三、动量守恒定律的临界问题分析
在动量守恒定律的应用中，常常会出现相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界问题．分析临界问题的关键是寻找临界条件．临界条件往往表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键．
【例4】 如图5所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为M＝30kg，乙和他的冰车总质量也是30kg.游戏时，甲推着一个质量为m＝15kg的箱子和他一起以v0＝2m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住．不计冰面摩擦．
图5
（1）若甲将箱子以速度v推出，甲的速度变为多少？
（用字母表示）
（2）设乙抓住迎面滑来的速度为v的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度变为多少？
（用字母表示）
（3）若甲、乙最后不相撞，甲、乙的速度应满足什么条件？
箱子被推出的速度至少多大？
答案
（1）
（2）
（3）v1≤v2 5.2m/s
解析
（1）甲将箱子推出的过程，甲和箱子组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得：
（M＋m）v0＝mv＋Mv1①
解得v1＝
②
（2）箱子和乙作用的过程动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv－Mv0＝（m＋M）v2③
解得v2＝
④
（3）甲、乙不相撞的条件是v1≤v2⑤
其中v1＝v2为甲、乙恰好不相撞的条件．
联立②④⑤三式，并代入数据得
v≥5.2m/s.
四、反冲运动的应用——“人船模型”
1．“人船模型”问题
两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒．在相互作用的过程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比．这样的问题归为“人船模型”问题．
2．人船模型的特点
（1）两物体满足动量守恒定律：
m1
1－m2
2＝0.
（2）运动特点：
人动船动，人停船停，人快船快，人慢船慢，人左船右；人船位移比等于它们质量的反比；人船平均速度（瞬时速度）比等于它们质量的反比，即
＝
＝
.
（3）应用此关系时要注意两个问题：
即公式中
1、
2和s1、s2一般都是相对地面而言的．
【例5】 长为L、质量为M的小船停在静水中，质量为m的人从静止开始从船头走到船尾，不计水的阻力，求船和人相对地面的位移各为多少？
答案
L
L
解析 设任一时刻人与船速度大小分别为v1、v2，作用前都静止．因整个过程中动量守恒，所以有mv1＝Mv2
而整个过程中的平均速度大小为
1、
2，则有m
1＝M
2.
两边乘以时间t有m
1t＝M
2t，即ms1＝Ms2.
且s1＋s2＝L，可求出s1＝
L，s2＝
L.
借题发挥 “人船模型”是利用平均动量守恒求解的一类问题，解决这类问题应明确：
（1）适用条件：
①系统由两个物体组成且相互作用前静止，系统总动量为零；②在系统内发生相对运动的过程中至少有一个方向的动量守恒（如水平方向或竖直方向）．
（2）画草图：
解题时要画出各物体的位移关系草图，找出各长度间的关系，注意两物体的位移是相对同一参照物的位移.
对动量守恒条件的理解
1．（多选）如图6所示，在光滑的水平面上有一静止的斜面，斜面光滑，现有一个小球从斜面顶点由静止释放，在小球下滑的过程中，以下说法正确的是（ ）
图6
A．斜面和小球组成的系统动量守恒
B．斜面和小球组成的系统仅在水平方向上动量守恒
C．斜面向右运动
D．斜面静止不动
答案 BC
解析 球和斜面组成的系统在水平方向上不受外力作用，故水平方向动量守恒；小球下滑时，对地有向下的加速度，即系统存在向下的加速度，故系统竖直方向上所受合外力不为零，合外力向下，因此不能说系统动量守恒，故B、C对．
多物体、多过程中的动量守恒问题
2.质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速度v0的第5号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，如图7所示，最后这五个物块粘成一个整体，求它们最后的速度为多少？
图7
答案
v0
解析 由五个物块组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，mv0＝5mv，v＝
v0，即它们最后的速度为
v0.
动量守恒中的临界问题
3.如图8所示，甲车质量m1＝20kg，车上有质量M＝50kg的人，甲车（连同车上的人）以v＝3m/s的速度向右滑行．此时质量m2＝50kg的乙车正以v0＝1.8m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度（相对地面）应当在什么范围以内才能避免两车相撞？
不计地面和小车的摩擦．
图8
答案 大于等于3.8m/s
解析 人跳到乙车上后，如果两车同向，甲车的速度小于或等于乙车的速度就可以避免两车相撞．
以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象，由水平方向动量守恒得：
（m1＋M）v－m2v0＝（m1＋m2＋M）v′，解得v′＝1m/s.
以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，得：
（m1＋M）v＝m1v′＋Mu，解得u＝3.8m/s.
因此，只要人跳离甲车的速度u≥3.8m/s，就可避免两车相撞．
反冲运动模型
4.如图9所示，一个质量为m的玩具蛙，蹲在质量为M的小车的细杆上，小车放在光滑的水平桌面上，若车长为L，细杆高为h且位于小车的中点，试求：
当玩具蛙至少以多大的水平速度v跳出，才能落到桌面上．
图9
答案
解析 蛙跳出后做平抛运动，运动时间为t＝
，蛙与车组成的系统水平方向动量守恒，由动量守恒定律得Mv′－mv＝0，若蛙恰好落在桌面上，则有v′t＋vt＝
，上面三式联立可求出v＝
.
（时间：
60分钟）
题组一 动量守恒条件及系统和过程的选取
1．（多选）下列四幅图所反映的物理过程中，系统动量守恒的是（ ）
答案 AC
解析 A项中子弹和木块组成的系统在水平方向不受外力，竖直方向所受合外力为零，系统动量守恒；B项中在弹簧恢复原长的过程中，系统在水平方向始终受墙的作用力，系统动量不守恒；C项中木球与铁球组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒；D项中木块下滑过程中，斜面始终受到挡板的作用力，系统动量不守恒．
2.（多选）如图1所示，A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上，物块C以一定的初速度v0从A的左端开始向右滑行，最后停在B木块的右端，对此过程，下列叙述正确的是（ ）
图1
A．当C在A上滑行时，A、C组成的系统动量守恒
B．当C在B上滑行时，B、C组成的系统动量守恒
C．无论C是在A上滑行还是在B上滑行，A、B、C组成的系统动量都守恒
D．当C在B上滑行时，A、B、C组成的系统动量不守恒
答案 BC
解析 当C在A上滑行时，对A、C组成的系统，B对A的作用力为外力，外力不等于0，故系统动量不守恒，选项A错误；当C在B上滑行时，A、B已分离，对B、C组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，选项B正确；若将A、B、C三物块视为一系统，则沿水平方向无外力作用，系统动量守恒，选项C正确，选项D错误．
3.（多选）平板车B静止在光滑水平面上，在其左端另有物体A以水平初速度v0向车的右端滑行，如图2所示．由于A、B间存在摩擦，因而A在B上滑行后，A开始做减速运动，B做加速运动（设B车足够长），则B车速度达到最大时，应出现在（ ）
图2
A．A的速度最大时
B．A、B速度相等时
C．A在B上相对静止时
D．B车开始做匀速直线运动时
答案 BCD
解析 由于A、B之间存在摩擦力，A做减速运动，B做加速运动，当两个物体的速度相等时，相对静止，摩擦力消失，变速运动结束，此时A的速度最小，B的速度最大，因此选项A错误B、C正确，此后A、B一起匀速运动，所以D项正确．
4.（多选）如图3所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球拉开一定的角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中（ ）
图3
A．小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统动量守恒
B．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统动量守恒
C．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车的速度不为零
D．在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反
答案 BD
解析 小球摆动过程中，竖直方向上合力不为零，故系统总动量不守恒，但水平方向不受外力，在水平方向动量守恒，所以选项B、D正确．
题组二 “人船模型”的应用
5．（多选）某人站在静止于水面的船上，从某时刻开始，人从船头走向船尾，水的阻力不计，则（ ）
A．人匀速运动，船则匀速后退，两者的速度大小与它们的质量成反比
B．人走到船尾不再走动，船也停止不动
C．不管人如何走动，人在行走的任意时刻人和船的速度方向总是相反的，大小与它们的质量成反比
D．船的运动情况与人行走的情况无关
答案 ABC
解析 由动量守恒定律可知，A、B、C正确．
6．一条约为180kg的小船漂浮在静水中，当人从船尾走向船头时，小船也发生了移动，忽略水的阻力，以下是某同学利用有关物理知识分析人与船相互作用过程时所画出的草图（如图所示），图中虚线部分为人走到船头时的情景，请用有关物理知识判断下列图中所描述物理情景正确的是（ ）
答案 B
解析 人和船组成的系统动量守恒，总动量为零，人向前走时，船将向后退，B正确．
7.小车静置在光滑水平面上，站在车上一端的人练习打靶，靶装在车的另一端，如图4所示（小圆点表示枪口）．已知车、人、枪和靶的总质量为M（不含子弹），每颗子弹质量为m，共n发．打靶时，每发子弹都打中靶且留在靶里，并等前一发打入靶中后，再打下一发．若枪口到靶的距离为d，待打完n发子弹后，小车移动的距离为________．
图4
答案
解析 依次打完n发子弹可等效为将n发子弹一次射出，由动量守恒定律可得，Ms1－nms2＝0，又s1＋s2＝d
解得s1＝
d.
题组三 多物体、多过程中动量守恒定律的应用
8．一弹簧枪对准以6m/s的速度沿光滑桌面迎面滑来的木块发射一颗铅弹，射出速度为10m/s，铅弹射入木块后未穿出，木块继续向前运动，速度变为5m/s.如果想让木块停止运动，并假定铅弹射入木块后都不会穿出，则应再向木块迎面射入的铅弹数为（ ）
A．5颗B．6颗C．7颗D．8颗
答案 D
解析 设木块质量为m1，铅弹质量为m2，第一颗铅弹射入，有m1v0－m2v＝（m1＋m2）v1，代入数据可得
＝15，设再射入n颗铅弹木块停止，有（m1＋m2）v1－nm2v＝0，解得n＝8.
9.如图5所示，质量为M的盒子放在光滑的水平面上，盒子内表面不光滑，盒内放有一块质量为m的物体．从某一时刻起给m一个水平向右的初速度v0，那么在物块与盒子前后壁多次往复碰撞后（ ）
图5
A．两者的速度均为零
B．两者的速度总不会相等
C．物体的最终速度为
，向右
D．物体的最终速度为
，向右
答案 D
解析 物体与盒子组成的系统所受合外力为零，物体与盒子前后壁多次往复碰撞后，以速度v共同运动，由动量守恒定律得：
mv0＝（M＋m）v，故v＝
，方向向右．
10.如图6所示，甲车的质量是2kg，静止在光滑水平面上，上表面光滑，右端放一个质量为1kg的小物体，乙车质量为4kg，以5m/s的速度向左运动，与甲车碰撞以后甲车获得8m/s的速度，物体滑到乙车上，若乙车足够长，上表面与物体的动摩擦因数为0.2，则物体在乙车上表面滑行多长时间相对乙车静止？
（g取10m/s2）
图6
答案 0.4s
解析 乙与甲碰撞动量守恒：
m乙v乙＝m乙v乙′＋m甲v甲′，
得v乙′＝1m/s
小物体在乙上滑动至有共同速度v，对小物体与乙车运用动量守恒定律得m乙v乙′＝（m＋m乙）v，得v＝0.8m/s
对小物体应用牛顿第二定律得a＝μg＝2m/s2
所以t＝
，代入数据得t＝0.4s.
题组四 综合应用
11.质量为M＝2kg的小平板车静止在光滑水平面上，车的一端静止着质量为mA＝2kg的物体A（可视为质点），如图7所示，一颗质量为mB＝20g的子弹以600m/s的水平速度射穿A后，速度变为100m/s，最后物体A相对车静止，求平板车最后的速度是多大．
图7
答案 2.5m/s
解析 子弹击穿A后，A在水平方向上获得一个速度vA，最后当A相对车静止时，它们的共同速度为v.子弹射穿A的过程极短，因此车对A的摩擦力、子弹的重力作用可略去，即认为子弹和A组成的系统水平方向动量守恒，同时，由于作用时间极短，可认为A的位置没有发生变化，设子弹击穿A后的速度为v′，由动量守恒定律有mBv0＝mBv′＋mAvA，得
vA＝
＝
m/s＝5m/s
A获得速度vA相对车滑动，由于A与车间有摩擦，最后A相对车静止，以共同速度v运动，对于A与车组成的系统，水平方向动量守恒，因此有：
mAvA＝（mA＋M）v，所以v＝
＝
m/s＝2.5m/s.
12.如图8所示，光滑水平轨道上有三个木块A、B、C，质量分别为mA＝3m、mB＝mC＝m，开始时B、C均静止，A以初速度v0向右运动，A与B碰撞后分开，B又与C发生碰撞并粘在一起，此后A与B间的距离保持不变．求B与C碰撞前B的速度大小．
图8
答案
v0
解析 设A与B碰撞后，A的速度为vA，B与C碰撞前B的速度为vB，B与C碰撞后粘在一起的速度为v，由动量守恒定律
对A、B木块：
mAv0＝mAvA＋mBvB①
对B、C木块：
mBvB＝（mB＋mC）v②
由A与B间的距离保持不变可知
vA＝v③
联立①②③式，代入数据得
vB＝
v0
13.平板车停在水平光滑的轨道上，平板车上有一人从固定车上的货厢边沿水平方向跳出，落在平板车地板上的A点，距货厢的水平距离为l＝4m，如图9所示．人的质量为m，车连
同货厢的质量为M＝4m，货厢高度为h＝1.25m．求：
（1）车从人跳出后到落到地板期间的反冲速度；
图9
（2）人落在地板上并站定以后，车还运动吗？
车在地面上移动的位移是多少？
（g取10m/s2）．
答案
（1）1.6m/s
（2）车不运动 0.8m
解析
（1）人从货厢边跳离的过程，系统（人、车和货厢）的动量守恒，设人的水平速度大小是v1，车的反冲速度大小是v2，则mv1－Mv2＝0，v2＝
v1.
人跳离货厢后做平抛运动，车以v2做匀速直线运动，运动时间为t＝
＝0.5s，在这段时间内人的水平位移x1和车的位移x2分别为x1＝v1t，x2＝v2t，由图可知：
x1＋x2＝l，即v1t＋v2t＝l，
则v2＝
＝
m/s＝1.6m/s.
（2）车的水平位移为x2＝v2t＝1.6×0.5m＝0.8m.
人落到车上A点的过程，系统水平方向的动量守恒（水平方向系统不受外力），人落到车上前的水平速度大小仍为v1，车的速度大小为v2，落到车上后设它们的共同速度为v，根据水平方向动量守恒，得
mv1－Mv2＝（M＋m）v，则v＝0，
故人落到车上A点站定后车的速度为零．
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