第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例.docx
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第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例
第五章 线性规划在管理中的应用
5.1某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。
管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。
可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：
机器设备类型
每周可用机器台时数
铣床
500
车床
350
磨床
150
每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表：
机器设备类型
新产品Ⅰ
新产品Ⅱ
新产品Ⅲ
铣床
8
4
6
车床
4
3
0
磨床
3
0
1
三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。
目标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。
解：
1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：
0.5x1+0.2x2+0.25x3
决策的限制条件：
8x1+4x2+6x3≤500 铣床限制条件
4x1+3x2 ≤350 车床限制条件
3x1 + x3≤150 磨床限制条件
即总绩效测试（目标函数）为：
maxz= 0.5x1+0.2x2+0.25x3
3、本问题的线性规划数学模型
maxz= 0.5x1+0.2x2+0.25x3
S．T． 8x1+4x2+6x3≤500
4x1+3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x1≥0、x2≥0、x3≥0
4、用Excel线性规划求解模板求解结果：
最优解（50，25，0），最优值：
30元。
5、灵敏度分析
目标函数最优值为 :
30
变量 最优解 相差值
x1 50 0
x2 25 0
x3 0 .083
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 .05
2 75 0
3 0 .033
目标函数系数范围:
变量 下限 当前值 上限
x1 .4 .5 无上限
x2 .1 .2 .25
x3 无下限 .25 .333
常数项数范围:
约束 下限 当前值 上限
1 400 500 600
2 275 350 无上限
3 37.5 150 187.5
（1）最优生产方案：
新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。
最大利润值为30元。
（2）x3的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。
（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；
三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。
各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。
6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：
maxz= 0.5x1+0.2x2+0.25x3
S．T． 8x1+4x2+6x3≤500
4x1+3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x3≥18
x1≥0、x2≥0、x3≥0
这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下：
最优解（44，10，18），最优值：
28.5元。
灵敏度报告：
目标函数最优值为 :
28.5
变量 最优解 相差值
x1 44 0
x2 10 0
x3 18 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 .05
2 144 0
3 0 .033
4 0 -.083
目标函数系数范围:
变量 下限 当前值 上限
x1 .4 .5 无上限
x2 .1 .2 .25
x3 无下限 .25 .333
常数项数范围:
约束 下限 当前值 上限
1 460 500 692
2 206 350 无上限
3 18 150 165
4 0 18 30
（1）最优生产方案：
新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。
最大利润值为28.5元。
（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。
（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；
四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。
各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。
5.2某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：
32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。
问应如何切割可使所用的原铜板为最少？
解：
本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有可能切割的方式并建立数学模型：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
S.T. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75
x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50
x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10≥110
xi≥0（i=1，2…..10）
用Excel线性规划求解模型板求解：
最优解：
（18.33,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：
63.3333
因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。
即其结果为：
即最优解：
（19,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：
64
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 :
63.333
变量 最优解 相差值
x1 18.333 0
x2 0 .056
x3 0 .111
x4 0 .111
x5 20 0
x6 0 .167
x7 0 .167
x8 25 0
x9 0 .056
x10 0 .111
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 -.333
2 0 -.278
3 0 -.222
目标函数系数范围:
变量 下限 当前值 上限
x1 .75 1 1.071
x2 .944 1 无上限
x3 .889 1 无上限
x4 .889 1 无上限
x5 .833 1 1.083
x6 .833 1 无上限
x7 .833 1 无上限
x8 .444 1 1.111
x9 .944 1 无上限
x10 .889 1 无上限
常数项数范围:
约束 下限 当前值 上限
1 20 75 无上限
2 0 50 110
3 50 110 275
这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。
松弛/剩余变量都为0，表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。
三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。
这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。
常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。
这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽，已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变用原铜板的比例。
5.3某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。
各班次需要医生人数如下表：
班次
时间
人数
1
0:
00-4:
00
4
2
4:
00-8:
00
7
3
8:
00-12:
00
9
4
12:
00-16:
00
12
5
16:
00-20:
00
8
6
20:
00-24:
00
6
其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。
问在各班开始时应该分别有几位医生报到。
若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。
解：
第一步：
不考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人。
总人数为25人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 :
25
变量 最优解 相差值
x1 7 0
x2 0 0
x3 10 0
x4 2 0
x5 6 0
x6 0 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 3 .0
2 0 -1
3 1 .0
4 0 --1
5 0 .0
6 0 --1
目标函数系数范围:
变量 下限 当前值 上限
x1 0 .1 1
x2 1 1 无上限.
x3 0 .1 1
x4 1 .1 2
x5 0 1 1
x6 1 1 无上限
常数项数范围:
约束 下限 当前值 上限
1 无下限 4 7
2 4 7 无上限
3 无下限 9 10
4 11 12 无上限
5 6 8 9
6 5 6 8
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
班次
时间
所需人数
本段安排人数
上段安排人数
本段实际人数
多余人数
1
0:
00-4:
00
4
7
0
7
3
2
4:
00-8:
00
7
0
7
7
0
3
8:
00-12:
00
9
10
0
10
1
4
12:
00-16:
00
12
2
10
12
0
5
16:
00-20:
00
8
6
2
8
0
6
20:
00-24:
00
6
0
6
6
0
合计
46
25
50
4
松弛/剩余变量一栏就是上表的“多余人数”一列是各时间段安排所剩余的人数。
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1，因为是求最小化问题，所以对偶价格为－1；
第三个常数项由9增加到10，刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优值；
第四个、第六个常数项与第二个常数项一样；
第五个常数项由2增加到3，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；
本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩余），其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。
因此，第2时段为-1，第3时段为0，后面的依次相反。
若第2时段为0，则第3时段就为-1。
第二步：
考虑夜班津贴。
线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
即：
总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：
第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。
灵敏度分析报告：
目标函数最优值为 :
15
变量 最优解 相差值
x1 0 1
x2 7 0
x3 2 0
x4 10 0
x5 0 0
x6 6 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 2 0
2 0 0
3 0 -1
4 0 0
5 2 0
6 0 -1
目标函数系数范围:
变量 下限 当前值 上限
x1 0 1 无上限
x2 1 1 2
x3 0 1 1
x4 0 0 1
x5 1 1 无上限
x6 0 1 1
常数项数范围:
约束 下限 当前值 上限
1 无下限 4 6
2 5 7 9
3 7 9 11
4 10 12 无上限
5 无下限 8 10
6 4 6 无上限
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
班次
时间
所需人数
本段安
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