2・且如・、“=器才所以小=了黑¥•则|AP|=|gp+2|阿FT=¥吾，
8分
-8护十2
y=—x+1
将査线与椭岡C的方程联立.
•消去了•搭理得十4）/一8虹■=（）•y2=1
因为小=0・且心+牝=衣聲所以g=戸节$•
~8a/^TT
卜1一~•
由题意可知，台金吾=弩岳I•解得匸士俘・
又因为k七、所以尸±平1,则直线Z的方程为》=_2工土響壬・
22•解:
⑴当“=+时./3=】2_計“•则八才）=2—年+e.
所以/（e）=e2—e+1•f（e）=e4--^-—2♦
所以切线方程为y=（e■-—2）（±—e）+e‘一e+1=（e—2）^+e；
（2）广（刃=2_2必+丄=九乜"；竺,•设&（工）=一2疋戶+工+心xaax
因为g（0）=a>0,-2a2<0,所以存在如>0.使得g（s〉=0,即/（xo）=0,列表可知（表略>JXx）在勿=如时取得扱大值.
因为<*/e.所以g（v*7）=—2e«--|-a+衣<0,解得a>[J氏血,
因为_2aF+%o+“=0,所以——H-1,
a
所以/XarJulnMo—a«r$+-^-工0=l»Wo+佥—*>0,有~~~>0
且f（xi>）=lnx<»—+—jTo=lnxi]+axo—axl^>1—lna（）
a
因为如<虫，所以I-21w°>0,即】三?
卫<“<]•二；血,
，整理得加一2In2x0+3lar°—1>OU.6（0^））,
设心》“一2It?
.r+3hu~1（.丁€（0庞））•则F（丹=3+_脳+旦=3”—彳】“…3.x.rx
因为-4hu:
+3>0QE（0庙））・所以3芒一4ku+3>0・所以心）>0・即ACr）单调递增.因为人
（1）=0・所以A（r<.）>0的解集为打€（1.伍儿
则g（l）=—2/十么+1>0・解得a
10分
12分
10分
】）•
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