数学教案三角形相似的判定 第3课时八年级数学教案.docx

数学教案三角形相似的判定 第3课时八年级数学教案.docx

《数学教案三角形相似的判定 第3课时八年级数学教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学教案三角形相似的判定 第3课时八年级数学教案.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学教案三角形相似的判定第3课时八年级数学教案

数学教案－三角形相似的判定（第3课时）_八年级数学教案

（第3课时）

　　一、教学目标

　　1．使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用．

　　2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．

　　3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．

　　4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．

　　二、教学设计

　　类比学习，探讨发现

　　三、重点及难点

　　1．教学重点：

是直角三角形相似定理的应用．

　　2．教学难点：

是了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路．

　　四、课时安排

　　3课时

　　五、教具学具准备

　　多媒体、常用画图工具、

　　六、教学步骤

　　［复习提问］

　　1．我们学习了几种判定三角形相似的方法？

（5种）

　　2．叙述预备定理、判定定理1、2、3（也可用小纸条让学生默写）．

　　其中判定定理1、2、3的证明思路是什么？

（①作相似，证全等；②作全等，证相似）

　　3．什么是“勾股定理”？

什么是比例的合比性质？

　　【讲解新课】

　　类比判定直角三角形全等的“HL”方法，让学生试推出：

　　直角三角形相似的判定定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

　　已知：

如图，在∽中，

　　求证：

∽

　　建议让学生自己写出“已知、求征”．

　　这个定理有多种证法，它同样可以采用判定定理l、2、3那样的证明思路与方法，即“作相似、证全等”或“作全等、证相似”，教材上采用了代数证法，利用代数法证明几何命题的思想方法很重要，今后我们还会遇到．应让学生对此有所了解．

　　定理证明过程中的“都是正数，，其中都是正数”告诉学生一定不能省略，这是因为命题“若，到”是假命题（可举例说明），而命题“若，且、均为正数，则”是真命题．

　　例4 已知：

如图，，，，当BD与、之间满足怎样的关系时∽．

　　解（略）

　　教师在讲解例题时，应指出要使∽．应有点A与C，B与D，C与B成对应点，对应边分别是斜边和一条直角边．

　　还可提问：

（1）当BD与、满足怎样的关系时∽？

（答案：

）

（2）如图，当BD与、满足怎样的关系式时，这两个三角形相似？

（不指明对应关系）

　　（答案：

或两种情况）

　　探索性题目是已知命题的结论，寻找使结论成立的题设，是探索充分条件，所以有一定难度，教材为了降低难度，在例4中给了探索方向，即“BD与满足怎样的关系式．”

　　这种题目体现分析问题的思维方法，对培养学生研究问题的习惯有好处，教师要给予足够重视，但由于有一定难度，只要求学生了解这类问题的思考方法，不应提高要求或增加难度．

　　［小结］

　　1．直角三角形相似的判定除了本节定理外，前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用．

　　2．让学生了解了用代数法证几何命题的思想方法．

　　3．关于探索性题目的处理．

　　七、布置作业

　　教材P239中A组9、教材P240中B组3.

　　八、板书设计

教学建议

　　1．教材分析

（1）知识结构：

（2）重点和难点分析：

　　重点：

四边形的有关概念及内角和定理.因为四边形的有关概念及内角和定理是本章的基础知识，对后继知识的学习起着重要的作用.

　　难点：

四边形的概念及四边形不稳定性的理解和应用.在前面讲解三角形的概念时，因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以三个顶点总是共面的，也就是说，三角形肯定是平面图形，而四边形就不是这样，它的四个顶点有不共面的情况，又限于我们现在研究的是平面图形，所以在四边形的定义中加上“在同一平面内”这个条件，这几个字的意思学生不好理解，所以是难点.

　　2．教法建议

（1）本节的引入最好使用我们提供的多媒体课件，通过这个课件，使学生认识到这些四边形都是常见图形，研究它们具有实际应用意义，从而激发学生学习数学的兴趣.

（2）本节的教学，要以三角形为基础，可以仿照三角形，通过类比的方法建立四边形的有关概念，如四边形的边、顶点、内角、外角、内角和、外角和、周长等都可同三角形类比，要结合三角形、四边形的图形，对比着指给学生看，让学生明确这些概念.

　　（3）因为在三角形中没有对角线，所以四边形的对角线是一个新概念，它是解决四边形问题时常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形问题来解决.结合图形，让学生自己动手作四边形的一条对角线，并观察四边形的一条对角线把它分成几个三角形？

两条对角线呢？

使学生加深对对角线的作用的认识.

　　（4）本节用到的数学思想方法是化归转化的思想和类比的思想，教师在讲解本节知识时要渗透这两种思想方法，并且在本节小结中对这两种数学思想方法进行总结，使学生明白碰到复杂的、未知的问题要转化为简单的、已知的问题.

一、素质教育目标

（一）知识教学点

　　1．使学生掌握四边形的有关概念及四边形的内角和外角和定理．

　　2．了解四边形的不稳定性及它在实际生产，生活中的应用．

（二）能力训练点

　　1．通过引导学生观察气象站的实例，培养学生从具体事物中抽象出几何图形的能力．

　　2．通过推导四边形内角和定理，对学生渗透化归思想．

　　3．会根据比较简单的条件画出指定的四边形．

　　4．讲解四边形外角概念和外角定理时，联系三角形的有关概念对学生渗透类比思想．

　　（三）德育渗透点

　　使学生认识到这些四边形都是常见的，研究他们都有实际应用意义，从而激发学生学习新知识的兴趣．

　　（四）美育渗透点

　　通过四边形内角和定理数学，渗透统一美，应用美．

　　二、学法引导

　　类比、观察、引导、讲解

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．教学重点：

四边形及其有关概念；熟练推导四边形外角和这一结论，并用此结论解决与四边形内外角有关计算问题．

　　2．教学难点：

理解四边形的有关概念中的一些细节问题；四边形不稳定性的理解和应用．

　　3．疑点及解决办法：

四边形的定义中为什么要有“在平面内”，而三角形的定义中就没有呢？

根据指定条件画四边形，关键是要分析好作图的顺序，一般先作一个角．

　　四、课时安排

　　2课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪、胶片、四边形模型、常用画图工具

　　六、师生互动活动设计

　　教师引入新课，学生观察图形，类比三角形知识导出四边形有关概念；师生共同推导四边形内角和的定理，学生巩固内角和定理和应用；共同分析探索外角和定理，学生阅读相关材料．

第一课时

　　七、教学步骤

　　【复习引入】

　　在小学里已经对四边形、长方形、平形四边形的有关知识有所了解，但还很肤浅，这一

　　章我们将比较系统地学习各种四边形的性质和判定分析它们之间的关系，并运用有关四边形的知识解决一些新问题．

　　【引入新课】

　　用投影仪打出课前画好的教材中P119的图．

　　师问：

在上图中你能把知道的长方形、正方形、平行四边形、梯形找出来吗？

（启发学生找上述图形，最后教师用彩色笔勾出几个图形）．

　　【讲解新课】

　　1．四边形的有关概念

　　结合图形讲解四边形，四边形的边、顶点、角，凸四边形，四边形的对角线（同时学生在书上画出上述概念），讲解这些概念时：

（1）要结合图形．

（2）要与三角形类比．

　　（3）讲清定义中的关键词语．如四边形定义中要说明为什么加上“同一平面内”而三角形的定义中为什么不加“同一平面内”（三角形的三个顶点一定在同一平面内，而四个点有可能不在同一平面内，如图4—2中的点．我们现在只研究平面图形，故在定义中加上“在同一平面内”的限制）．

　　（4）强调四边形对角线的作用，作为四边形的一种常用的辅助线，通过它可以把四边形问题转化为三角形来解（渗透化归思想），并观察图4－3用对角线分成的这些三角形与原四边形的关系．

　　（5）强调四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写四边形如图4—1．

　　（6）在判断一个四边形是不是凸四边形时，一定要按照定义的要求把每一边都延长后再下结论如图4－4，图4－5．

　　2．四边形内角和定理

　　教师问：

（1）在图4－3中对角线AC把四边形ABCD分成几个三角形？

（2）在图4－6中两条对角线AC和BD把四边形分成几个三角形？

　　（3）若在四边形ABCD如图4－7内任取一点O，从O向四个顶点作连线，把四边形分成几个三角形．

　　我们知道，三角形内角和等于180°，那么四边形的内角和就等于：

　　①2×180°＝360°如图4—6；

　　②4×180°－360°＝360°如图4－7．

　　例1 已知：

如图4—8，直线于B、于C．

　　求证：

（1）;

（2）.

　　本例题是四边形内角和定理的应用，实际上它证明了两边相互垂直的两个角相等或互补的关系，何时用相等，何时用互补，如果需要应用，作两三步推理就可以证出．

　　【总结、扩展】

　　1．四边形的有关概念．

　　2．四边形对角线的作用．

　　3．四边形内角和定理．

　　八、布置作业

　　教材P128中1

（1）、2、3．

　　九、板书设计

四边形

（一）

四边形有关概念

四边形内角和

例1

　　十、随堂练习

　　教材P122中1、2、3.

课题：

§4.6 正方形

（一）

教学目的：

使学生掌握正方形的定义、性质和判定，会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别，进一步加深对“特殊与一般的认识”

教学重点：

正方形的定义．

教学难点：

正方形与矩形、菱形间的关系．

教学方法：

双边合作 如：

在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程，从而掌握判定一个四边形是正方形的方法．为了活跃学生的思维，可以得出下列问题让学生思考：

（1）对角线相等的菱形是正方形吗？

为什么？

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

为什么？

（3）对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？

为什么？

如果不是，应该加上什么条件？

（4）能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？

为什么？

（5）说“四个角相等的四边形是正方形”，对吗？

教学过程：

让学生将事先准备好的矩形纸片，按要求对折一下，裁出正方形纸片．

问：

所得的图形是矩形吗？

它与一般的矩形有什么不同？

   所得的图形是菱形吗？

它与一般的菱形有什么不同？

   所得的图形在小学里学习时称它为什么图形？

它有什么特点？

由此得出正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

（一）新课

由正方形的定义可以得知：

正方形是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

请同学们推断出正方形具有哪些性质？

性质１、（１）正方形的四个角都是直角。

（２）正方形的四条边相等。

性质２、（１）正方形的两条对角线相等。

（２）正方形的两条对角线互相垂直平分。

（３）正方形的每条对角线平分一组对角。

例1 求证：

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：

四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．

求证：

△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的

等腰直角三角形．

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO

（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．

   ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

问：

如何判定一个四边形是正方形呢？

正方形的判定方法：

1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；

2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．

例2            已知：

如图，点A′、B′、C′、D′分

别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′．

求证：

四边形A′B′C′D′是正方形．

分析：

根据正方形的四条边相等，四个角都是直角及已知条件，可以得到四个全等的直角三角形，它们的斜边都相等，从而判定四边形A′B′C′D′是菱形，再利用直角三角形两锐角互余证明菱形是矩形．

证明：

（略）

（二）练习

1.已知正方形的边长为2cm，求这个正方形的周长、对角线长和正方形的面积．

2.正方形的对角线和它的边所成的角是多少度？

为什么？

3.如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形，为什么？

4.如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形，为什么？

三 小结

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形而且正方形还是特殊的矩形、特殊的菱形，它们的包含关系如图：

四 作业

1.已知正方形的一条对角线长4cm，求它的边长和面积．

2.两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．

3.求证：

正方形对边中点的连线将正方形分成四个小正方形．

4.求证：

矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形．

课题：

§4.6 正方形

（一）

教学目的：

使学生掌握正方形的定义、性质和判定，会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别，进一步加深对“特殊与一般的认识”

教学重点：

正方形的定义．

教学难点：

正方形与矩形、菱形间的关系．

教学方法：

双边合作 如：

在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程，从而掌握判定一个四边形是正方形的方法．为了活跃学生的思维，可以得出下列问题让学生思考：

（1）对角线相等的菱形是正方形吗？

为什么？

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

为什么？

（3）对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？

为什么？

如果不是，应该加上什么条件？

（4）能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？

为什么？

（5）说“四个角相等的四边形是正方形”，对吗？

教学过程：

让学生将事先准备好的矩形纸片，按要求对折一下，裁出正方形纸片．

问：

所得的图形是矩形吗？

它与一般的矩形有什么不同？

   所得的图形是菱形吗？

它与一般的菱形有什么不同？

   所得的图形在小学里学习时称它为什么图形？

它有什么特点？

由此得出正方形的定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

（一）新课

由正方形的定义可以得知：

正方形是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

请同学们推断出正方形具有哪些性质？

性质１、（１）正方形的四个角都是直角。

（２）正方形的四条边相等。

性质２、（１）正方形的两条对角线相等。

（２）正方形的两条对角线互相垂直平分。

（３）正方形的每条对角线平分一组对角。

例1 求证：

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：

四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．

求证：

△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的

等腰直角三角形．

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO

（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．

   ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

问：

如何判定一个四边形是正方形呢？

正方形的判定方法：

1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；

2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．

例2            已知：

如图，点A′、B′、C′、D′分

别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′．

求证：

四边形A′B′C′D′是正方形．

分析：

根据正方形的四条边相等，四个角都是直角及已知条件，可以得到四个全等的直角三角形，它们的斜边都相等，从而判定四边形A′B′C′D′是菱形，再利用直角三角形两锐角互余证明菱形是矩形．

证明：

（略）

（二）练习

1.已知正方形的边长为2cm，求这个正方形的周长、对角线长和正方形的面积．

2.正方形的对角线和它的边所成的角是多少度？

为什么？

3.如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形，为什么？

4.如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形，为什么？

三 小结

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形而且正方形还是特殊的矩形、特殊的菱形，它们的包含关系如图：

四 作业

1.已知正方形的一条对角线长4cm，求它的边长和面积．

2.两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．

3.求证：

正方形对边中点的连线将正方形分成四个小正方形．

4.求证：

矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形．

教学目标　　1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；

　　2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.

　　教学重点和难点

　　重点：

在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.

　　难点：

灵活运用已学过的因式分解的各种方法.

　　教学过程（）设计

　　一、复习

　　把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.

（1）a2－ab+3b－3a；　　

（2）x2－6xy+9y2－1；

　　（3）am－an－m2+n2；　　（4）2ab－a2－b2+c2.

　　解

（1）a2－ab+3b－3a

　　　　　=（a2－ab）－（3a－3b）

　　　　　=a（a－b）－3（a－b）

　　　　　=（a－b）（a－3）;

（2）x2－6xy+9y2－1

　　　　　=（x－3y）2－1

　　　　　=（x－3y+1）（x－3y－1）;

　　　　（3）am－an－m2+n2

　　　　　=（am－an）－（m2－n2）

　　　　　=a（m－n）－（m+n）（m－n）

　　　　　=（m－n）（a－m－n）;

　　　　（4）2ab－a2－b2+c2

　　　　　=c2－（a2+b2－2ab）

　　　　　=c2－（a－b）2

　　　　　=（c+a－b）（c－a+b）.

　　第

（1）题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.

　　第

（2）题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式

继续分解因式.

　　第（3）题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.

　　第（4）题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式

，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.

　　把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运

用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.

　　这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.

　　二、新课

　　例1把分解因式.

　　问：

根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?

　　答：

这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.

　　解方法一

　　方法二

　　　　　　　　　　；

　　例2把分解因式.

　　问：

观察这个多项式有什么特点?

是否可以直接运用分组法进行因式分解?

　　答：

这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.

　　解：

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

例3把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.

　　分析：

这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：

一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.

　　解　45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a（9m2－4x2+4xy－y2）

　　　　　　　　　　　　=5a[9m2－（4x2－4xy+y2）]

　　　　　　　　　　　　=5a[（3m2）－（2x－y）2]

　　　　　　　　　　　　=5a（3m+2x－y）（3m－2x+y）.

　　例4把2（a2－3mn）+a（4m－3n）分解因式.

　　分析：

如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了.

　　解2（a2－3mn）+a（4m－3n）=2a2－6mn+4am－3an

　　　　　　　　　　　　　=（2a2－3an）+（4am－6mn）

　　　　　　　　　　　　　=a（2a－3n）+2m（2a－3n）

　　　　　　　　　　　　　=（2a－3n）（a+2m）.

　　指出：

如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式按照分组原则，用分组分解法分解因式.

三、课堂练习

　　把下列各式分解因式：

（1）a2+2ab+b2－ac－bc；　　

（2）a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；

　　（3）4a2+4a－4a2b+b+1；　　（4）ax2+16ay2－a－8axy；

　　（5）a（a2－a－1）+1；　　　（6）ab（m2+n2）+mn（a2+b2）；

　　答案：

（1）（a+b）（a+b－c）；　　　　

（2）（a－b+m+m）（a－b－m－n）；

　　（3）（2a+1）（2a+1－2ab+b）；　（4）a（x－4y+1）（x－4y－1）；

　　（5）（a－1）2（a+1）； 　　　（6）（bm+an）（am+bn）.

　　四、小结

　　1.把一个多项式因式分解时，如果多项式的各项有公因式，就先提出公因式，把原多项式变为这个公因式与另一个因式积的形式.如果另一个因式是四项（或四项以上）的多项式，再考虑用分组分解法因式分解.

　　2.如果已知多项式中含有因式乘积的项与其他项之和（或差）时（如例3），先去掉括号，把多项式变形后，再重新分组.

　　五、作业

　　1.把下列各式分解因式：

（1）x3y－xy3；　　　　　

（2）a4b－ab4；

　　（3）4x2－y2+2x－y；　　　（4）a4+a3+a+1；

　　（5）x4y+2x3y2－x2y-2xy2；　（6）x3－8y3－x2－2xy－4y2；

　　（7）x2+x－（y2+y）；　　　（8）ab（x2－y2）+xy（a2－b2）.

　　2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.

　　答案：

　　1.

（1）xy（x+y）（x－y）；　　　

（2）ab（a－b）（a2+ab+b2）；

　　 （3）（2x－y）（2x+y+1）；　　（4）（a+1）2（a2－a+1）；

　　　（5）xy（x+2y）（x+1）（x－1）；　（6）（x2+2xy+4y2）（x－2y－1）；

　　　（7）（x－y）（x+y+1）；　　　（8）（ax－by）（bx+ay）.

　　2.原式=2b（x－2y+2）（x－2y－2）当x－2y=－2，b=－4098时，原式的值=0.

　　课堂教学设计说明

　　1.突出“通法”的作用.

　　对于含四项的多项式，可以根据所给的多项式的特点，常采取“二、二”分组或“一、三”分组的方法进行因式分解，这是运用分组法把多项式分解因式的通法，是带有规律性和程序性的解题思路，学生应切实掌握.安排例1的目的是：

引导学生运用分组的通