中考复习 旋转 压轴题 练习.docx

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中考复习旋转压轴题练习

旋转压轴题

一、解答题（每小题5分，共23题，共125分）

1、

（1）发现：

如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．

填空：

当点A位于_________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_________（用含a，b的式子表示）

（2）应用：

点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值．

（3）拓展：

如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

2、如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α=0°时，

；②当α=180°时，

．

（2）拓展探究

试判断：

当0°≤α<360°时，

的大小有无变化?

请仅就图2的情况给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．

3、

（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为____；

②线段AD，BE之间的数量关系为____．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

（3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=

，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．

4、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想：

如图

（1），当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系是：

________；

②BC、CD、CF之间的数量关系为：

________（将结论直接写在横线上）

（2）数学思考：

如图

（2），当点D在线段CB的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？

若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

5、探索与计算：

在△ABC中，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，连接DE．

（1）如图1，若∠A＝45°，AB＝AC，BC＝4，求DE的长．

（2）如图2，若∠A＝60°，AB与AC不相等，BC＝4，求DE的长．

猜想与证明：

（3）根据

（1）

（2）所求出的结果，猜想DE、BC以及∠A之间的数量关系，并证明．

拓展与应用：

（4）如图3，在△ABC中，AB＝BC＝5，

，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，AF⊥BC于点F，求△DEF的周长．

6、

（1）问题发现：

如图1，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为________；

（2）深入探究：

如图2，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC＝∠AMN，AM＝MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸：

如图3，在正方形ADBC中，AD＝AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC＝10，

，试求EF的长．

7、已知∠ACD＝90°，AC＝DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB．

（1）问题发现

如图

（1），过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，则易发现BD和EA之间的数量关系为________，BD、AB、CB之间的数量关系为________．

（2）拓展探究

当MN绕点A旋转到如图

（2）位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并给予证明．

（3）解决问题

当MN绕点A旋转到如图（3）位置时（点C、D在直线MN两侧），若此时∠BCD＝30°，BD＝2时，CB＝________．

8、

（1）【问题发现】

如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为__________

（2）【拓展研究】

在

（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？

请仅就图2的情形给出证明；

（3）【问题发现】

当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

9、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？

若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（2）何时△PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？

若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

10、操作：

如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．

探究：

（1）如图①，当点P在线段BC上时，①若∠BAP＝30°，求∠AFE的度数；

②若点E恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？

并求出此时∠AFD的度数．

归纳：

（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？

试证明你的结论．

猜想：

（3）如图②，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？

试在图中画出图形，并直接写出结论．

11、如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．

（1）请判断：

FG与CE的数量关系是，位置关系是；

（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，

（1）中结论是否仍然成立？

请做出判断并给予证明；

（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，

（1）中结论是否仍然成立？

请直接写出你的判断．

12、在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，动点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=

∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图①），求证：

△BOG≌△POE；

（2）通过观察、测量、猜想：

=，并结合图②证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求

的值．（用含α的式子表示）

13、问题：

如图1，DE∥GB，DE=GB，BD与EG相交于点F，证明：

△DEF≌△BGF．

拓展一：

如图2，在△ACB和△AED中，点E在AC上，AC=BC，AE=DE，∠DEA=∠BCA=90°，连接BD，取BD中点F，连接FE、FC，请你探究CF和EF之间的位置关系和数量关系．

拓展二：

如图3，四边形ABCD∽四边形BEFG，点E在AB的延长线上，P是线段DF的中点，连接CP、PG，若CP⊥PG，则四边形ABCD应满足的条件是；若CP⊥PG、且PC=

PG，则四边形ABCD应满足的条件是．

14、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．

（1）求∠ADE的度数；

（2）如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E1DF1，∠E2DF2，DE1交直线AC于点P，DF1交直线BC于点Q，DE2交直线AC于点M，DF2交直线BC于点N，求

的值；

（3）若图1中∠B=β（60°＜β＜90°），

（2）中的其余条件不变，判断

的值是否为定值？

如果是，请直接写出这个值（用含β的式子表示）；如果不是，请说明理由．

15、我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．

特例探索

（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2

时，a=　　，b=　　．

如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=　　，b=　　．

归纳证明

（2）请你观察

（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．

拓展应用

（3）如图4，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2

，AB=3，求AF的长．

16、如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN．

（1）发现：

在图1中，

=　　；

（2）应用：

如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出

的值；

（3）拓展：

如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出

的值．

17、已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连接DF、CF．

（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；

（2）如图2，在

（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时

（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；

（3）如图3，在

（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=

，求此时线段CF的长（直接写出结果）．

18、已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．

初步感知：

（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：

∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；

问题探究：

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？

请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；

类比分析：

（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

19、

（1）操作发现：

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D在线段BC上（不与点B重合），连接AD，将线段AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接EC，如图①所示，请直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系．

（2）猜想论证：

在

（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，请你在图②中画出图形并判断

（1）中的结论是否成立，并证明你的判断．

（3）拓展延伸：

如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：

当锐角∠ACB等于　　度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？

此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3

时，请直接写出线段CF的长的最大值是　　．

20、已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF．

（1）观察猜想：

如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：

　　；②BC、CD、CF之间的数量关系为：

　　．

（2）数学思考：

如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①BC与CF的位置关系为：

　；②BC、CD、CF之间的数量关系为：

　．

（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若已知AB=2

，CD=

BC，请求出DG的长（写出求解过程）．

21、如图所示，平行四边形ABCD中，∠B=60°，将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F（不包括线段的端点）．

（1）问题发现：

如图1，若平行四边形ABCD为菱形，

试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系　　，请证明你的猜想．

（2）类比探究：

如图2，若AB：

AD=1：

2，过点C作CH⊥AD于点H，求AE：

FH的比值；

（3）拓展延伸：

如图3，若AB：

AD=1：

4，请直接写出（AE+4AF）：

AC的比值为　　．

22、如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=

AB，连接DE．将△ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为θ．

（1）问题发现

①当θ=0°时，

=　　；

②当θ=180°时，

=　　．

（2）拓展探究

试判断：

当0°≤θ＜360°时，

的大小有无变化？

请仅就图2的情形给出证明；

（3）问题解决

①在旋转过程中，BE的最大值为　　；

②当△ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的长为　　．

23、如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

图1中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．

二、填空题（每小题5分，共2题，共10分）

24、如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是____；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是____．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

25、类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．

原题：

如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若

=3，求

的值．

（1）尝试探究

在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是____，CG和EH的数量关系是____，

的值是

．

（2）类比延伸

如图2，在原题的条件下，若

=m（m＞0），则

的值是

（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．

（3）拓展迁移

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若

=a，

=b，（a＞0，b＞0）

，则

的值是____（用含a、b的代数式表示）．