广州市中考数学压轴题练习及答案.docx
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广州市中考数学压轴题练习及答案
广州市中考数学压轴题练习
（1）求证：
AC是。
O的切线；
（2）若BC=12,AD=8，求de的长.
第23题
24.（本小题满分14分）
已知四边形OABC勺一边0A在x轴上，0为原点，B点坐标为（4,2）.
（1）如图①，若四边形OABC的顶点C（1,4）,A（5,0）,直线CD平分该四边形的面积
且交x轴于点D,试求出△OAC勺面积和D点坐标；
（2）
如图②，四边形OABC是平行四边形，顶点C在第一象限，直线ykx1平分该四边
在平面直角坐标系中，A点坐标为（0,4）,C点坐标为（10,0）
（1）如图25-①，若直线AB//OCAB上有一动点P,当PO=PC时，请直接写出P点坐标;
（2）如图25-②,若直线AB与0C不平行，在过点A的直线yx4上是否存在点P,使
/OPC90。
，若有这样的点P,求出它的坐标，若没有，请简要说明理由；
（3）
若点P在直线ykx4上移动时，只存在一个点P使/OPC90°,试求出此时ykx4中的k值.
k
23.（本小题满分12分）如图所示，直线y2xb与反比例函数y-交于点A、B,与x
x
轴交于点Co
k
（1）若A（-3,m）、B（1,n）直接写出不等式2xb-的解
x
（2）求sin/OCB勺值
（3）若CB—CA=5,求直线AB的解析式
24.（本小题满分14分）已知抛物线C的顶点为P（1,0）,且过点（0,書）.将抛物线C向下平移h个单位（h>0）得到抛物线C2.一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、BCD四点（如图），且点AC关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m（m>0）.
（3）
若抛物线Ci的对称轴与直线AB交于点E,与抛物线C2交于点F.求证:
tan/ED—tan/ECA
2-
22.如图，在平面直角坐标系中，。
M过原点0,与x轴
交于A（4,0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧A0的
中点，连接AC并延长到D,使DC=4CA连接BD
（1）求OM的半径；
（2）证明：
BD为OM的切线;
（3）在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大.
23.如图，直线AB的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,以A为顶点的抛物线交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C（0,-4）.
（1）求抛物线的解析式;
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E,与y轴的交点记为F,
①求当△BEF与厶BAO相似时，E点坐标；
②记平移后抛物线与AB另一个交点为G,则S^EFG与S\ACD是否存在8倍的关系？
若有请直接写出F点的坐标.
23.（本题满分12分）
（1）证法1:
连接OE-1
•••BD=BF
•••/BDI=ZF
./BDf=/F
•••OD=OE
•••OD=OE
•••/ODE/0ED
./ODE/0ED
•••/OED/F3分
./OED/F--
3
分
.OE//BF
•••/BCA=90°
./OE/=/BCA=90°
./F+/FEO90°
.AC是。
O的切线5分
•••/FEO/AED
/OED/F
•••/OEDZAED：
90°
•••AC是。
O的切线5
分
此题证明思路很多，学生可能会绕弯，按照踩分点相应给分。
（2）设。
O的半径为r,
•••0日/BF
AOE^AABC6分
.AOOE
ABBC
•••AB=12,AD=8
解得：
r=8r=-6（舍去）——9分
/.AD=O[=8
•••△AOE是Rt△
/.DE=O[=8
•/DOE600
60
8
8
--l
180
3
24•解：
（1）Saoac
1
OC4
2
•••DE=OD=OE
12分
1
54102分
2
D点坐标给出三种解法:
解法1：
如图1,分别过CB作CELOABF丄OA垂足分别为E,F,设点D（a,0）则有---3分
6分
SaOCD—&边形OABC,
2
•1/1
••—a4126
22
•••a=3,即点D坐标为（3,0）8
解法2:
延长CB交x轴于点E,如图2,
先求出直线BC的解析式为y
214
3xT,
令y=0,得x7,得D（7,0）
图2
得°吕7,人吕2,S四边形OABCS^ocE
11
SaBae742212,
22
6分
1
1a46,求得D（3,0）
2
图3
解法3:
如图3,连接AC,过B作BE//AC交于E,则有S四边形oabcSaoce,直线AD平分四边积，则D为OE中点.易求直线AC解析式为y=—则可设直线BD解析式为y=—x+b,把B（4,2）求得b=6,所以点E（6,0）,求得D（3,0）.
（2）v设P为平行四边形OABC勺对称中心，则过P点的直线平分四边形的面积
•••P为OB的中点，而B（4,2）二P点坐标为（2,1）
把P（2,1）代入y=kx-1得二2k-1=1,二k=19分
个交点
①当mi=0时，y=-x+1,其图象与坐标轴有两
（o,i）,（1,0）------10分
②当0时，函数ymx2（3mk）x2mk
为抛物线，且与y轴总有一个交点（0，2m+1）
1
若抛物线过原点时，2叶仁0,即m=-，此时
2
21
（3m+1）-4m（2m+1）=—>0
4
•••抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意
12分
若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也合题意,
此时△'=（3n+1）2-4n（2m+1）=0，解之得：
m=m=-1
1
综上所述，m的值为n=0或或分
25•解：
（1）（5,4）2分
⑵设P（x,-x+4）,如图，连接OPPC过P作PQLOC垂足为Q,则
解法1：
OP2x2（x4）2,PC2（x4）2（10
OP2PC2OC24分
2
22222•••X2（x4）2+（x4）2（10x）2=10
解得：
x-|=1,x2=8
•••点P的坐标为（1,3）或（8,-4）7分
解法2:
在Rt△OPC中,PQLOC
•△OPQTAPCQ
.OQPQ
…4分
PQQC
…，解得：
x1=1,x2=8
x410x
•••点P的坐标为（1,3）或（8,-4）7分
⑶当直线AB经过点0时，/OPC不存在
当直线AB经过点C时，过点0作AB的垂线有且只有一条，即满足/OPC90°成立的点P
2
是唯一的，将点C（10,0）代入ykx4中，解得k上9分
5
当直线AB不经过点C时，由于点P唯一，所以k>0.如图，给出两种解法：
解法1:
设P（x,kx+4）,显然0vxv10,连接ORPC过P作PQLOC垂足为Q,
若/OPC90°,由厶OPQTAPCQ则有PQ2Oq|cQ,
2
•-（kx4）x（10x）
整理得：
（k1）x（8k10）x160,
•••只存在一个点P•••该方程有唯一解，即
解得：
k14分
40
解法2:
直线ykx4过定点（0,4）,若/OPC90°,则点P可以看作是以OC为直径的圆与直线ykx4的交点（圆心为M，如图，若只存在一个点P,则直线与圆相切。
连接PM,过P作PQLOC垂足为Q设P（x,kx+4）,
Rt△PQM中,PM2PQ2QM即52（kx4）2（5x）2整理得:
（以下同解法1）
23、
（1）x3或0x1
--ACB^=（yA讨b）=5（xaXb）:
5b5
2
解得xi=5,X2=-3,.••点B（-3,4）,C（5,4）,
•••点A、C关于y轴对称，.••点A的坐标为（-5,4）,
设抛物线C2的解析式为匕（x-1）2-h,
k
又2xb-所以2x2bxk0
x
…XaXb
•••b25
（3）证明：
•••直线AB与x轴的距离是吊，
•••点B、C的纵坐标为ml,.••二（x-1）2=m,
解得X1=1+2m,X2=1-2m,•点C的坐标为（1+2m,mi）,
又•••抛物线C1的对称轴为直线x=1,•CE=1+2m-仁2m
•••点AC关于y轴对称，.••点A的坐标为（-1-2m吊）,•••AE=ED=1-（-1-2m）=2+2m
设抛物线C2的解析式为yx（x-1）2-h,则—（-1-2m-1）2-h=m,
解得h=2n+1,AEF=h+m=m+2n+1,
!
■.'=1+:
■-
-_昭1_
m
-
CE=
|加=2
2
2，
•••tan/EDItan/E吟
•••tan/EDItan/ECW.
22.（2014年广东深圳）如图，在平面直角坐标系中，OM过原点O,与x轴交于A（4,0）,与y轴交于B（0,3）,点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D,使DC=4CA连接BD
（1）求OM的半径；
（2）证明：
BD为OM的切线；
（3）在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大.
考点：
圆的综合题.菁优网版权所有分析：
（1）利用A,B点坐标得出AOBO的长，进而得出AB的长，即可得出圆的半径;
（2）根据A,B两点求出直线AB表达式为：
沪—x+3,根据B,D两点求出BD表达式
为y=^x+3，进而得出BDLAB求出BD为OM的切线;
（3）根据D,O两点求出直线DO表达式为y=*x又在直线DO上的点P的横坐标为2,所
以p（2,-）,此时|DP-AP|=DO=「.
解答：
（1）解：
•••由题意可得出：
oA+oB=aB,ao=4bo=3
AB=5
•••圆的半径为丄;
（2）证明：
由题意可得出：
M（2,号）
又TC为劣弧A0的中点，由垂径定理且MC左，故C（2,-1）
过D作DHLx轴于H，设MC与x轴交于K,
则厶ADH
又•••DC=4AC
故DH=5KC=5HA=5KA=10
•D（-6,-5）
设直线AB表达式为：
y=ax+b,
（4k4b=0
I匸，
123
故直线AB表达式为：
y=-^x+3,
4
同理可得：
根据B,D两点求出BD的表达式为y*x+3.
•'KabXKbe=—1,
•••BDLAB,BD为OM的切线;
（3）解：
取点A关于直线MCI勺对称点0,连接DO并延长交直线MC于P,
此P点为所求，且线段DO勺长为|DP-AP|的最大值；
设直线DO表达式为y=kx,
•••-5=-6k,
解得：
k=*,
•直线DO表达式为y=ix
又•••在直线DO上的点P的横坐标为2,y丄,
•P（2,£）,
此时|DP-AP|=DO=/+/祢I.
点评：
此题主要考查了勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式以及两直线垂直系数
的关系等知识，得出直线DOAB,BD的解析式是解题关键.
23.（2014年广东深圳）如图,直线AB的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,
以A为顶点的抛物线交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C（0,-4）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E,与y轴的交点记为F,①求当△BEF与厶BAO相似时,E点坐标;
②记平移后抛物线与AB另一个交点为G,则Saefg与Saacd是否存在8倍的关系？
若有请直接
写出F点的坐标．
考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有分析：
（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；
（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：
△BAOTABFE如答图2-1,作辅助线，利用相似关系得到关系式：
BH=4FH利用此关系式求出点E的坐标；
②首先求出△ACD的面积：
SaacD=8；若Saefg与Saacd存在8倍的关系，贝USaefg=64或Saefg=1；如答图2-2所示，求出Saefg的表达式，进而求出点F的坐标.
解答：
解：
（1）直线AB的解析式为y=2x+4,
令x=0，得y=4；令y=0，得x=-2.
•••A（-2,0）、B（0，4）.
•••抛物线的顶点为点A（-2，0），
•••设抛物线的解析式为：
y=a（x+2）点C（0，-4）在抛物线上，代入上式得：
-4=4a，解得a=-1,
•抛物线的解析式为y=-（x+2）2.
（2）平移过程中，设点E的坐标为（m2m+4,
则平移后抛物线的解析式为：
y=-（x-m）2+2m+4，
•••F（0,-m2+2m+4.
①•••点E为顶点，•/BEF>90°,
•若厶BEF与厶BAO相似，只能是点E作为直角顶点，
•△BA3ABFE
•坐史，即可得：
BE=2EF
EFEFBE
如答图2-1,过点E作EHLy轴于点H,则点H坐标为：
H（0,2m+4•
•••B（0,4）,H（0,2m+4,F（0,-m+2m+4,
•BH=|2m|,FH=|-m2|.
在Rt△BEF中，由射影定理得：
BE=BH?
BFEF=FH?
BF
又•••BE=2EF：
BH=4FH
即：
4|—m|=|2m|.
若-4m=2m解得m=-g或m=0（与点B重合，舍去）；
若-4m=-2m,解得口=或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，/BEF为钝角，故此情形不成立.
…m=—•E（-言，3）.
②假设存在.
联立抛物线：
y=-（x+2）2与直线ABy=2x+4,可求得：
D（-4,-4）,
「•S△AC4X4=8.
2
°.°S△EFG与&ACD存在8倍的关系，
•「S△EFG=64或S^EFG=1.
联立平移抛物线：
y=-（x-m2+2m+4与直线ABy=2x+4,可求得：
G（m-2,2m）.
•「点E与点M横坐标相差2,即：
|xG-|xe|=2.
如答图2-2,SaefG=S\bfg—S^beF=£bF?
|xG|-吉BF|xE|=*BF?
（|xG-|xe|）=BF.
•••B（0,4）,F（0,-m+2m+4,•「BF=|-ni+2m|.
•「|-m+2m|=64或|-m+2m|=1,
•「-m+2m可取值为：
64、-64、1、-1.
当取值为64时，一元二次方程-m+2m=64无解，故-ni+2m^64.
「•-m+2m可取值为：
-64、1、-1.
■/F（0,-m+2m+4,
•「F坐标为:
（0,-60）、（0,3）、（0,5）.
综上所述，&efg与S^acd存在8倍的关系，点F坐标为（0,-60）、（0,3）、（0,5）.
点评：
本题是二次函数压轴题，涉及运动型与存在型问题，难度较大.第
（2）①问中,
解题关键是确定点E为直角顶点，且BE=2EF第
（2）②问中，注意将代数式表示图形面积的方法、注意求坐标过程中方程思想与整体思想的应用.
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