继而，按约定输出y=几可直接得到此电路的输出方程：
”[01卄
（b）列写P2.1（b）电路的状态方程和輸出方程。
类似地，考虔到电容C]和C?
为给定电路中仅有的两个储能元件，电容端电压呵和叱构成此电路的线性无关极大妾量组，选取状态变量组刁二呵和帀二叱2符合定义要求丿基此，利用电路元件关系式和回路基尔霍夫定律，定出电路方程为
duc
C&才4匕+七=€
++mq=€
再由上述电路方程导出状态变最叱和叱:
的导数项，可得到状态变量方程规范形式:
表％二血c/击和击，并将上述方程组表为向最方程，就得到此电路的状态
方程:
继而，按约定输出y讥，可由电路导出:
尸％%+七将其表为向量方程，就得到此电路的输出方程！
T1］卜
融2・6求岀下列各输入输出描述的一个状态空树描述：
⑴笳）—2?
十18$+如
1i（s）?
+6?
+11j4-6
（ii）叫n
龜）（g+3）2（zl）
解本题属于由传递函数型输入输出描述导出状态空间描述的基本题。
通常，可以采用务种算法来实现两种描述间的转换.
（i）确定喫二字芈如的一个状态空间描述
“（$）?
+6?
+lb-h6
本子题中的严真传递函数一股表达式
2
如十如+%
+气S4■兔
实质上等同于题2.5中的严真“时间域输入输出描述裂可采用上題中两种算法来确定其对应状态空间描述。
当釆用匕題中算法1时，得到给定传递函数的状态空间描述j
广•*1X\
[o
1
■
0
田
■■
0
0
1
■
0
F01
=0
1
0
1
—
0
U=
0
0
1
%
+
0u
La.
%
1
■W
■
-11
&
0
1
■■
■■
・■
厂[妬人%]
X1
=[40182]
赵
?
3_
当采用上題中算法2时，先来定出恥恥2,02詁F恥哄（6'2）=6,
03珂-吠70产4076x6）-（11x2）一18,得到给定传递函数的状态空间描述:
r
0
1
°〕
■■
'0
1
0'
■■
■■
2
二
0
0
1
1
+
02
U=
0
0
1
+
6
•叫
叫」
•勺
.A.
-11
-6
■
-18
■■
尸［100］x2
（ii）确定喫j（护、的一个状态空间描址
u（s）（$+3）%+1）
本子题中的严真传递函数一股表达武可进而表为翌“_・_•上么_・_」讹）（$7）（I）（$7）（s-s3）（$p）|极点s、=3jij-3j-1>等点Z]m5*
基此，可鄴上述传递函数表竝看成是“由右向左三个环节的串联Y且由禦二単刊导出乂“內+g-zj”
“（s）（$詁）
由（2（$）=;r°7险何必⑶】导出£二斷+屮册
（O，
由i3（5）=1L（.t）导出片二勺与+斥
U,・
由辘）話⑶导出y=x,
从而，可定出此输入输出描述的一个状态空间描述：
■■
%°°B
妬-订
「300'
~■
X2
二
i%oL
+
b
U=
130
%
+
3
A_
.01山
0.J
011
■Y
0
生■
坪［001“2
题2.12计算下列状态空间描述的传递函数g（$）：
解本题属于由状态空间描述计算传递函数的基本题。
鉴于所讨论系统为二维，直接运用基木关系式g（s）=c（si-Ay}b就可简单定出其传递函数g（s）。
对此，先行计算：
\+511•,
det（s7-X）=det=0+5）（$+l）+3=F+6s+8
一3$十1
■・
£+51
5+1
-1
■3$+1
■■
3
r
£+5
■
』dj（”-4）=adj
2
-1s+55
基此，即可定出给定系统的传递函数g（$）为
”+6$+8
12卄59
F+6s+8
831采用除定煉法外的三种方法,计臬下列各他删的矩麟姻财;
（ii）/!
=001
4-11-6
0）龊芯J'能阵般函数产
■2・3
”飙种基本算法。
<
林僦。
对龊矩祥右先僦岀
=.s2+3$+2=（$+2Xxl）
特征多项式det（M-4）二
■
01
■■
Vu
---2
rnV11
-2”i
导出十
■■
vn
MB
-2-3
■■
?
12-
•叽
■
01
p21'
~-l
■■
V21
=
■■
~V21
导出叫=
hl
一2-3
■■
lV22.
•叫.
和P1
有限项展开法-前已定出，矩阵/的特征值为21=-2和彳2—基此，先疔定出
M）
1-2
1一1
严]—[-«亠+2「
2卄3
特征值久产-2.22=-1
再定出4的属于特征值右》2和九二T的特征向量片和巾，有r-2V|1
基此，取任意非零实数《“2产1・定出一个变换阵及其逆为
■I1卩呦』-2-1
■
从而，定出矩阵4的矩阵指数函数c如为
2eJJ「-尹
-2J+2严Y*+2严
由此，即可定出矩阵指数函数/为
“"=Oq
（1）1+s（f）A=[-c~2>十2e_,]
_c_"—
一_2/+2戶-/+2严
••-
预解矩悴法.先行定出，矩阵A的预解矩阵为
'$+3
■
1
■
s-1
?
+3j+2
d+3s+2
2$+3
■■
-2
J
/¥3s+2
?
+3^42.
（5/_Ay1=
"$+3
1・
■
2
111
（s+l）（$+2）-2
（»1）（£+2）
S
=
s+1
2
s+2s+15+2
212
■（3+1）0十2）
（5+1）0+2）■
.$+1
1
s+2s+1£+2.
2「-严
-2e"+2e2t
-e，+2e亠
•■
01
（ii）确定4=00
-6-11
的矩阵指数函数e"
再利用拉普拉斯反变换尸｛士｝=匕5,即可定出矩阵描数函数/为
待任值法。
对给定矩阵先行定出
■■
111
3%%
-1-2-3
和p_1=
-3-4-1
149
T*■
定岀一个变换葬及其逆为
特征多项式det（ft-▲〉=£，+6/+lLs+6=G+3X$+2）（$+l）
由
■0
0
1
0
0
1
\i_
VI2
=-l
%
1
■j
一％
导出
vl=
Vu
V12
=
1
-1
-6
-11
-6
▼
如
V：
3.
1_
■0
1
o-
▼■
V21
■■
V2L
I
）2「
■■
1
Fh
0
0
1
V22
=—2
V22
—
~2v22
导出
V2=
V22
—
-2
-6
■
-11
-6
▼
炕
厂2如.
上3.
4
■▼
■
Lr
■
L
■
■■
■■
0
1
0
V31
V31
一3町
V31
1
由
0
0
1
一3
%
=
-3^37
导出
h=
妆
=
-3
-6
-11
-6
.V33_
_V33.
V33.
9
vu
特征值=—1>A2=—2f彳3=-3
再定出&的属于特征值冷=-1,>12=-2和兄3=7的特征向量片，卩2和心$
基此，取任意非零实数Vu=V2J=V3l=1,
从而，定出矩阵指数函数/为
0严
0
%%
-4-1
%%
有限项展开法。
前已定出,
先行定出
%（”）內（f）
«2（0
二
1
1
3=-3©基此，
3%%
—亠
一一
-3ircy%e-i讣
4+护
斗丄卢
:
2•
由此，即可定出矩阵指数函数/为
/=aQl+oti（t）A+哝W
3「-3严心
=-3「+6eJ-3eJ
3/—12严+9严
-4e亠+丄严
22
22
-16严十互代
22
预解範阵法。
先行定岀，给定矩阵/的预解矩阵为
（si-Ay1=o$-i
611$+6
■5
52+65+11
5+6
I
s3必疋+1"+6
+6j2+lls+6
人6$2#11£+6
—6
s1+6s
s
s3+6^2+ik+€
X+6F+1Is+6
53+6j2+115+6
-6s
-lly-6
X
jJ+lk#6
^3+6s346s2+1L?
+6
3
3
i
1
5/2
4
a
3/2
1/2
1
1/2
£+1
$+2
y4-3
$+1
!
£+2
$+3
J+1
$十2厂
j+3
3
6
4
3
5/2
8
9/2
1/2
2
c.
3/2
5+1
s+2
$+3
j+T
-5+2
£+3
s+1
1
$+2
£43
3
12
+
9
5/2
16.
27/2
1/2
4,
9/2
5+1
$+2
j+3
5+1
j+2
s+3
5+1
•+$+2
s+3
再利用拉普拉斯反变换z-Q丄!
*9,即可定出矩阵指数函数/为
e"=厂1{（曲一/尸}
2宀4eS
2
1
2
■
具Ji+丄汀
2…2
3e'/-
3严+匕亠
-3e"“
6e亠-3尹
-—er+8e_2/-
力
-l「+2ef-3c”
2
2
22
3e"-12严+9宀
和-16戶十
空
丄卢-力7+2产
2
2
22
解本题属于系统运动状东分析的基本题,意在训媒在给定初始状恋和/或外部输入下正爾和腸地山瞅杰方針定出“状捕应”。
■r厂rrr严■
①槌"A*-；：
'黑=\“0"肺怎确入响应X,）
题33试求下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解坷（f）和召⑴:
w（z）«e\/>0
计算算式为Xo.（/）=C^（0）o首先，采用“预解矩阵法”定出给定/的矩阵指数函数/。
对此，先行导出矩阵4的预解矩阵（si-A尸，有
■
s+21
s-1'
1
■
s2+25+3s22s^3
3s+2
-3s
d+2s+3s2+2s+3
（卄1）古&
（J+1）2+（V2）2+T（5+l）2T（>/2）2
（卄1）
3V24i
2（卄1卄（向2
再利用拉普拉斯反变换
rlf（s^a）
bT+戸
=e*cQ^pt
即可得到
宀口｛園_/尸｝
「coaVh+g]n运2
2
cos72/*—sin
2
进而，定出系统状态的寒输入响应％（»。
对此，基于第式X,）二/工（0），即可得到
礼（0之"（0）
「血血「CCSyfit2
\
卢（cos扬+迈！
iin低）
（ii）确定w
■■
二
■■
01
■■
+
■■
2
u,
•辆
厂■
_0
-2-3
—■
0
■<
9
・迥
1
•♦
e_/（cos^2/-2^2gin历）
呛認」的状态响
应切）
廿算算式为M）=e细0）+*如価伽°矩阵辰
的炬阵指艙数
/巳在题3・2（i）的題解中定出，即
-2八十2戶-尸十2尹
基此，先行分别定出
'2e―評‘e_<-eh
■
0
T-2/
e-e
-2e"+2严-卢+2严
■J
1
■■
d+2八
•■
e役（0）-
2
d"）+2e%T>II0
亦（1-e-2（r-D
-2jr）+2r（T
J严嘶）d“j；
c"rdr
4化5%・1）
-4te^4e'V-l）
]2「+4沪+2尹
）Q-4宀铲
于是，利用上述结果，就可定出系统的状杰响应为刑"双0）+匸/"加（啊
「■e'2/
卜2卢+4沪+2尸广
'（/■I）//尹'
d+l€lf
■■
[4e_/-4;eJ-4e3t
・（4f-4e,
題N5给定一个连续时间线性时不变系统，已如狀态转移矩阵0（0为
沖旳K+J）
d+己-（e^+c31）
试据此定出系统矩阵4。
H本锁属于“矩阵/T和“矩阵揩数苗数/”闻关系的反问题.未有直接关系式可以利用，意任训练运用已学知识（如矩阵指数函数性质）灵活地解决这类问题。
先建立问题一般算式。
对连续时间线性时不变系统.状态转林矩阵喪白/性质=和（/）“"，可以爭岀由“严”确定“矩阵4”的一个算式为
再就给定莎⑴閱/磁定矩阵八对此，由给定/可以导出
de"/di=d0«）/d/H2
L4
一e^+Y-丄e_,4-en
2244
/+3e"-丄「+丄去
22」
（y3）
从而，定出系统矩阵/为
0（"）鯛（仏）〔
试证明；若则必有除％）"c
解本题为证明题，意在训练演绎思細逻鱗贱九
由柿f）三趴可导出系统狀捕移矩阵方程及其初始条件为
井f卜久（仏）如仏4）
3讹（必）如）.
4i（04j（01他1（"）%仏6）
.•血（汕血（必）佥（M）.
9（如4）出2（6'6）
鸟（心4）血仏仏）
基此对妁（“）可以賊
妬触）=«（恥起4），妁（4,3*
从血，由心（M并考虑到方酬的楼亠性，可知“同牖足上述方赵勲始条件的解阵”只可能为％“）訂・证號成。
題4.2确定使下列各连续时间线性时不变系统完全能控的待定参数a,b.c取值
范围:
-2
0
■0
■
a
■
1
（i）x=
0
-2
0
x+
2
4
0
■
0
一2
■
b
■
1
■
解本题属于由矩阵对｛4,3｝判斷系统能控性的基本fih
■
-2
0
0"
a•!
（i）确定=
0
-2
0
X4-
24
■中a,方取值范围
0
■
0
~2
■
b1
■■
本題可采用多种方法求解。
下面给出其中两种方法。
约当规范形判据法、町以看出，矩阵4为约当須范形，根应于憔一特征值彳二-2共有三个约当小块。
对此情形，系统完全能控充要条件是矩阵3中对应于“三个约当小块的末行”的行为线性无关.即〃中三个行斗盘和閒为线性无关•基此，由给定矩阵叭不管待定参数I0取为什么值•必有・•、
a]
rank24<3^n
b1.
■■
即在参数Q,0仟意取值下系统均为不完全能控.
秩判据法。
运用推论4.1的计算简化结论，就两种借形分别讨论，
当“a汕2,兀1/2”对，mnkfl=2,系统完金能控当冃仅当rank梓/方卜3。
对此情形，判别阵中“第｝列和第3列为线性相关”和“第2列和第4列为线性相关”,而ranks=2,必有
r«
rank[54B]二rank2
1-2a-2
4*・8-2<3=n
1-2b-2
参数7,b在此取值下系统均为不完全能控。
当“一b"/2”时，rank^=l,系统完全能控当且仅当rank0处才4卜3。
对
此情形,由于
1/2-12
rank^At\A\]=rank278=l<3=n
1/2-12
■■
参数Q,b在此取值下系统为不完全能控.
综上可知，不管待定参数。
，0取为什么值，系统均为不完全能控。
（ii）确定“r
V
:
讣中待g…的取值范围
本题可采用多种方法求解.鉴于矩阵/无特定形式，采用秩判据较简便。
对此，注意到rt=2,由要求
f,rio'
rankD=2
lJ卫切
可定出待定b.c的取值范围为
。
二任意有限值,
C二任意有限值
-1
（i）*0
0
»木题属于由矩阵对｛4民C｝刊断系统联合能控性和能观测性的基本题。
®43确定使下列各连续时间我性时不变系统联台完全能控和盏全能观测的待定参数2和b取值范围；
1
a
0
-2
1
0
•
0
—3
P
1
2■
y=（O0l]x
矩阵/无恃定形式.采用秩判据较简便。
基于能控性和能观测性的秩判据，由要求0a-5a-3
detAh426J=del111=&?
+21a+9
a-5a-323a4-12
=8（04-0・5394）（a+2.0856）士0
■■c
'01b'
cA
=det
-2b_3b41亠
=6沪-16尸=6!
>2
IT）
cA2
■■
10b126+123b
■•■
1
a
d
2
1
X4
0
U,
0
一3
1
■■
厂［0
0l]x"中a的取值范围
一1
（i）确定“丘=0
0
矩阵/无特定形式.采用秩判据较简便、基于能控性判据和能观测性判据.由
系统均不是联合完全能控和完全能观测.
可知.不管4取为什么值,
0
■
1
■■0
1
0
X+
1
一3
-5
■
a
iM■
0
（ii）确定“丘=0
-2
u・
>=［0
ft]xr中〃的取值范围
可以定出，a,b的取值范围为
a*0.5394或2.0856,b#8/3或0
«441给定完全能控和完全能观S?
的单输入单输出线性时不变系统为
「-1~2-2
■
2
•x=
0-11
x+
0
101
•■
1
■—
尸［110卜
试定出舟（i）能控规范形和变换阵；（ii）能观测规范形和变换阵。
•
解本题属于将线性肘不变系统矩阵组仏恥｝变换为“能控规范形”和“能观测规范形〃的基本题.
2
-1+$+3
5-1
先行定出给定系统｛儿Kc｝的特征多项式
J+12
det（“-4）=det0^41
~10
和一组常数
坊""[110]0=2
A^cAb^a2cb=\\1
■-1-2
0]0-1
10
+（lx2）^-3+2=-l
-4
為ygwMWcT-l-3-1]1+[lx（-3）]+（lx2）=-3
3
（i）确定能控规范形及其变换阵。
基于单输入单输出系统能控规牯形构成形式，可直接给出信定系统｛AM的能控规范形为
■
0
1
o-
■■
0
■
0
1
o'
■■
0
0
0
1
X+
0
uU
0
0
1
?
+
0
%
1;
■■
-3
■
-1
-1
■
fr
1
y-[AA倂卜3-12]5
2
0
珂心血b
再据变换矩阵组成算式，可定出变换總阵P及其逆为00
-6
-22]
r“
r1
10
d
i严土
•3
T
-12
3
■
4'1_|
>18
18
0
0
作为校核，还可对规范形矩阵组（入瓦“作验证:
■
1
10
-2]
「1
-2
-2
H5
-2
%
=JL
-3
-12
6
0
-1
1
3;
a
18
・■
9
18
L]
1
■
3-.
■
4、
1
10
4
-6
-8
-4'
0
1ol
/
-3
-12
6
0
3
]
0
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