七年级下册数培优资料第五章相交线与平行线教师版.docx

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七年级下册数培优资料第五章相交线与平行线教师版

七年级下册数学培优资料——

第五章相交线与平行线

例1．如图

（1），直线a与b平行，∠1＝（3x+70）°,∠2=（5x+22）°,

求∠3的度数。

解：

∵　a∥b，

∴　∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）

∵　∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°（平角的定义）

∴　∠1＝∠2（等式性质）

则　3x+70＝5x+22　解得x=24

即∠1＝142°　

∴　∠3＝180°-∠1＝38°图

（1）

评注：

建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。

例2．已知：

如图

（2），AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，

∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。

解：

∵AB∥EF∥CD

∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等）

∵∠B+∠BED+∠D=192°（已知）

即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°

∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换）

则∠B+∠D=96°（等式性质）

∵∠B-∠D=24°（已知）图

（2）

∴∠B=60°（等式性质）

即∠BEF=60°（等量代换）

∵EG平分∠BEF（已知）

∴∠GEF=

∠BEF=30°（角平分线定义）

例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。

解：

过E作EF∥AB

∵　AB∥CD（已知）

∴　EF∥CD（平行公理）

∴　∠BEF=∠B=40°∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等）

∵　∠DEB=∠DEF-∠BEF

∴　∠DEB=∠D-∠B=30°

评注：

证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图（3）

例4．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？

解：

2条直线产生1个交点，

第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；

第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；

…

则　n条直线共有交点个数：

1+2+3+…+（n-1）=

n（n-1）

评注：

此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。

例5．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？

解：

6条不同的直线最多确定：

5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。

另法：

3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：

3+9+1=13条

评注：

一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：

1+2+3+…+（n-1）=

n（n-1）

例6．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？

解：

2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；

3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；

同理：

4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；

…

∴10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域

推广：

n条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+

n（n+1）=

（n2+n+2）块不同的区域

思考：

平面内n个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？

直线的条数

3

4

5

...

n

对顶角的对数

6

12

20

...

n（n-1）

邻补角的对数

12

24

40

...

2n（n-1）

例7．两条直线相交于一点，所形成的的角中有2对对顶角，4对邻补角，那么，三条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？

四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？

n条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？

二、巩固练习

1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（　　）条

A．6　B．7　　C．8　　D．9

2．平面上三条直线相互间的交点个数是　　　（　　）

A．3　　B．1或3　　C．1或2或3　　　D．不一定是1，2，3

3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（　　）

A．36条　　B．33条　　C．24条　　D．21条

4．已知平面中有

个点

三个点在一条直线上，

四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这

个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时

等于（）

（A）9（B）10（C）11（D）12

5．若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（　　）

A．4对　　B．8对　　C．12对　　D．16对

6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=（）

A．90°　　B．135°　　C．150°　　D．180°

第7题

7．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E与∠F的大小关系；

8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还

有交点

9．平面上3条直线最多可分平面为个部分。

10．如图，已知AB∥CD∥EF，PS⊥GH于P，∠FRG=110°，则∠PSQ＝。

11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是。

12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。

13．已知：

如图，DE∥CB，求证：

∠AED=∠A+∠B

14．已知：

如图，AB∥CD，求证：

∠B+∠D+∠F=∠E+∠G

第13题第14题

15．如图，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，

∠EDC+∠ECD=90°，

求证：

DA⊥AB

16．一直线上5点与直线外3点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？

答案

1．5个点中任取2点，可以作4+3+2+1＝10条直线，在一直线上的3个点中任取2点，可作2+1＝3条，共可作10-3+1＝8（条）故选C

2．平面上3条直线可能平行或重合。

故选D

3．对于3条共点的直线，每条直线上有4个交点，截得3条不重叠的线段，3条直线共有9条不重叠的线段

对于3条不共点的直线，每条直线上有5个交点，截得4条不重叠的线段，3条直线共有12条不重叠的线段。

故共有21条不重叠的线段。

故选D

4．由

个点中每次选取两个点连直线，可以画出

条直线，若

三点不在一条直线上，可以画出3条直线，若

四点不在一条直线上，可以画出6条直线，

∴

整理得

∵n+9＞0∴

∴选B。

5．直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD，各得2对同旁内角，共4对；直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH，各得6对同旁内角，共12对。

因此图中共有同旁内角4+6＝16对

6．∵FD∥BE

∴∠2=∠AGF

∵∠AGC=∠1-∠3

∴∠1+∠2-∠3=∠AGC+∠AGF=180°∴选B7．解：

∵AB∥CD　（已知）

　　　∴∠BAD=∠CDA（两直线平行，内错角相等）

∵∠1=∠2　　　（已知）

∴∠BAD+∠1=∠CDA+∠2（等式性质）

即∠EAD=∠FDA

　　　∴AE∥FD

　　　∴∠E＝∠F

8．解：

每两点可确定一条直线，这5点最多可组成10条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45（个）

又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线，这四条直线共有3+2+1＝6个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉5×6=30个交点，所以有交点的个数应为45-30＝15个

9．可分7个部分10．解∵AB∥CD∥EF

∴∠APQ＝∠DQG=∠FRG=110°

同理∠PSQ=∠APS

∴∠PSQ=∠APQ-∠SPQ=∠DQG-∠SPQ

=110°-90°=20°

11．0个、1个或无数个

1）若线段AB的垂直平分线就是L，则公共点的个数应是无数个；

2）若AB⊥L，但L不是AB的垂直平分线，则此时AB的垂直平分线与L是平行的关系，所以它们没有公共点，即公共点个数为0个；

3）若AB与L不垂直，那么AB的垂直平分线与直线L一定相交，所以此时公共点的个数为1个

12．4条直线两两相交最多有1+2+3＝6个交点

13．证明：

过E作EF∥BA

∴∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）DE∥CB，

EF∥BA

∴∠1=∠B（两个角的两边分别平行，这两个角相等）

∴∠1+∠2=∠B+∠A（等式性质）

即∠AED=∠A+∠B

14．证明：

分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ，

则AB∥EH∥PF∥GQ（平行公理）

∵　AB∥EH

∴　∠ABE＝∠BEH（两直线平行，内错角相等）

同理：

∠HEF＝∠EFP

　　　　　∠PFG＝∠FGQ

∠QGD＝∠GDC

∴　∠ABE+∠EFP+∠PFG+∠GDC＝∠BEH+∠HEF+

∠FGQ+∠QGD（等式性质）

即　∠B+∠D+∠EFG=∠BEF+∠GFD

15．证明：

∵DE平分∠CDA　CE平分∠BCD∴∠EDC=∠ADE∠ECD=∠BCE　（角平分线定义）

∴∠CDA+∠BCD=∠EDC+∠ADE+∠ECD+∠BCE

=2（∠EDC+∠ECD）＝180°

∴　DA∥CB

又∵　CB⊥AB

∴　DA⊥AB

18．∵直线上每一点与直线外3点最多确定3×5=15条直线；直线外3点间最多能确定3

条直线，

∴最多能确定15+3+1=19条直线

如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线CD上有一点P．

（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？

请说明理由．

（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

　问题1：

如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？

　问题2：

如图1－25所示．若∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1，问AA1与BAn是否平行？

这两个问题请同学加以思考．

例3：

如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．

　分析：

利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．

　解：

过F到FG∥CB，交AB于G，则∠C=∠AFG（同位角相等），

∠2=∠BFG（内错角相等）．　因为AE∥BD，所以，∠1=∠BFA（内错角相等），

所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°．

　　说明：

（1）运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线（平行线）的常用技巧．

（2）在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：

∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．

　　例4：

求证：

三角形内角之和等于180°．

　　分析：

平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种．

　证：

如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则∠B=∠1，∠C=∠2（内错角相等）．显然∠1+∠BAC+∠2=平角，所以∠A+∠B+∠C=180°．

　　说明：

事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．

　　例5：

求证：

四边形内角和等于360°．

　　分析：

应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．

　　证：

如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长AB，CB到H，G．则有∠A=∠2（同位角相等），∠D=∠1（内错角相等），∠1=∠3（同位角相等）．

∠C=∠4（同位角相等），　又∠ABC（即∠B）=∠GBH（对顶角相等）．由于

∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°．

　　说明：

（1）同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．

（2）总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：

三角形内角和=180°=（3-2）×180°，

四边形内角和=360°=2×180°=（4-2）×180°．

人们不禁会猜想：

五边形内角和=（5-2）×180°=540°，

…………………………

n边形内角和=（n-2）×180°．

　　这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．

　　（3）在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．

　3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：

EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？

　　4．证明：

五边形内角和等于540°．

　　5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：

EF平分∠DEB．