数学建模论文生猪价格1.docx

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数学建模论文生猪价格1

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：

B

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学院（请填写完整的全名）：

参赛队员（打印并签名）：

1.

2.

3.

日期：

2010年5月29日

评阅编号（教师评阅时填写）：

生猪价格问题

摘要

本文主要就生猪价格下跌原因以及如何制定合理的生猪价格定价策略问题采用线性回归和对数线性模型以及统计学知识对其进行分析。

问题一，采用线性回归法，对猪肉价格的发展趋势进行短期预测。

首先通过对2009年12月到2010年5月我国猪肉价格分析得出，猪肉价格在短期内呈线性下降趋势，得到线性方程

，然后用根据这个线性方程拟合该时间序列上的猪肉变化趋势，再与实际的变化曲线进行比较，说明此方法的可行性，并对2010年6月的猪肉价格进行预测。

问题二，首先根据猪的不同重量，将猪分为三个成长阶段：

5Kg～25Kg为幼年期；25Kg～90Kg为成长期；90Kg～110Kg为成年期。

由于猪的体重从5到110公斤呈正态分布，可以算出这三个阶段的猪的数量比为6：

988：

6。

然后根据猪场收入与成本建立猪场盈亏平衡点等式模型

。

可以得到猪粮比约为6：

1，即该养猪场的盈亏平衡点，从而得问题四出定价策略的数学模型中的猪粮比参数

。

接着对2009年12月到2010年5月的猪肉价格和猪料价格进行统计，分别求出他们之间的猪料比值。

并且与已经求的的养猪盈亏平衡点进行比较，推测出影响猪肉下跌的主要原因是供大于求。

问题三，为了得到合适的供求比例，采用了统计学的知识对近十几年猪肉的供求比与经济发展、人口增长、人民生活水平以及出口量之间的关系进行分析，最终确定出了的关系式，，反映出生产者经常会根据之前的价格决定接下来的生产量，也就是对以后供求关系的实际情况，具有重要的意义。

问题四，经过以上的讨论，最后采用对数线性模型对猪肉价格与饲料和供求比进行拟合，得到基本的价格关系式：

，根据此关系式得的预测的猪肉价格并且与实际猪肉价格比较，基本上吻合，说明猜想正确，并在后文讨论政府调控对猪肉价格的影响和采用调整养殖结构对猪肉的影响，得出了价格和利润的关系式：

，从而计算出当利润最大时猪肉的价格，进而得到一个合理的猪粮比是7.5：

1，并且使得猪肉价格在动态的变化中保持一个合理的变化区间。

关键词：

线性回归　盈亏平衡点　猪粮比　供求比　统计学对数线性模型

一、问题重述

据农业部3月26日发布的对全国470个集贸市场畜禽产品定点监测数据，3月份第3周生猪价格继续下降。

其中全国活猪平均价格10.08元/公斤，比上周下降1.8%，价格下降省份22个，上涨省份7个，持平省份1个。

全国仔猪平均价格15.64元/公斤，比上周下降1.3%。

仔猪价格下降省份23个，上涨省份7个。

全国猪肉平均价格17.31元/公斤，比上周下降2.2%。

大部分省份猪肉价格继续下降。

这一轮猪价下跌的时间起点是2009年年末。

目前，全国猪价已经连续12周出现下跌；与此同时，猪粮比价普遍跌破了盈亏平衡点，生猪生产出现全面亏损。

“这次生猪价格下跌，既有供应增长过快的周期性因素，也有心理恐慌提前出栏的偶发性因素，但根本原因还是供大于求。

”国家发改委价格司副司长周望军对《经济参考报》记者说。

国家发改委有关官员透露，近期将启动生猪价格调控机制，按照《防止生猪价格过度下跌调控预案》的规定，分期分批开展收储工作。

不过，业内人士认为，收储政策仅是权宜之计，稳定猪肉价格最根本的办法还是要调整生猪养殖结构，让市场来决定。

试根据你们收集的资料,建立描述饲料商、养猪户和消费者之间的生猪价格定价策略的数学模型,给出调整养殖结构的方法和原则，并讨论政府调控手段对生猪市场价格的作用。

二、基本假设

1、在问题一中，我们假设猪肉的价格的变化趋势在短时间内只与时间有关系，在不考虑国家宏观调控和猪饲料价格变动以及疾病等其他因素的情况下，我们对猪肉价格作简单的线性回归。

2、在问题二中，假设养猪场不同阶段的猪的数量呈正态分布并且不同体重的猪需要的饲料量准确。

3、在问题三中，我们假设猪肉进出口量对于猪肉的需求量的影响为零并通过对2003-2008年的供求数据进行考察，参照这几年的价格变化指数与供求比的变化，得出二者之间的简单关系。

在得出的供求关系中，供应量的过快增加导致需求无法与之平衡，最终导致了2010年猪肉价格的持续走低。

4、在问题四中，假设猪粮比的值为７时比较合理。

并且假设突发疾病不存在。

三、符号说明

猪肉价格的趋势值

猪肉的平均价格

对时间的编码

编码为

时的猪肉价格

玉米价格

生猪价格

t-1年（也就是上一年）猪肉价格参考量，该参考量的计算方法为

；

为t年的供求比

常量

表示价格随时间整体变化的趋势

拟定的猪肉价格

猪粮比值

猪粮价格

时间编码序列

时间编码为

期间的供求比值

市场整体上猪肉出售利润值

c常量

z猪肉成本

四、问题分析

根据题目提出的问题的，首先要对猪肉当前市场的生猪价格进行一个简单的分析并且预测生猪价格在未来的可能变化。

因此我们在第一个问题中采用了线性回归的方法对当前市场出现的猪肉下跌进行了分析，建立了简单的线性模型，并且用matlab把实际的猪肉价格和预测的猪肉价格进行了拟合，并证明其可行性，接着对未来猪市的变化进行了预测。

随后对猪肉价格下降的主要因素做了推测，得到供求比过高引起的。

再次对能够引起供求比的因素做了统计，比且得到了2010年的供求比变化。

进一步建立猪肉价格模式，得到合理的猪肉定价模式和分析如何采用政府的宏观调控和调整养殖结构是猪肉价格保持在一个合理的稳定的值左右。

五、模型建立及求解

问题一：

一、数据分析：

从2009年12月份到2010年5月份猪肉价格数据所绘制的走势图上可以明显的观察到，在这个时间段，猪肉价格明显下跌的。

因此可以根据这个走势，拟合一个线性方程。

二、线性回归：

从总体上看，我国猪肉现阶段呈下降趋势。

并且对时间序列进行编码，由于是从2009年12月到2010年5月，每月被大概平均分为四个星期。

总共有25个星期，由于五月还没结束，所以去掉最后个星期，形成奇数以方便编码，分别编码为：

。

所以可以用线性回归方程标示为：

运用时间编码法和半数平均法估算

和

的值：

由公式

得：

将时间编码带入线性回归方程式，并用matlab对实际值和线性回归所得到的预测值进行拟合，得到如下图形：

图一线性拟合图

从线性拟合图中可以看出，此线性符合猪肉价格变动趋势，根据编码法：

2010年5月后一个星期和6月的四个星期编码分别为：

12，13，14，15，16带入线性回归方程，得到如下预测数据及变化趋势图：

表一2010年5月最后一个星期及6月的猪肉价格预测值

2010年5月

第四周

2010年6月

第一周

2010年6月

第二周

2010年6月

第三周

2010年6月

第四周

8.4824

8.2867

8.0910

7.8953

7.6996

图二2010年5月最后一个星期及6月的猪肉价格预测值趋势图

问题二：

一、各阶段猪的数量计算

根据猪的重量，将1000头猪分成三个成长阶段，如下表二所示：

表二猪生长的三个阶段

阶段

幼年期

成长期

成年期

重量（Kg）

1~25

25~95

95~110

假设在某一天，猪场每阶段出售成年期的猪为猪场收入，喂养成长期的猪的饲料为饲料成本。

如图将三个阶段的猪的数量设为

，

，

。

图三猪群的正态分布图

可计算出各个阶段的数量分别为：

由题目中可知

所以当

（1）

时，

由图大致可以得出

头

（2）

由图大致可以得出

头

（3）则

头

二、饲料总数的计算：

在生猪生产过程中，玉米是主要的饲料原料，它的价格在配合饲料中具有代表性。

因此，玉米的成本直接影响到猪场的盈利。

由假设可知，不考虑玉米以外的猪饲料，由于各重量的猪的数量呈正态分布，所以根据以下表三可知，取成长期的猪的平均采食量为2.3Kg。

表三不同体重的猪日采食量

体重（Kg）

30

40

50

60

70

80

90

日采食量（Kg）

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

2.7

3.0

则可计算出当天成长期的猪的总食量为：

Kg

三、计算盈亏平衡点：

生猪生产的实践表明，猪价与粮价之间存在一种必然的、相互适应的规律，即“猪粮比价规律”，合乎这一规律，就可以实现产销的宽松平衡，否则就必然出现产大于销或产不足销的被动局面。

猪粮比越高，说明养殖利润情况越好。

由网上数据可知近十年养猪综合出厂成本得知，饲料所占比例为总生产成本的62%,可得猪场盈亏平衡点等式：

即猪粮比为6.0：

1，其中猪为生猪价格，粮为玉米价格。

得出猪粮比计算公式：

，其中

为成长期的猪的数量，

为成年期的猪的数量。

因此，只有猪粮比值超过盈亏平衡点，养猪户才不会亏损，因此我们对2009年12月到2010年5月的猪粮比做一个简单的统计，并得出猪粮比的变化曲线。

从图四中可以明显的看到猪粮比一直在下降，已经跌破盈亏平衡点，因此可以得出在这段时间内真正影响猪肉价格的主要因素是供大于求。

图四猪粮比值

问题三：

一、需求情况分析

根据我国历年来猪肉生产和消费情况来看，我国猪肉消费呈现以下特点：

（1）猪肉需求随经济发展逐渐增长。

国家统计局数据显示2008年我国猪肉需求量为4620.5万吨，较1993年增加63.0%。

从1996—2008年，中国生猪产量年均增长2.1%。

2008年的总需求总供给刚好达到一种相对均衡的状况。

表四人口增长与猪肉产量的关系

年份

猪肉产量（万吨）

增长幅度

人口总数（万人）

1996

3158.0

-13.44%

122389

1997

3596.3

13.88%

123626

1998

3883.7

7.99%

124761

1999

4005.6

3.14%

125786

2000

3966.0

-0.99%

126743

2001

4051.7

2.16%

127627

2002

4123.1

1.76%

128453

2003

4238.6

2.80%

129227

2004

4341.0

2.41%

129988

2005

4555.3

4.94%

130756

2006

4650.5

2.09%

131448

2007

4287.8

-7.80%

132129

2008

4620.5

7.76%

132802

平均

4113.7

2.05%

128134

图五1996-2008年猪肉产量变化

（2）猪肉需求随人口增长逐渐增长。

随着人口增长，在人均猪肉需求量保持增长的前提下，国内对猪肉的需求量更是与日俱增。

一下是改革开放以来我国人口数量统计图，以及这些年来我国人口出生率、死亡率和自然增长率的统计图。

尽管我国人口自然增长率已在一个较低的水平趋于稳定，但是庞大的人口基数，使得增加的人口给猪肉的需求量造成了一些不容忽视的影响。

图六我国人口变化曲线图

图七我国人口变化率

（3）猪肉需求随人民生活水平的提高逐渐增长。

改革开放以来，随着我国经济的发展，居民人均收入不断增长，人民生活水平不断提高，餐桌上的食物不断得到丰富，而猪肉是其中最为重要的食物之一。

收入增加，直接促使人民可支配支出的增加，消费水平相应提高，这都直接促使人们对猪肉的需求量大大增加。

图九1978-2008年我国城乡居民家庭人均收入

（4）进出口量的变化反映出国内对猪肉的需求量增加。

综合历年肉产品销售来看，国内猪肉需求量增加，这一点还体现在进出口对需求的影响方面，参见图十，不难看出，我国今年猪肉出口量逐渐减少，而进口数量整体上逐渐增加，这从一个侧面反映了我国国内对猪肉的需求量在不断增加。

图十2005-2010.3猪肉进出口变化

二、供应情况分析

我国生猪生产周期性波动的特点，具有现代微观经济学所描述的“蛛网模型”的典型特征。

该模型显示，造成产量和价格波动的主要原因是：

生产者总是根据上一期的价格来决定下一期的产量，即生产者往往将上一期的价格视为对下一期出售产品时的预期价格。

而实际上，在每一期，生产者只能按照本期的市场价格来出售由预期价格（即上一期价格）所决定的产量。

这种实际价格和预期价格的偏差，造成了产量和价格的波动。

据国家商务部公开信息,2009年12月份,生猪及猪肉价格出现恢复性上涨,规模以上屠宰企业生猪平均收购价格12.22元/公斤,较11月份上涨5.6%,较6月上旬国家实施冻猪肉收储前上涨27.9%；大型批发市场猪肉平均批发价格16.83元/公斤,较11月份上涨4.5%,较6月上旬上涨20.1%。

价格的上涨导致了供应量的连月增长，经计算,年尾的供应量较半年前大增四成。

统计显示,市场猪肉销售量稳步增长,2009年12月份,全国300家大型农副产品批发市场猪肉批发交易量同比增长6.8%。

在这种情况下，供应量的快速增加已经超过了需求量，使得猪肉价格在2010年上半年受到了打击。

三、实证分析

通过对供求关系的分析，我们不难发现，国内的需求量增长的情况比较正常，目前猪肉价格持续走低很可能就主要是因为供应量增加的速度超过了需求量增长的速度，冲破了供求的平衡点。

2008年我国总人口13.28亿，猪肉产量4620.5万吨，人均年消费猪肉34.8公斤，大概是中国人均每天二两肉。

那么，我们即可以假定中国2008年以后每年猪肉总需求为Xt+1=Xt×N%（系数）。

根据国家统计局给出的数据，系数N的经验值为2.1。

供给多于这一数量，表现为生猪价格下跌；少于这一数量，通过价格上涨抑制需求实现动态平衡。

也就是说，理论上讲，2009年的猪肉产量增长较2008年大幅度超过了2.1%的涨幅。

下面我们通过对近十几年数据分析建立模型得出结论。

（一）、计算2009年对猪肉的需求量

（1）考虑居民可支配收入同对猪肉的需求量以及猪肉价格的关系。

我国居民年人居猪肉需求量与价格在统计上是不显著的，即猪肉是一种缺乏价格弹性的商品；居民对猪肉的需求量与可支配收入在统计上是显著的，人均可支配收入每增加1%，对猪肉的消费量将增加6.35公斤，关系式如下：

y=-38.55+6.35x

其中，y是居民人均猪肉消费量，x是居民人均可支配收入取对数。

（2）考虑我国人口增长。

通过对表二和表三的观察分析，我国人口的增长率趋于稳定，基本上满足如下关系式（

和

分别为当年和前一年的人口数，单位：

万人）：

a为变化率，在2008-2009年，变化率接近呈线性递减，不难估算出，a应取0.05，计算出的2009年的人口总数为p=139442.1

（3）考虑我国人均收入增长。

通过对表四的分析，近几年来，城乡居民的收入均接近线性增长，其中城镇居民的涨幅较大一些。

表五1978-2008年城乡可支配收入：

年份

城镇居民家庭人均可支配收入

农村居民家庭人均纯收入

绝对数

（元）

指数（1978=100）

绝对数

（元）

指数（1978=100）

1978

343.4

100.0

133.6

100.0

1980

477.6

127.0

191.3

139.0

1985

739.1

160.4

397.6

268.9

1990

1510.2

198.1

686.3

311.2

1991

1700.6

212.4

708.6

317.4

1992

2026.6

232.9

784.0

336.2

1993

2577.4

255.1

921.6

346.9

1994

3496.2

276.8

1221.0

364.3

1995

4283.0

290.3

1577.7

383.6

1996

4838.9

301.6

1926.1

418.1

1997

5160.3

311.9

2090.1

437.3

1998

5425.1

329.9

2162.0

456.1

1999

5854.0

360.6

2210.3

473.5

2000

6280.0

383.7

2253.4

483.4

2001

6859.6

416.3

2366.4

503.7

2002

7702.8

472.1

2475.6

527.9

2003

8472.2

514.6

2622.2

550.6

2004

9421.6

554.2

2936.4

588.0

2005

10493.0

607.4

3254.9

624.5

2006

11759.5

670.7

3587.0

670.7

2007

13785.8

752.5

4140.4

734.4

2008

15780.8

815.7

4760.6

793.2

我国城乡人口比例为1：

1.19，根据城乡人均可支配收入在2008年的数据分别估计出2009年的数据，约为17780元和5140元，按比例计算出2009年全国人口人均可支配收入为10911.7元，依照同样的方法计算出2008年的全国人均可支配收入为9792.7元，2009年较2008年增长了10911.7-9792.7=1119元，涨幅为11.4%。

（4）估算2009年我国国内对猪肉的需求量（单位：

万吨）。

4620.5+11.4*6.35/1000/10000*139442.1*10000=4721.7

涨幅为2.1%，这一点与国家统计局给出的经验数据非常吻合。

（二）、考虑2009年猪肉的实际产量

图十一1995-2009年我国猪肉产量走势图

这是来自中国畜牧业信息网的数据，其中指出2009年猪肉产量达到4889万吨，较2008年涨幅达到5.81%，远超过了平衡点。

因此2010年上半年价格持续走低。

（三）、给出猪肉价格参考量的表达式

通过以上论证，排除了很多潜在的影响因素和影响较小的因素，在给出了价格制定的一个基本范围以后（即既不能让卖家亏本又不能让买家买不起），猪肉价格P的与供求比x存在着一定的关系，走势如下：

图十二2003-2008猪肉价格参考量和供求比的关系

不难看出，猪肉价格整体呈上升趋势，但是上升过程呈现出的波动与供求比接近（只是步调上有些差别），所以我们可以给出如下关系式：

其中

为t-1年（也就是上一年）猪肉价格参考量，该参考量的计算方法为

；

为t年的供求比；

为表示价格随时间整体变化的趋势；

为常量。

表六2003-2008年猪肉供求关系表

年份

猪肉产量（万吨）

猪肉需求量（万吨）

猪肉价格指数参考量P（2002年为100）

供求比x

2003

4238.6

4209.2

1.029

1.01

2004

4341

4346.325

1.160712

1.00

2005

4555.3

4447.194

1.13855

1.02

2006

4650.5

4661.3

1.026367

1.00

2007

4287.8

4802.5

1.497469

0.89

2008

4620.5

4419.1

1.958689

1.05

通过回归计算，得出上述关系式应为：

说明：

式中的

是根据当时的实际情况做出的一个与供求比无关的函数，这个函数的变化可能跟社会经济发展和科学技术的进步有着密切联系。

这个关系式看似是后一年的供求比决定了前一年的价格，如果这么理解就不合适了。

首先，理论上讲，供求比和价格本来就是相互影响的，不存谁决定谁的问题。

其次，既然是相互影响，那么我们就可以明白，如果给出的数据足够多我们就可以看到如下图的情况（以下只是一个关系的示意图）：

图十三供求关系示意图

只是在实际当中，生产者经常会根据之前的价格决定接下来的生产量，也就是接下来的供求关系，如果把上式改写成：

显然，上述关系式是非常具有实际意义的。

然而，问题也就出现在这里。

正是因为将来的产量是根据之前的价格确定的，那么如果未来的产量超过限度，那么势必会使供求比大大超过1，从而反过来使价格下跌。

那么我再来看2009年的数据，通过以上计算和查证，可以得到:

年份

猪肉产量（万吨）

猪肉需求量（万吨）

供求比x

2009

4889

4721.7

1.04

结合2008年的价格指数和供求比，我们发现2009年的价格应该是整体保持在一个接近饱和的水平。

连续两年的供大于求，致使价格受到了抑制，这也就直接导致了开始于2009年底一直持续到2010年初的猪肉价格持续走低的现象。

问题四：

通过对前面三个问题的讨论，进一步锁定了猪肉价格下降与供大于求有密切的关系，因此在分析2009年底-2010年上半年的数据时，我们采用对数线性模型对猪肉价格有饲料和供应比值之间的关系，由于盈亏平衡点的为6，为了能够盈利，我们设置猪粮比值为8。

因此可以得到猪肉价格与饲料及供应比的对数线性方程式为：

根据2009年12月的数据可以近似拟合出

，

，以及查阅资料得到2009年的供求比为1.05，并且推测出2010的供求比不会有大的变化，所以可以拟合出来一下供求比

的值。

表七2009年12月到2010年5月供求比

时间

2009年12月份

2010年1月份

2010年2月份

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

α

1.04

1.03

1.02

1.04

1.03

1.05

1.06

1.08

1.09

1.08

1.07

1.06

时间

2010年3月份

2010年4月份

2010年5月份

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

α

1.06

1.05

1.05

1.04

1.05

1.04

1.03

1.03

1.04

1.03

1.04

图十四2009年12月到2010年5月供求比

将得到的供求比值带入上面的对数线性公式，得到如下图形

图十五猪肉价格实际值与计算所得猪肉价格图形比较

根据图十五可以看出，影响猪肉价格下降