高考数学理科一轮复习抛物线学案附答案.docx

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高考数学理科一轮复习抛物线学案附答案

高考数学（理科）一轮复习抛物线学案附答案

　　学案53　抛物线

　　导学目标：

1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．

　　自主梳理

　　．抛物线的概念

　　平面内与一个定点F和一条定直线l距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．

　　．抛物线的标准方程与几何性质

　　标准方程y2＝2px

　　y2＝－2px

　　x2＝2p

　　x2＝－2p

　　p的几何意义：

焦点F到准线l的距离

　　图形顶点o

　　对称轴y＝0x＝0

　　焦点F

　　F

　　F

　　F

　　离心率e＝1

　　准线方程x＝－p2

　　x＝p2

　　y＝－p2

　　y＝p2

　　范围x≥0，

　　y∈Rx≤0，

　　y∈Ry≥0，

　　x∈Ry≤0，

　　x∈R

　　开口方向向右向左向上向下

　　自我检测

　　．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是

　　A．1B．2c．4D．8

　　．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为

　　A．－2B．2c．－4D．4

　　．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是

　　A．y2＝－8xB．y2＝8x

　　c．y2＝－4xD．y2＝4x

　　．已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有

　　A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|

　　B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2

　　c．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|

　　D．|FP2|2＝|FP1|•|FP3|

　　．已知抛物线方程为y2＝2px，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作A、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于、N两点，那么∠FN必是

　　A．锐角B．直角

　　c．钝角D．以上皆有可能

　　探究点一　抛物线的定义及应用

　　例1　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．

　　变式迁移1　已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为

　　A.14，－1B.14，1

　　c．D．

　　探究点二　求抛物线的标准方程

　　例2　已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，求的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2　根据下列条件求抛物线的标准方程：

　　抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；

　　过点P．

　　探究点三　抛物线的几何性质

　　例3　过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示．

　　若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：

y1y2＝－p2；

　　若直线Ao与抛物线的准线相交于点c，求证：

Bc∥x轴．

　　变式迁移3　已知AB是抛物线y2＝2px的焦点弦，F为抛物线的焦点，A，B．求证：

　　x1x2＝p24；

　　|AF|＋1|BF|为定值．分类讨论思想的应用

　　例　过抛物线y2＝2px焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设o为坐标原点，问：

是否存在实数λ，使Ao→＝λoD→？

　　多角度审题　这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ.

　　【答题模板】

　　解　假设存在实数λ，使Ao→＝λoD→.

　　抛物线方程为y2＝2px，

　　则Fp2，0，准线l：

x＝－p2，

　　当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，

　　交点A、B坐标不妨设为：

Ap2，p，Bp2，－p.

　　∵BD⊥l，∴D－p2，－p，

　　∴Ao→＝－p2，－p，oD→＝－p2，－p，∴存在λ＝1使Ao→＝λoD→.[4分]

　　当直线AB的斜率存在时，

　　设直线AB的方程为y＝x－p2，

　　设A，B，则D－p2，y2，x1＝y212p，x2＝y222p，

　　由y＝x－p2y2＝2px　得y2－2py－p2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝－p2y1，[8分]

　　Ao→＝＝－y212p，－y1，oD→＝－p2，y2＝－p2，－p2y1，

　　假设存在实数λ，使Ao→＝λoD→，则－y212p＝－p2λ－y1＝－p2y1λ，解得λ＝y21p2，∴存在实数λ＝y21p2，使Ao→＝λoD→.

　　综上所述，存在实数λ，使Ao→＝λoD→.[12分]

　　【突破思维障碍】

　　由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出Ao→和oD→的坐标，判断λ是否存在．

　　【易错点剖析】

　　解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足．

　　．关于抛物线的定义

　　要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．

　　．关于抛物线的标准方程

　　抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：

　　p的几何意义：

参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．

　　方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．

　　．关于抛物线的几何性质

　　抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：

　　已知过抛物线y2＝2px的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A，B，则有下列性质：

|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等．一、选择题

　　．已知抛物线c：

y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与c交于A，B两点，则cos∠AFB等于

　　A.45B.35

　　c．－35D．－45

　　．将两个顶点在抛物线y2＝2px上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则

　　A．n＝0B．n＝1

　　c．n＝2D．n≥3

　　．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是

　　A．相离B．相交c．相切D．不确定

　　．已知点A，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是

　　A.－14，1B．

　　c.－14，－1D．

　　．设o为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若oA→•AF→＝－4，则点A的坐标为

　　A．B．

　　c．D．

　　二、填空题

　　．设圆c位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域内，则圆c的半径能取到的最大值为________．

　　．已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为，则|AB|＝________.

　　．设抛物线y2＝2px的焦点为F，点A．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

　　三、解答题

　　．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．

　　0．已知抛物线c：

x2＝8y.AB是抛物线c的动弦，且AB过F，分别以A、B为切点作轨迹c的切线，设两切线交点为Q，证明：

AQ⊥BQ.

　　1．已知定点F和直线l1：

y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点c.

　　求动点c的轨迹方程；

　　过点F的直线l2交轨迹c于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→•RQ→的最小值．

　　学案53　抛物线

　　自主梳理

　　．相等　焦点　准线

　　自我检测

　　．c

　　．B　[因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.]

　　．B　4.c　5.B

　　课堂活动区

　　例1　解题导引　重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

　　解　

　　将x＝3代入抛物线方程

　　y2＝2x，得y＝±6.

　　∵6>2，∴A在抛物线内部．

　　设抛物线上点P到准线l：

　　x＝－12的距离为d，由定义知

　　|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，

　　当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，

　　即|PA|＋|PF|的最小值为72，

　　此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，

　　∴点P坐标为．

　　变式迁移1　A　[

　　点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为14，－1.]

　　例2　解题导引　求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；

　　待定系数法求抛物线方程时既要定位，又要定量．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解；

　　解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．

　　解　方法一　设抛物线方程为

　　x2＝－2py，

　　则焦点为F0，－p2，准线方程为y＝p2.

　　∵在抛物线上，且|F|＝5，

　　∴2＝6p，2＋－3＋p22＝5，　解得p＝4，＝±26.

　　∴抛物线方程为x2＝－8y，＝±26，

　　准线方程为y＝2.

　　方法二　如图所示，

　　设抛物线方程为x2＝－2py，

　　则焦点F0，－p2，

　　准线l：

y＝p2，作N⊥l，垂足为N.

　　则|N|＝|F|＝5，而|N|＝3＋p2，

　　∴3＋p2＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，

　　准线方程为y＝2.由2＝×，得＝±26.

　　变式迁移2　解　双曲线方程化为x29－y216＝1，

　　左顶点为，由题意设抛物线方程为y2＝－2px且－p2＝－3，∴p＝6.∴方程为y2＝－12x.

　　由于P在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2＝x或x2＝ny，代入P点坐标求得＝8，n＝－1，

　　∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y.

　　例3　解题导引　解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质为例）：

　　①y1y2＝－p2，x1x2＝p24；

　　②|AB|＝x1＋x2＋p.

　　证明　方法一　由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp2，0.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为、．

　　①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为

　　y＝x－p2，由y＝x－p2，y2＝2px，

　　消去x，得y2－2py－p2＝0.

　　当＝0时，方程只有一解，∴≠0，

　　由韦达定理，得y1y2＝－p2；

　　②当斜率不存在时，得两交点坐标为

　　p2，p，p2，－p，∴y1y2＝－p2.

　　综合两种情况，总有y1y2＝－p2.

　　方法二　由抛物线方程可得焦点Fp2，0，设直线AB的方程为x＝y＋p2，并设A，B，

　　则A、B坐标满足x＝y＋p2，y2＝2px，

　　消去x，可得y2＝2py＋p2，

　　整理，得y2－2py－p2＝0，∴y1y2＝－p2.

　　直线Ac的方程为y＝y1x1x，

　　∴点c坐标为－p2，－py12x1，yc＝－py12x1＝－p2y12px1.

　　∵点A在抛物线上，∴y21＝2px1.

　　又由知，y1y2＝－p2，∴yc＝y1y2•y1y21＝y2，∴Bc∥x轴．

　　变式迁移3　证明　∵y2＝2px的焦点Fp2，0，设直线方程为y＝x－p2，

　　由y＝x－p2y2＝2px，消去x，得y2－2py－p2＝0.

　　∴y1y2＝－p2，x1x2＝y1y224p2＝p24，

　　当不存在时，直线方程为x＝p2，这时x1x2＝p24.

　　因此，x1x2＝p24恒成立．

　　|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2

　　＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24.

　　又∵x1x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常数，

　　所以1|AF|＋1|BF|为定值．

　　课后练习区

　　．D　[方法一　由y＝2x－4，y2＝4x，得x＝1，y＝－2或x＝4，y＝4.

　　令B，A，又F，

　　∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35.

　　∴cos∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF|•|AF|＝4＋25－452×2×5

　　＝－45.

　　方法二　由方法一得A，B，F，

　　∴FA→＝，FB→＝，

　　∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.

　　∴cos∠AFB＝FA→•FB→|FA→|•|FB→|＝3×0＋4×－25×2＝－45.]

　　．c　[

　　如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为，设A，则由抛物线定义，

　　|AF|＝|AA1|，

　　即＋p2＝|AF|.

　　又|AF|＝|AB|＝22p，

　　∴＋p2＝22p，整理，得2－7p＋p24＝0，①

　　∴Δ＝2－4×p24＝48p2>0，

　　∴方程①有两相异实根，记为1，2，且1＋2＝7p>0，1•2＝p24>0，

　　∴1>0，2>0，∴n＝2.]

　　．c

　　．A　[过P作P⊥l于，则|PF|＝|P|，

　　∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|P|.

　　∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|P|最小，此时P点的纵坐标为1，把y＝1代入y2＝－4x，得x＝－14，即当P点的坐标为－14，1时，|PA|＋|PF|最小．]

　　．B

　　6－1

　　解析　如图所示，若圆c的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，设圆心的坐标为，则圆的方程为2＋y2＝2，与抛物线方程y2＝2x联立得x2＋x＋6a－9＝0，由判别式Δ＝2－4＝0，得a＝4－6，故此时半径为3－＝6－1.

　　．42

　　解析　由题意可设AB的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－4x－4＝0，线段AB中点坐标为，x1＋x2＝4＝4，得＝1.

　　又∵y1＋y2＝＋2＝4，

　　∴＝0.从而直线AB：

y＝x，|AB|＝2|o|＝42.

　　324

　　解析　抛物线的焦点F的坐标为p2，0，线段FA的中点B的坐标为p4，1，代入抛物线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为24，1，故点B到该抛物线准线的距离为24＋22＝324.

　　．解　设直线和抛物线交于点A，B，

　　当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px，则y2＝2pxy＝2x＋1，消去y得，

　　x2－x＋1＝0，

　　∴x1＋x2＝p－22，x1x2＝14，

　　∴|AB|＝1＋2|x1－x2|

　　＝5•x1＋x22－4x1x2

　　＝5•p－222－4×14＝15，

　　则p24－p＝3，p2－4p－12＝0，解得p＝6，

　　抛物线方程为y2＝12x.

　　当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2＝－2px，仿不难求出p＝2，

　　此时抛物线方程为y2＝－4x.

　　综上可得，

　　所求的抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.

　　0．证明　因为直线AB与x轴不垂直，

　　设直线AB的方程为y＝x＋2，A，B．

　　由y＝x＋2，y＝18x2，

　　可得x2－8x－16＝0，x1＋x2＝8，x1x2＝－16.

　　抛物线方程为y＝18x2，求导得y′＝14x.

　　所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是

　　＝14x1，2＝14x2，12＝14x1•14x2

　　＝116x1•x2＝－1.

　　所以AQ⊥BQ.

　　1．解　由题设点c到点F的距离等于它到l1的距离，

　　所以点c的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，

　　∴所求轨迹的方程为x2＝4y.

　　由题意直线l2的方程为y＝x＋1，与抛物线方程联立消去y得x2－4x－4＝0.

　　记P，Q，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4.

　　因为直线PQ的斜率≠0，易得点R的坐标为－2，－1.

　　RP→•RQ→＝x1＋2，y1＋1•x2＋2，y2＋1

　　＝x1＋2x2＋2＋

　　＝x1x2＋2＋2＋42＋4

　　＝－4＋42＋2＋42＋4

　　＝42＋12＋8，

　　∵2＋12≥2，当且仅当2＝1时取到等号．

　　RP→•RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→•RQ→的最小值为16.