网球落点的确定.docx

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网球落点的确定

抛体与紊流流体力学模型

谭世勇许侃黄超越

2009-5-30

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

B

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

华南理工大学

参赛队员（打印并签名）：

1.谭世勇

2.黄超越

3.许侃

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

2009年05月30日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

摘要

摘要本论文在已知网球某点处的三维坐标与速度矢量后预测球的落点的问题上，采用了物理学的抛体与紊流流体方法，建立相应的模型。

在不考虑空气阻力和绕流阻力的情况下，我们采用抛体模型解决了这种理想的网球落点问题，即问题中的第一、二个任务。

考虑网球的旋转时，根据伯努利原理，利用紊流流体知识，建立力学模型，运用数学的微方程知识，预测网球的落点。

关键字抛体紊流流体力学微分方程

论文中的符号说明

x0初始位置在x轴上的投影

y0初始位置在y轴上的投影

z0初始位置在z轴上的投影

v0初速度

t运动时间

r位移矢量

αv0与x轴的夹角

βv0与y轴的夹角

γv0与z轴的夹角

v0xv0在Ox轴上的分量

v0yv0在Oy轴上的分量

v0zv0在Oz轴上的分量

vxv在Ox轴上的分量

vyv在Oy轴上的分量

vzv在Oz轴上的分量

ρ空气密度

η空气粘滞系数

f阻力

Re雷诺数

FM马格努斯力

ρ轨迹曲率

目录

一、问题的提出7

二、问题的假设8

三、问题的分析8

四、问题的解决8

任务一8

任务二9

任务三10

一、问题的提出

网球运动风靡全球，是一项传统的高雅运动，集竞技性、观尝性于一体。

在竞技的过程中，除主裁外，需要多名司线员对接近边球进行落点裁决。

既便如此，由于网球在空中运行速度很快，在落地后，经常会有选手对其落在线内还是线外产生争议。

“鹰眼”被称为即时回放系统，利用高速摄像头从不同角度同时捕捉网球飞行轨迹的基本数据；再将这些数据生成三维图像；最后利用即时成像技术，清晰地呈现出网球的运动路线及落点。

“鹰眼”技术是对裁判判罚精确性的得力辅助工具，通过它可以有效地杜绝一些争议的产生。

“鹰眼”显示的落点是一个阴影，它不是拍出来的，而是由飞行数据精确计算出来。

任务一

我们假定通过“鹰眼”系统已经能获得网球飞行中某点处的三维坐标、速度、速度方向，请建立模型，计算出网球的落点图象。

任务二

以底线中点为坐标原点，x轴平行于底线方向，y轴平行于边线方向，z轴竖直向上，建立三维坐标系，单位长度为米。

若网球在点（0,0,1）处获得（2,16,1）方向的15.75米/秒的速度，试判断网球的落点。

任务三

由于运动中的网球常带有旋转，由伯努利原理，运行轨迹呈一定方向的偏转。

若任务二中球还经过点（0.2215，1.5517，1.0485），试判断网球的落点。

二、问题的假设

1、忽略浮力、形状阻力以及摩擦力矩对球的作用，由于重力与空气阻力相差较大，对竖直方向上忽略空气阻力的作用；

2、将所有球的旋转情况归结为2种：

上下旋和左右旋。

这是根据实际的发球动作做出的合理假设。

三、问题的分析

任务一和任务二是在理想情况下计算球的落点，属于比较简单的抛体模型，利用抛体物理知识即可求解。

任务三则是比较实际情况的球的运动，属于比较复杂的紊流流体力学内容，受到各种方面力的作用，列出来的微分方程组是高阶而非线性的，解答过程是相当的繁杂的，并且超出了可解的范围。

在这里，我们对问题进行简化，把球的旋转归结为简单的两类的情况。

这些情况下，微分方程组得到最大的简化，使得问题属于可解。

所以任务三的解决思路为：

根据球运动的空间上的两点与理想情况下的对应两点作比较，判断球属于哪类的旋转类型；然后根据特定的旋转类型，建立相应的力学模型和运动模型，列出简单的微分方程，利用微分知识进行求解。

四、问题的解决

任务一：

我们假定通过“鹰眼”系统已经能获得网球飞行中某点处的三维坐标、速度、速度方向，请建立模型，计算出网球的落点图象。

解答：

建立坐标轴：

以底线中点为坐标原点，x轴平行于底线方向，y轴平行于边线方向，z轴竖直向上，建立三维坐标系，单位长度为米。

从抛出时刻开始计时，及抛出时刻t=0，球位于点（x0,y0,z0）。

以v0表示物体的初速度，t为运动时间，r为位移矢量，α为v0与x轴的夹角，β为v0与y轴的夹角，γ为v0与z轴的夹角，则v0在Ox轴、Oy轴、Oz轴上的分量分别为

v0x=v0cosα

v0y=v0cosβ

v0z=v0cosγ

不考虑空气阻力，则物体在整个运动过程中的加速度为

a=g=-gk

利用这些条件可求出物体在空气中任意时刻的速度为

v=v0cosαi+v0cosβj+v0cosγ-gtk

因v=drdt,由此可得物体的运动表式为

r=0tvdt=v0tcosαi+v0tcosβj+v0tcosγ-12gt2k

所以，t时刻球的位置为

x=x0+v0tcosα

y=y0+v0tcosβ

z=z0+v0tcosγ-12gt2

计算落点

当球落地时，z=0，则

t=v0cosγ+v02cos2γ+2gz0g

代入x,y得

x=x0+v0cosαv0cosγ+v02cos2γ+2gz0g

y=y0+v0cosβv0cosγ+v02cos2γ+2gz0g

任务二：

以底线中点为坐标原点，x轴平行于底线方向，y轴平行于边线方向，z轴竖直向上，建立三维坐标系，单位长度为米。

若网球在点（0,0,1）处获得（2,16,1）方向的15.75米/秒的速度，试判断网球的落点。

解答：

由已知条件可得

cosα=222+162+12=2329

cosβ=1622+162+12=16329

cosγ=122+162+12=1329

则

x=x0+v0cosαv0cosγ+v02cos2γ+2gz0g=0+15.75×232915.75×1329+15.752×13292+2×9.8×19.8=1.09

y=y0+v0cosβv0cosγ+v02cos2γ+2gz0g=0+15.75×1632915.75×1329+15.752×13292+2×9.8×19.8=8.77

所以，落点为（1.09，8.77，0）

任务三：

由于运动中的网球常带有旋转，由伯努利原理，运行轨迹呈一定方向的偏转。

若任务二中球还经过点（0.2215，1.5517，1.0485），试判断网球的落点。

解答：

（1）网球规格及空气相关的流体属性：

网球：

直径：

6.5厘米质量：

56.7克

空气：

空气密度ρ=1.205kg∙m-1空气粘滞系数η=18.1×10-6pa

（2）紊流流体力学模型的建立：

网球在运动过程中，受到重力、空气阻力和运动方向垂直的升力——玛格努斯力[1,2]，以及空气作用于旋转的球的内摩擦力矩的作用。

首先计算网球运动空气的雷诺数[1]：

Re=ρvLη=1.205×15.75×0.06518.1×10-6=6.82×104

可知Re>4000，流体呈紊流流动。

此时：

网球受到空气的阻力[3]：

阻力：

f=cρAν2/2

令

k=cρA2=0.4×1.205×3.14×（0.065/2）22=7.993×10-4

则

f=kν2Ⅰ

网球受到的垂直于旋转角速度方向和速度方向平面的,具体方向可以通过右手定则确定：

右手拇指、食指和中指两两垂直，拇指指向旋转角速度方向，食指指向运动速度方向，那么中指方向就是玛格努斯力的方向[5,6]。

玛格努斯力：

FM=83πρωa3ν

令

G=83πρa3=83×3.14×1.205×（0.065/2）3=3.464×10-4

则

FM=GωνⅡ

（3）旋转角速度的方向的确定：

实际上球的旋转都可以近似为以下两种情况：

上或者下旋球，左或者右旋球。

根据右手定则，上下旋球主要是由于沿着x轴方向的旋转角速度，产生沿着y轴方向的玛格努斯力，使得球上下偏离；而左右旋球则由于沿着z轴方向的旋转角速度，产生沿着x轴方向的玛格努斯力，使得球左右偏离。

因此，根据球的偏离距离，就可以判断球的旋转角速度方向。

根据题目，球还经过点（0.2215，1.5517，1.0485）。

通过任务一建立的抛体模型可以求出，在理想的球的运动轨迹中，距离此点最近的一点是：

（0.1940，1.5517，1.0485）。

据此，我们可以判断，球往x轴方向偏离了。

因此，这球属于左旋球。

（4）左旋球的动力学模型：

左旋球的受力分析：

ν

FM

ω

（a）（b）

图1网球的受力分析

a.玛格努斯力的方向判断b.网球的整体受力分析

f

FMG

设初始时,球的旋转方向（角速度方向）沿OZ轴,内摩擦力矩很小,可忽略其影响,则根据角动量守恒定律可认为球始终沿OZ轴旋转,由伯努利方程可判断足球所受的马格努斯力总是位于水平面内,且与球体速度方向垂直,指向球体运动轨迹的曲率中心。

Z

OY

X

OfY

θ

FMν

X

（a）（b）

图2网球的运动分析

a.网球的左旋运动轨迹b.网球的在XOY面上的运动分析

通过受力分析和运动分析，水平面上运动等效于圆周运动，根据牛顿第二定律，可得动力学微分方程[7]：

md2zdt2=-mgⅢmdνdt=-kν2Ⅳmν2ρ=GωνⅤ

其中：

ρ是轨迹曲率。

对Ⅳ积分，得到：

-1ν=-kmt+C1

由初始条件：

ν0=ν0，得

ν=mν0m+kν0t

因为ds=νdt，且ρ=dsdθ=dsdtdtdθ=vdtdθ，代入Ⅴ式：

dθdt=Gωm

故有θ=θ0θdθ=0tGωmdt+θ0=Gωmt+θ0

θ0为初始时速度在XOY面上两分量的夹角。

由于速度夹角很小，在此近似为0。

因此有

vx=vsinθ=mν0m+kν0tsinGωmtⅥ

vy=vcosθ=mν0m+kν0tcosGωmtⅦ

由于实际上，网球在空中运动时间很小，再者kν0=0.0125

mν0m+kν0t≈ν0

故对Ⅵ、Ⅶ积分，根据初始条件：

x0=0，y0=0，可得

x=ν0mGω1-cosGωmt

y=ν0mGωsinGωmt

我们又知道，球经过点（0.2215，1.5517，1.0485），我们可以确定

ω=163.97

因此可以得到：

x=15.751-cost

y=15.75sint

最后计算竖直方向上：

z=z0+vzt-gt22

即：

z=1+0.9749t-4.9t2

落点处，z=0，则解方程得：

t=0.562s

代入x、y的方程，得到：

x=2.422,y=8.39

我们使用mathematica对轨迹进行描绘，得到：

图3左旋球的运动轨迹

参考文献：

[1]　葛隆祺,叶卫军.足球旋转球的运动规律[J].物理通报,1992

（2）:

7-8.

[2]　葛隆祺.弧线球运动规律的探讨[J].大学物理,1991（7）:

26-28.

[3]　朱照宣,周起钊,殷金生.理论力学:

上册[M].北京:

北京大学出版社,1982:

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[4]　林抒,龚镇雄.普通物理实验[M].北京:

高等教育出社,1981:

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[5]　赵凯华,罗蔚茵.力学[M].北京:

高等教育出版社,1996:

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[6]　刘大为.球体飞行轨迹异常的探讨[J].大学物理,1987

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[7]旋转球与非旋转球运动的力学原理[J]孙春峰,杨小云,2003:

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