离散数学教案1.docx
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离散数学教案1
4：
1〔2〕、（4），3；习题3.5：
1，4；习题3.6：
2，5，6；习题3.7：
2，5，6；习题3.8：
1〔1〕-〔6〕；习题3.9：
3〔2〕、〔4〕，4〔3〕；习题3.10：
1，4，5。
3.1集合的根本概念
集合（set）〔或称为集〕是数学中的一个最根本的概念。
所谓集合，就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体，组成集合的这些“事物〞称为集合的元素。
集合常用大写字母表示，集合的元素常用小写字母表示。
假设是集合，是的元素，那么称属于，记作；假设不是的元素，那么称不属于，记作。
假设组成集合的元素个数是有限的，那么称该集合为有限集（FiniteSet），否那么称为无限集（InfiniteSet）。
常见集合专用字符的约定：
—自然数集合（非负整数集）
（或）—整数集合（，）
—有理数集合（，）
—实数集合（，）
—分数集合（，）
脚标+和-是对正、负的区分
—复数集合
—素数集合
—奇数集合
—偶数集合
幂集
定义3.1.1对于每一个集合，由的所有子集组成的集合，称为集合的幂集（PowerSet），记为或．即。
例如：
。
定理3.1.1如果有限集有个元素，那么其幂集有个元素。
证明的所有由个元素组成的子集数为从个元素中取个的组合数。
另外，因，故的元素个数可表示为
又因
得
故的元素个数是。
人们常常给有限集的子集编码，用以表示
设，那么子集按照含记、不含记的规定依次写成一个位二进制数，便得子集的编码。
例如，假设，那么的编码是，当然还可将它化成十进制数。
如果，那么这个十进制数为，此时特别记为。
3.2集合的对称差运算
定义3.2.1设、是两个集合，要么属于，要么属于，但不能同时属于和的所有元素组成的集合，称为和的对称差集，记为。
即
例如，假设，，那么。
对称差的定义如图3-1所示。
图3-1
由对称差的定义容易推得如下性质：
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
〔5〕
证明〔5〕
但
=
故
又
因为
故
因此
对称差运算的结合性亦可用图3-2说明。
图3-2对称差运算的结合性
从文氏图3-3亦可以看出以下关系式成立。
图3-3
3.4序偶与笛卡尔积
序偶
在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。
例如，上，下；；男生9名而女生6（OrderedPair），记作。
上述各例可分别表示为〈上，下〉；；等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合，但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。
在集合中，，但对序偶，当时，。
定义两个序偶相等，，当且仅当。
这里指出：
序偶中两个元素不一定来自同一个集合，它们可以代表不同类型的事物。
例如，代表操作码，代表地址码，那么序偶代表地址码，代表操作码，中，称第一元素，称第二元素。
序偶的概念可以推广到有序三元组的情况。
有序三元组是一个序偶，其第一元素本身也是一个序偶，可形式化表示为。
由序偶相等的定义，可以知道当且仅当，即，我们约定有序三元组可记作。
注意：
，因为不是有序三元组。
同理，有序四元组被定义为一个序偶，其第一元素为有序三元组，故有序四元组有形式为，可记作，且
这样，有序元组（Orderedn-tuple）定义为，记作，且
一般地，有序元组中的称作有序元组的第个坐标。
笛卡尔积
定义设和是任意两个集合，假设序偶的第一个成员是的元素，第二个成员是的元素，所有这样的序偶集合，称为集合和的笛卡尔乘积或直积（CartesianProduct），记作。
即
例假设,求以及
解
显然，我们有：
〔1〕；
〔2〕如果，那么。
我们约定：
假设或，那么。
由笛卡尔积定义可知：
由于不是三元组，所以
定理设、和为任意三个集合，那么有
〔1〕
〔2〕
〔3〕
〔4〕
证明〔1〕设
因此，。
〔4〕设
因此，。
定理设、和为三个非空集合，那么有
证明设，对任意的，
因此，。
反之，假设，取，那么对，有
因此，。
定理的第二局部，证明类似。
定理设、、和为四个非空集合，那么的充要条件为且。
证明假设，对任意的，有
即。
反之，假设且，设任意，有
因此，。
对于有限个集合可以进行屡次笛卡尔积运算。
为了与有序元组一致，我们约定：
一般地，
故是有序元组构成的集合。
特别地，同一集合的次直积，记为,这里。
例如，
此处，。
一般地，假设。
3.5关系及其表示
关系的定义
在日常生活中我们都熟悉关系这词的含义，例如，父子关系、上下级关系、朋友关系等。
我们知道，序偶可以表达两个客体、三个客体或个客体之间的联系，因此可以用序偶表达关系这个概念。
表示机票的集合，表示舱位的集合，那么对于任意的和，必有与与表示“〞关系，那么上述问题可以表达为或，亦可记为或，是序偶的集合。
定义设、是任意两个集合，那么称直积的任一子集为从到的一个二元关系（BinaryRelation）。
二元关系亦简称关系，记为，。
到的二元关系，如图3-4所示。
图3-4
集合到的二元关系是第一坐标取自、第二坐标取自的序偶集合。
如果序偶，也说与有关系，记为；如果序偶，那么说与没有关系，记为。
当时，关系是的子集，这时称为集合上的二元关系。
例〔1〕设，，那么
，
因为，，，所以，和均是由到的关系。
〔2〕>=是实数且是实数集上的大于关系。
定义设为到的二元关系，由的所有组成的集合称为的定义域或前域（Domain），记作dom或，即
dom
使的所有组成的集合称为的值域（Range），记作ran，即
ran。
的定义域和值域一起称作的域（Field），记作FLD，即
FLDdomran
显然，dom，ran，FLDdomran
例3.5.2设，，，求dom，ran和FLD。
解dom，ran，FLD。
例3.5.3设，求集合上的关系“〞、dom及ran。
解
dom
ran
3.5.2几种特殊的关系
1．空关系
对任意集合，，，，所以是由到的关系，也是上的关系，称为空关系（EmptyRelation）。
2．全域关系
因为，，所以是一个由到的关系，称为由到的全域关系（UniversalRelation）。
是上的一个关系，称为上的全域关系，通常记作，即
。
例3.5.4假设表示家庭中父、母、子、女四个人的集合，确定上的全域关系和空关系，另外再确定上的一个关系，并指出该关系的前域和值域。
解设上同一家庭的成员的关系为，
设上的互不相识的关系为，，那么为全域关系，为空关系。
设上的长幼关系为，
dom
ran
3．恒等关系
定义设是上的二元关系且满足，那么称是上的恒等关系（IdenticalRelation）。
例如，，那么。
因为关系是序偶的集合，因此，可以进行集合的所有运算。
定理假设和是从集合到集合的两个关系，那么、的并、交、补、差仍是到的关系。
证明因为
故
例3.5.5假设，，
，求，，和。
解，，
3.5.3关系的表示
1．集合表示法
因为关系是序偶的集合，因此可用表示集合的列举法或描述法来表示关系。
例如，例的〔1〕中的关系，和及例中的关系，均是用列举法表示的关系；而例的〔2〕中的关系和例中的关系，都是用描述法表示的关系。
有限集合间的二元关系除了可以用序偶集合的形式表达以外，还可用矩阵和图形表示，以便引入线性代数和图论的知识来讨论。
2．矩阵表示法
设给定两个有限集合，，那么对应于从到的二元关系有一个关系矩阵，其中
。
如果是有限集合上的二元关系或和含有相同数量的有限个元素，那么是方阵。
例3.5.6假设，，
，写出关系矩阵。
解
例3.5.7设，写出集合上的大于关系>的关系矩阵。
解>
3．关系图表示法
有限集合的二元关系也可用图形来表示。
设集合到上的一个二元关系为，首先我们在平面上做出个结点分别记作，另外做个结点分别记作。
如果，那么从结点至结点做一有向弧，其箭头指向
，如果，那么
的关系图。
例3.5.8画出例3.5.6的关系图。
解此题的关系图如图3-11所示：
图3-11例3.5.8的关系图
例3.5.9设，，画出的关系图。
解因为是上的关系，故只需画出中的每个元素即可。
如果，就画一条由
到
的有向弧。
假设，那么画出的是一条自回路。
此题的关系图如图3-12所示。
3
2
14
5
图3-12例3.5.9的关系图
关系图主要表达结点与结点之间的邻接关系，故关系图与结点位置和线段的长短无关。
从到的关系是
的子集，即，而，所以，，那么。
因此，我们今后通常限于讨论同一集合上的关系。
3.6关系的性质
3.6.1关系的性质
定义设是定义在集合上的二元关系，如果
〔1〕对于每一个，都有，那么称是自反的（Reflexive）。
即
在上自反
〔2〕对于每一个，都有，那么称是反自反的（Antireflexive）。
即
在上反自反
〔3〕对于任意，假设，就有，那么称是对称的（Symmetric）。
即
在上对称
〔4〕对于任意，假设，，必有，那么称在上是反对称的（Antisymmetric）。
即
在上反对称
〔5〕对于任意，假设，，就有，那么称在上是传递的（Transitive）。
即
在上传递
例设，那么集合上的关系
是自反而不是反自反的关系；
是反自反而不是自反的关系；
是既不是自反也不是反自反的关系；
是对称的而不是反对称的关系；
是反对称的而不是对称的关系；
是既对称也反对称的关系；
是既不对称也不反对称关系。
，是可传递的关系；
是不可传递的关系，因为，，但。
由定义及例可知：
〔1〕对任意一个关系，假设自反那么它一定不反自反，假设反自反那么它也一定不自反；但不自反，它未必反自反，假设不反自反，也未必自反。
〔2〕存在着既对称也反对称的关系。
图3-5说明了自反与反自反、对称与反对称性之间的关系。
图3-5
例
（1）集合之间的关系是自反的、反对称的和可传递的。
因为：
1）对于任意集合，均有成立，所以是自反的；
2）对于任意集合，假设且，那么，所以是反对称的；
3）对于任意集合，假设且，那么，所以是可传递的。
〔2〕平面上三角形集合中的相似关系是自反的、对称的和可传递的。
因为：
任意一个三角形都与自身相似；假设三角形相似于三角形，那么三角形必相似于三角形；假设三角形相似于三角形，且三角形相似于三角形，那么三角形必相似于三角形。
〔3〕人类的祖先关系是反自反、反对称和可传递的。
〔4〕实数集上的“>〞关系是反自反、反对称和可传递的。
〔5〕实数集上的“
〞关系是自反、反对称和可传递的。
〔6〕实数集上的“=〞关系是自反、对称、反对称和可传递的。
〔7〕人群中的父子关系是反自反和反对称的。
〔8〕正整数集上的整除关系是自反、反对称和可传递的。
〔9〕是反自反、对称、反对称和可传递的。
〔10〕任意非空集合上的全关系是自反的、对称的和可传递的。
例3.6.3设整数集上的二元关系定义如下：
是整数}，
验证在上是自反和对称的。
证明，即，故是自反的。
又设，如果，即是整数，那么
也必是整数，即，因此是对称的。
3.6.2由关系图、关系矩阵判别关系的性质
例集合，上的关系的关系矩阵为：
，
的关系图如图3-6所示。
讨论的性质。
图3-6
解从的关系矩阵和关系图容易看出，是自反的、对称的。
一般地，我们有：
〔1〕假设关系是自反的，当且仅当其关系矩阵的主对角线上的所有元素都是1；其关系图上每个结点都有自环。
〔2〕假设关系是对称的，当且仅当其关系矩阵是对称矩阵；其关系图上任意两个结点间假设有定向弧，必是成对出现的。
〔3〕假设关系是反自反的，当且仅当其关系矩阵的主对角线上的元素皆为0；关系图上每个结点都没有自环。
〔4〕假设关系是反对称的，当且仅当其关系矩阵中主对角线对称的元素不能同时为1；其关系图上任意两个不同结点间至多出现一条定向弧。
〔5〕假设关系是可传递的，当且仅当其关系矩阵满足：
对，假设
且，那么；其关系图满足：
对，假设有弧由指向，且又有弧由指向，那么必有一条弧由指向。
例图3-7是由关系图所表示的上的5个二元关系。
〔1〕〔2〕
〔3〕〔4〕
〔5〕
图3-7
请判断它们的性质。
解
（1）是反对称、传递但不是对称的关系，而且是既不自反也不反自反的关系；
（2）是自反、传递、反对称的关系，但不是对称也不是反自反的关系；
（3）是反自反但不是对称、不是反对称、不是自反也不是传递的关系；
（4）是不自反、不反自反但是传递的关系，而且既是对称也是反对称的关系；
（5）是自反、反对称但不是传递、不是对称也不是反自反的关系。
3.7复合关系和逆关系
复合关系
1.复合关系的定义
定义设是从到的关系，是从到的关系，那么称为和的复合关系（
CompositiveRelation），表示为
从和求，称为关系的复合运算。
复合运算是关系的二元运算，它能够由两个关系生成一个新的关系，以此类推。
例如，是从到的关系，是从到的关系，是从到的关系，那么是从到的关系。
例设是由到的关系，是由到的关系，分别定义为：
于是复合关系
。
例3.7.2设是所有人的集合。
，
，
那么
；
而
。
例3.7.3设和是集合上的关系，
或，
求、、和。
解
2.关系的复合运算的性质
定理设是由集合到的关系，那么。
定理3.7.2设是从到的关系，是从到的关系，那么有
〔1〕
〔2〕
〔3〕假设，那么。
证〔1〕和〔2〕是显然的，下面我们证明〔3〕。
用反证法。
反设，那么必存在，使，从而，使
，故且，所以，这就与矛盾，因此，。
定理3.7.3〔1〕设、和分别是从到、到和到的关系，那么
即关系的复合运算满足结合律。
〔2〕设和都是从到的关系，是从到的关系，那么
1〕
2〕
〔3〕设是从到的关系，和都是从到的关系，那么
1〕
2〕
证我们只证明〔2〕，其它证明类似。
1〕
所以
2〕
所以。
注意：
一般来说，
〔1〕；
〔2〕关系的复合运算不满足交换律。
例3.7.4〔1〕设，，和都是从到的关系，是从到的关系，，，，那么
，，
可见，，但。
〔2〕设，和都是集合上的关系，，，那么，而，所以。
由于关系的复合运算满足结合律，所以可以写成。
一般地，假设是一由到的关系，是由到的关系，…，是一由到唯一地表示一由到的关系，在计算这一关系时，可以运用结合律将其中任意两个相邻的关系先结合。
特别地，当，，即是集合上的关系时，复合关系简记作，它也是集上的一个关系。
复合关系的矩阵表示及图形表示
因为关系可用矩阵表示，所以复合关系也可用矩阵表示。
从集合到集合上的关系为，关系矩阵，从集合到集合的关系，关系矩阵，表示复合关系的矩阵可构造如下：
假设，使得且，那么。
在集合中能够满足这样条件的元素可能不止一个，例如另有也满足且。
在所有这样的情况下，都是成立的。
这样，当我们扫描的第行和的第列时，假设发现至少有一个这样的，使得第行的第个位置上的记入值和第列的第个位置上的记入值都是1时，那么的第行和第列上的记入值为1；否那么为0。
因此
其中
式中代表逻辑加，满足，，，；
代表逻辑乘，满足，，，。
例3.7.5给定集合，在集合上定义两种关系：
，，求和的矩阵。
解
因为关系可用图形表示，所以复合关系也可用图形表示。
例3.7.6例3.7.1中的两个关系与的复合很容易通过下面的关系图〔见图3-8〕得到。
图3-8示意图
由该图立即可得。
逆关系
关系是序偶的集合，由于序偶的有序性，关系还有一些特殊的运算。
定义设是从到的二元关系，假设将中每一序偶的元素顺序互换，
得到的集合称为的逆关系（InverseRelation），记为。
即
例如，在实数集上，关系“<〞的逆关系是“>〞。
从逆关系的定义，我们容易看出。
定理3.7.4设、和都是从到的二元关系，那么以下各式成立。
〔1〕
〔2〕
（3）
（4）这里-
（5）
证明〔1〕
〔4〕
〔5〕因为，
故有
其它自证。
定理3.7.5设为从到的关系，是从到的关系，那么
〔1〕
〔2〕
证明〔1〕
所以
〔2〕自证。
定理3.7.6设是上的二元关系，那么
〔1〕是对称的，当且仅当；
〔2〕是反对称的，当且仅当；
〔3〕是传递的，当且仅当；
〔4〕是自反的，当且仅当；
〔5〕是反自反的，当且仅当
证明〔1〕假设是对称的，那么对，
所以，；
假设，那么对，
所以，是对称的。
〔3〕假设，那么对，
所以，是传递的；
假设是传递的，
所以，。
其它证明留为作业。
关系的图形，是关系图形中将其弧的箭头方向反置。
的关系矩阵是的转置矩阵。
例3.7.7设是到的二元关系，是到的二元关系，且，求和。
解
或从，
得
故取到同样的序元素；
而
故取到同样的序元素。
例3.7.8给定集合，是上的二元关系，的关系矩阵
求和的关系矩阵
解
3.8关系的闭包运算
关系作为集合,在其上已经定义了并、交、差、补、复合及逆运算。
现在再来考虑一种新的关系运算－关系的闭包运算，它是由关系，通过增加最少的序偶生成满足某种指定性质的关系的运算。
例如,设，上的二元关系，那么上含且最小的自反关系是：
；
上含且最小的对称关系是：
；
上含且最小的传递关系是：
。
定义设是上的二元关系，如果有另一个上的关系满足：
〔1〕是自反的〔对称的，传递的〕；
〔2〕；
〔3〕对于任何上的自反的〔对称的，传递的〕关系，假设，就有。
那么称关系为的自反〔对称，传递〕闭包（Reflexive（Symmetric，Transitive）Closure），记作。
显然，自反〔对称，传递〕闭包是包含的最小自反〔对称，传递〕关系。
定理设是上的二元关系，那么
〔1〕是自反的，当且仅当
〔2〕是对称的，当且仅当
〔3〕是传递的，当且仅当
证明〔1〕假设是自反的，
，对任何包含的自反关系，有，故；
假设，根据闭包定义，必是自反的。
〔2〕、〔3〕的证明完全类似。
下面讨论由给定关系，求取
定理设是集合上的二元关系，那么
〔1〕；
〔2〕
〔3〕，通常也记作。
证明〔1〕，
，因为，故，于是在上是自反的。
又即。
假设有自反关系且，显然有，于是，所以。
〔2〕，
因为
所以是对称的。
假设是对称的且，
，那么。
当时，；
当时，，，。
因此，故。
〔3〕，先证是传递的。
，，那么存在自然数，有，，因此，所以，是传递的。
显然，。
假设有传递关系且，
，那么存在自然数，有，那么，使得，因此，由于是传递关系，
那么，所以。
故
。
例设，是上的二元关系，，求。
解
为了求得，先写出
即
继续这个运算有：
从以上例题中看到，假设有限，譬如含有个元素，那么求取上二元关系的传递闭包不必计算到对的无限大次复合，而最多不超过次复合。
定理3.8.3设是含有个元素的集合，是上的二元关系，那么存在一个正整数，使得
证明设，记。
假设，那么存在整数，使得成立，既存在序列，
，有。
设满足上述条件的最小大于，不妨，那么序列中必有，使得或。
不妨，此时序列就成为
，
这说明存在，其中，这与是最小的假设矛盾，所以，不成立，即。
所以〔〕
一般地，取，式中的给出了复合次数的上限。
例设，给定上的关系，求。
解
所以
即
为计算元素较多的有限集合上二元关系的传递闭包，Warshall在1962年提出了一个有效的算法〔假定集合含有个元素〕：
（1）置新矩阵：
；
（2）置：
；
（3）对，假设〔〕，那么置：
，；
（4）：
；
（5）如果，那么转到步骤〔3〕，否那么停止。
例3.8.3
，求。
解按照Warshall算法，从出发，只要遵循“置行查列遍寻真，见真行上析当今，行推列移下右再，行穷列尽闭包成〞便可直接求得。
对集合上关系，首先将其关系矩阵赋予：
而后的每后一次循环重复操作，均在前一次操作结果的矩阵上进行。
置当今行为第1行，查看第1列中1，对有1
的元素与列中有1的行的元素分别做析取。
对本例，时，第1列中只有，将第一行与第一行各对应元素进行逻辑加，仍记于第一行：
；
置当今行为第2行，查看第2列中1，对有1的行进行改写。
对本例，时，第二列中，将第二行与第一行各对应元素进行逻辑加，仍记于第一行：
；
置当今行为第3行，重复上述操作并结束。
对本例，时，第三列中，将第三行分别与第一行、第二行、第三行各对应元素进行逻辑加，仍分别记于第一行、第二行、第三行：
得。
结果与例3.8.2一致。
传递闭包在语法分析中有很多应用，先以以下说明/
例3.8.4设有一字母表并给定下面六条规那么：
为定义在上的二元关系且，即是从出发用一条规那么推出一串字符，使其第一个字符恰为。
说明每个字母连续应用上述规那么可能推出的头字符。
解
那么表示从出发，经过屡次连续推导而得的字符串，其第一个字符恰为的关系，此关系即是。
按照Warshall算法计算的过程中，时，由于第五行的元素都等于零，的赋值不变。
时，由于第3、6、7列各元素均为零，的赋值不变。
经计算得
因此。
这说明应用给定的六条规那么，从出发推导的头字符有三种可能，而从出发推导的头字符有两种可能，而从推出的头字符有两种可能，从出发推导的头字符只可能为。
从一种性质的闭包关系出发，求取另一种性质的闭包关系，具有以下运算律：
定理3.8.4设是集合上的二元关系，那么
〔1〕
〔2〕
〔3〕
证明〔1〕
这里，。
〔2〕
这里，，〔〕。
〔3〕留作练习请读者自证。
3.9等价关系与相容关系
本节讨论两类特殊关系—等价关系与相容关系。
在讨论之前，我们先引进两个概念—集合的划分与覆盖。
集合的划分和覆盖
设是某一所综合性大学本科学生全体组成的集合，是对的某种分类的集合〔〕。
假设按文理科分类，那么有，其中表示理科学生全体的集合、表示文科学生全体的集合；假设按年级分类，那么有，其中表示该大学年级学生全体的集合；假设按系分类，那么有，这说明这所大学有六个系。
分类法尽管给出了三种，但是它们有个共同的特点：
（1）的元素都是的非空子集；
（2）的元素求交是空集、求并就是。
此时，我们就说是集合的一个划分。
定义设是非空集合，的子集的集合，如果满足：
〔1〕都是非空集合；
〔2〕
那么称集合是集合的覆盖（Cover），称是覆盖的分块。
如果除以上条件外，另有〔〕，那么称是的划分〔或分划〕（Partition）。
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