一维热传导方程的差分格式.wps
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微分方程数值解课程论文学生姓名1:
许慧卿学号:
20144329学生姓名2:
向裕学号:
20144327学生姓名3:
邱文林学号:
20144349学生姓名4:
高俊学号:
20144305学生姓名5:
赵禹恒学号:
20144359学生姓名6:
刘志刚学号:
20144346学院:
理学院专业:
14级信息与计算科学指导教师:
陈红斌2017年6月25日偏微分方程数值解课程论文-2-一维热传导方程的差分格式论文一、微分方程数值解课程论文的格式1)引言:
介绍研究问题的意义和现状2)格式:
给出数值格式3)截断误差:
给出数值格式的截断误差4)数值例子:
按所给数值格式给出数值例子5)参考文献:
论文所涉及的文献和教材二、微分方程数值解课程论文的评分标准1)文献综述:
10分;2)课题研究方案可行性:
10分;3)数值格式:
20分;4)数值格式的算法、流程图:
10分;5)数值格式的程序:
10分;6)论文撰写的条理性和完整性:
10分;7)论文工作量的大小及课题的难度:
10分;8)课程设计态度:
10分;9)独立性和创新性:
10分。
评阅人:
一维热传导方程的差分格式-3-一维热传导方程的差分格式一维热传导方程的差分格式1引言1引言考虑如下一维非齐次热传导方程Dirichlet初边值问题22(,),uuafxttx,cxd0,tT(1.1)(,0)(),uxx,cxd(1.2)(,)(),uctt(,)(),udtt0tT(1.3)的有限差分方法,其中a为正常数,(,),(),(),()fxtxtt为已知常数,()(0),c()(0).d称(1.2)为初值条件,(1.3)为边值条件.本文将给出(1.1)(1.3)的向前Euler格式,向后Euler格式和CrankNicolson格式,并给出其截断误差和数值例子.经对比发现,CrankNicolson格式误差最小,向前Euler格式次之,向后Euler格式误差最大.2差分格式的建立2差分格式的建立2.1向前2.1向前Euler格式格式将区间,cd作M等分,将0,T作N等分,并记()/hdcM,/TN,jxcjh,0jM,ktk,0kN.分别称h和为空间步长和时间步长.用两组平行直线jxx,0jM,ktt,0kN将分割成矩形网格.记|0hjxjM,|0ktkN,hh.称,jkxt为结点1.定义h上的网格函数|0,0kjUjMkN,其中,kjjkUuxt.在结点,jkxt处考虑方程(1.1),有一维热传导方程的差分格式-4-22,jkjkjkuxtuxtafxttx11,jM11kN.(2.1)将1,jkuxt以结点,jkxt为中心关于t运用泰勒级数展开,有221,().2!
jkjkjkjkuxtuxtuxtuxto整理有212,().2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtott(2.2)再将1,jkxt,1,jkxt分别以结点,jkxt为中心关于x运用泰勒级数展开,有231,=,(2!
3!
jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth(-)4(4)4,()4!
jkuxthoh,231,=,2!
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jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth(4)44,().4!
jkuxthoh由上述两式可得242112224,2,=()12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx.(2.3)将(2.2),(2.3)两式代入(2.1)中,得1112,-u,2,jkjkjkjkjkkjkjuxtxtuxtuxtuxtafxtRh.(2.4)其中4222242,()122jkjkkjuxtxtahRohxt为方程(2.1)的截断误差.舍去截断误差,用kju代替,jkuxt,得到如下差分方程11122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM01.kN(2.5)结合初边值条件,可得如下差分格式一维热传导方程的差分格式-5-11122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM11,kN(2.6)0(),jjux0,jM(2.7)0(),kjut(),kMkut1.kN(2.8)2.2向后2.2向后Euler差分格式差分格式在结点1,jkxt处考虑方程(1.1),有21112,jkjkjkuxtuxtafxttx11,jM1.kN(2.9)将,jkuxt以1,jkxt为中心关于t运用泰勒级数展开,有21211,(),()().2!
jkjkjkjkuxtuxtuxtuxto将上式整理得21112,().2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtott(2.10)再将11,jkuxt,11,jkuxt分别以1,jkxt为中心关于x运用泰勒级数展开,有23111111,=,(2!
3!
jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth(-)4(4)14,(),4!
jkuxthoh23111111,=,2!
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jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth(4)414,().4!
jkuxthoh由上述两式可得24211111112224,2,=()12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx.(2.11)将(2.10),(2.11)两式代入(2.9)中,得一维热传导方程的差分格式-6-1111112,2,jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtuxtah1,.kjkjfxtR(2.12)其中24211224,()212ikikkjxtuxtahRohtx为方程(2.9)的截断误差.舍去截断误差,用kju代替,jkuxt,得到如下差分方程111111122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM1.kN(2.13)结合初边值条件,可得如下差分格式111111122,kkkkkjjjjjkjuuuuuafh11,jM1,kN(2.14)0(),jjux0,jM(2.15)0(),kkut(),kMkut1.kN(2.16)2.32.3CrankNicolson差分格式差分格式在结点1/2,jkxt处考虑方程(1.1),有21/21/21/22,jkjkjkuxtuxtafxttx11,jM01.kN(2.17)将1,jkuxt,jkuxt以1/2,jkxt为中心关于t运用泰勒级数展开,有21/211/21/2,22!
2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxt31/23,.3!
2jkuxto21/21/21/2,22!
2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxt31/23,.3!
2jkuxto将上述两式整理得一维热传导方程的差分格式-7-3211/21/233,().24jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtott(2.18)再将1,jkuxt,1,jkuxt分别以,jkxt为中心关于x运用泰勒级数展开,有231,(,),=,(2!
3!
jkjkjkjkjkuxthuxthuxtuxtuxth(-)4(4)4,()4!
jkuxthoh,23(4)441,=,().2!
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jkjkjkjkjkjkuxthuxthuxthuxtuxtuxthoh由上述两式得242112224,2,=().12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx(2.19)同理,将11,jkuxt,11,jkuxt分别以1,jkxt为中心关于x泰勒级数展开,整理得24211111112224,2,=().12jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxthohhxx(2.20)此时,分别将1,jkuxt,jkuxt以1/2,jkuxt为中心关于t泰勒级数展开,有2234211/21/21/2222222,1=,22!
2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtoxxxtxt2231/21/2222,=2jkjkjkuxtuxtuxtxxxt421/2222,1.2!
2jkuxtoxt利用上述两式得222421/211/2222222,11.222jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtoxxxxt(2.21)利用(2.19),(2.20)两式,整理有22111222,2,jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtuxtxxh一维热传导方程的差分格式-8-421111124,2,12jkjkjkjkuxtuxtuxtxthhx42124,.12jkxthohx(2.22)结合(2.21),(2.22)两式,整理得21/21122,2,2jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtxh42111111/2222,2,1222jkjkjkjkuxtuxtuxtuxthxt44221244,1.21212jkjkxtxthhohxx(2.23)将(2.18),(2.23)式代入(2.17)得1112,2,2jkjkjkjkjkuxtuxtuxtuxtuxtah111112,2,.2jkjkjkkjkjuxtuxtuxtafxtRh(2.24)其中4443222211/21/244223,21212224jkjkjkjkkjxtxtuxtuxtahhRxxxtt32()oh为方程(2.17)的截断误差.舍去截断误差,用kju代替(,)jkuxt,可得如下差分方程111111111/22222,22kkkkkkkkjjjjjjjjkjuuuuuuuuaafhh11,jM01.kN(2.24)结合初边值条件,可得如下差分格式111111111/22222,22kkkkkkkkjjjjjjjjkjuuuuuuuuaafhh11,jM01,kN(2.25)一维热传导方程的差分格式-9-0(),jjux0,jM(2.26)0(),kkut(),kMkut1.kN(2.27)3差分格式的求解3差分格式的求解3.1向前3.1向前Euler格式格式记2arh,称r为步长比.差分格式(2.6)(2.8)中(2.6)可改写为111(12)kkkkkjjjjjurururuf,11jM,01kN.(3.1)将(3.1)写成如下形式11kkkUAUFrF.其中+1111121=,TkkkkMUuuu,121=,TkkkkMUuuu,121,TkkkkMFfff,10
(1)*1,0,0,0,TkkMMFuu,
(1)*
(1)121212MMrrrrrArrrr.3.2向后3.2向后Euler格式格式记2arh,称r为步长比.差分格式(2.14)(2.16)中(2.14)可改写为111111(12)kkkkkjjjjjurururuf,11jM,1kN.(3.2)将(3.2)写成如下形式111kkkAUUFrF.其中一维热传导方程的差分格式-10-+1111121=,TkkkkMUuuu,121=,TkkkkMUuuu,1111121,TkkkkMFfff,1110
(1)*1,0,0,0,TkkMMFuu,
(1)*
(1)(12)(12)(12)MMrrrrrArrrr.3.33.3CrankNicolson格式格式记2arh,称r为步长比.差分格式(2.25)(2.27)中(2.25)可改写为1111/21111-/2(