陈鹤鸣激光原理习题与思考题3解答.docx
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陈鹤鸣激光原理习题与思考题3解答
习题与思考题三解答
1.简述光学谐振腔的作用。
2.C02激光器的腔长L=100cm,反射镜直径D=1.5cm,两镜的光强反射系数分别为rl=0.985zr2=0.8o求由衍射损耗及输岀损耗分别引起的6几
解答］
衍射损耗：
a2
=1O-6X1O_6^=0.188
（0・75xl0T）2
厶
Tz.=—=
-1.-1.75x10'85
0.188x3x10s
输出损耗：
6=In八=一0.5x/?
?
（0.985x0.8）=0.119
厶
=—=c
0.119x3x10s^78105
解答2：
（1）输出损耗由腔镜反射不完全引起。
初始光强为10在无源腔内往返一次后光强
衰减为II,则：
h=1=rir2^Q
^>5l=l]n~r^=21110.985*0.8="
C3*10*/r
Q二2冗Sr严2兀s严2加*2.78*10一8s二4.94*106
210.6jLim
（2）衍射损耗：
腔的菲涅耳数
za2D2
L24LZ
14L24*100加*10.6“加
o,——=——==0.1oo
ND2（1.5cm）2
0.188*3*10sm/5=L77*1（）8j
cc1I
25—
3.利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔,即任意近轴光线在其中可以往返无限多次,而且两次往返即自行闭合。
证明如下：
（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。
共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。
公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。
两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。
）
根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
设两个凹镜的曲率半径分别是&和尼,腔长为厶”根据对称共焦腔特点可知:
R严R?
=R=L
因此,—次往返转换矩阵为
把条件RT=R=厶带入到转换矩阵t,得到：
-1
0
C
D
0
-1
共轴球面腔的稳定判别式子
-1<|（A+D）<1
-（A+D）=-l-（A+£））=l
如果2或者2,则谐振腔是临界腔,是否是稳定腔要I艮据
情况来定。
本题中，因此可以断定是介稳腔（临界腔）,下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。
经过两个往返的转换矩阵式J，,
T2=P°
01
坐标转换公式为:
r2
=T-
10
02
01
q
q
其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标,通过上边的式子可以看出,光线经过两次往返后回到光线的出发点,即形成了封闭,因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。
4.分别按下图3・48⑻（b）中的往返顺序,推导近轴光线往返一周的光学变换矩阵（：
d）,并证明这两种情况下的扌（A+D）相等。
5•激光器的谐振腔由一面曲率半径为lm的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成,工作物质长0.5m,其折射率为1・52•求腔长L在什么范围内是稳定腔?
解答如下：
设腔长为厶，腔的光学长度为厶，
已矢口R2=2M厶°=0・5M〃]=177：
=1.52
根据
代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到：
因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。
L=厶1一厶0|厶0=厶_0・5+
-一IL52
代入上式，得到:
I11.52J
丄（4+D）=l+厶_Z?
=1+厶一°厂+竺
211.52
要达到稳定腔的条件,必须是
-1<-（A+D）<1
I
按照这个条件,得到腔的几何长度为：
1.17<厶<2.17
I
单位是米。
解答完毕。
6.设光学谐振腔两镜面曲率半径Rl=-lm,R2=1.5m,试问：
腔长L在什么范围内变化时该腔为稳定腔?
LL2
0<（1——）*（1-——）<1^0<（l+L）*（l__L）<1
解：
&忌3
所以:
2
7.
R=100cm,L=40cm的对称腔,相邻纵模的频率差为多少？
8.腔长为0.5m的氮离子激光器z发射中心频率v0=5・85x：
10i4Hz,荧光线宽心=6><108Hzo问可能存在几个纵模?
相应的q值为多少？
解：
纵模间隔为：
Av6x10s
n===2#
Avy3x10s
则可能存在的纵模数有3个;它们对应的q值分别为：
q+1=1950001zq-1=1949999
9.He-Ne激光器的中心频^vO=4.74xiO14Hz,荧t*c^Av=1.5x109Hz,腔长L=lmf问可能输岀的纵模数为多少？
为获得单纵模输出，腔长最长为多少？
解：
（1）
Cc3x10s
△"q=2〃L=2L二2x1=i.5xl°sHz
输出纵模数为
Av1.5xlO9
N=[Xq]+l=[l-5xl08]+l=U
（2）
1
即
Cc3x10s
=2〃L=2L二2xL=1.5x10s/L>1.5x109
则L10.有一个谐振腔，腔长L=lm,两个反射镜中,—个全反，一个半反。
半反镜反射系数r=0.99o求在1500MHz的范围内所包含的纵模个数，及每个纵模的线宽（不考虑其它损耗）。
解：
（1）
Cc3x10s
二2〃L=2L二2x1=i.5x108Hz
输出纵模数为
Av1500xlO6
N二[△%]+!
=[1.5x10s]+i=n
所以输岀纵模数为H.
（2）透射损耗
J=-—Inrkr2[（1-/;）+（l-r,）]=0.01/2
22=0.005
r=L/&=l/O.OO5x3xlO^lxlO-5
线宽
△心加=爭吩2.泪哄
11.求方形镜共焦腔镜面上的TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？
（可以
30S为参数）
11、式求出方形镜共焦腔面上TEMm模的节钱拉置，这些节线是
等距分布的吗？
絡JBT3（X）=8X3-12X
令h3（x）=0匸＞為厂击,尽一G
\x3-叫|二|x2-x±|等间距分布
解答2:
方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为
经过博伊德一戈登变换，在通过厄密•高斯近似，可以用厄密•高斯函数表示镜面上场的函数
使^0（X，）9=0就可以求出节线的位置。
由上式得到：
12.试写出圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上场的分布函数v02（r,（p）和
v20（r,（p）,并计算各节线的位置。
解答：
圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔一高斯近似下,可以写成如下的形式
（这个场对应于側切,两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时,只能选余弦,否则整个式子将为零）
W卜i
并且I%丿,代入上式，得到
00（"）=°20
取余弦项，根据题中所要求的结果，取
就能求出镜面上节线的位置。
既
cos20=O=>®=彳，久=耳
代入上式并使光波场为零，得到
显然，只要
即满足上式•最后镜面上节线圆的半径分别为：
V|
解答完毕。
对于TEW。
模：
d）=zj（x）=l
sin2©=0
节线处：
cos2（p=0或
丄兀丄3龙
44
即节线将整圆4等分
13.从镜面上的光斑大小来分析,当它超过镜子的线度时，这样的横模不可能存在。
试估算在腔长l=30cm,镜面线度2a=0.2cm的He-Ne激光方形镜共焦腔中所可能出现的最高阶横模的阶次是多大？
解^兄=0.6328x106/”
a=0.1c加=1x105m
二＞m=7.76匚＞wniax=nmax=
14.稳定双凹球面腔腔长L“m,两个反射镜的曲率半径分别为Rl=1.5m/R2=3m,求它的等价共焦腔腔长，并画出它的位置。
解答：
_L®-厶）
1（L—RJ+（厶-心）
_-L（R]-L）
2（L-RJ+（厶-尺2）
£2厶（/?
2—厶）（局—厶）（心+&—厶）
得Z1=--Z2=-/
等价共焦腔腔长〃=2f=玉导
15.对称双凹球面腔腔长为L,反射镜的曲率半径R=2.5L,光波长为入,求镜面上的基
模光斑锂
解：
因为为对称球面腔,所以假设Z1V0,Z2>0,并且z2=・zl二z「为等价共焦腔
焦距，所以
R1=-R=R（zl）=-（zl+f2/zl）=-（z+f2/z）
L=z2-zl=2z
等价共焦腔腔长L'=2f=2Lo
所以镜面上基模光斑半径为
16.有一凹凸腔He・Ne激光器;腔长L=30cm;凹面镜的曲率半径Rl=50cm,凸面镜的曲率半径R2=30cm.
（1）利用稳定性条件证明此腔为稳定腔。
（2）求此腔产生的基模高斯光束的腰斑半径及束腰位置。
（3）求此腔产生的基模高斯光束的远场发散角。
（1）
°<般2=°・8<1
L（&_L）
Zl=1=-0.45/w
（E_尽）+（L-RJ
（2）
—L（R\—L）
乙==-0.15/n
・（L-Rj+（L■RJ
V[（厶-即+（厶-他）F
久=6.328x107加
17.有一平凹腔，凹面镜曲率半径R=5m,E长L=lm,光波长入=0・5m・求：
（1）两镜面上的基模光斑半径；
（2）基模高斯光束的腰斑半径及束腰位置；
（3）基模高斯光束的远场发散角。
解：
⑴宀=丿=4
等价共焦腔腔长L*=2f=4m,几=0.5m
・・・©（z）=0°Jl+（z//）2%=JU九12兀=0.56m/
zl=0时，”（zl）=gt0=0.56m
z2=lmH'J",gt（z2）=gt0Jl+（l/2）2=0.63m
（2）腰斑半径碣=JLN/2”二0.56〃,束腰在z“处，与平面镜重合。
&o二2JNt兀=2刀如0=0.564rad
18•设计一对称光学谐振腔，腔长L=2m,波长入=10・6pm・如选择凹面镜曲率半径R=L,试求镜面上光斑尺寸。
若保持L不变,选择R>L,并使镜面上光斑尺寸u）os=O.3cm,问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？
解：
（1）镜面光斑尺寸（此时可把它看作对称共焦腔）：
（2）此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是%=R严R»L根据（3-160）式可得镜面光斑尺寸为（舍去一个与L近似相等的解R=1.204m）:
用（R-厶）—LX2R一厶）一
=—H——=2.5977x[——=3二＞*5.911加
V兀L（2R_L）2x（2/?
—2）
（3）
19.某共焦腔Ne・Ne激光器z波长入=0.6328pg若镜面上基模光斑尺寸为0.5mmz试求共焦腔的腔长。
若腔长保持不变，而波长入=3・39pm，此时镜面上光斑尺寸为多少？
解：
（1）因为镜面上光斑尺寸为：
所以等价共焦腔腔长
Lf=7l^70s2/A
当=0.6328/Anf=0.5mm时，
⑵当久=3・39“n时,
20.图3-49为四平面反射镜（MSM4）构成的环形腔，在Ml和M4之间放置一个薄透镜,其焦距为f（>0）,整个腔长为L=2（2L1+L2）O
（1）确定该腔的稳定性区间。
（2）画出该腔的双球面镜等价腔,并标出腔参数。
（3）若f=20cmzLl=5cm/L2=10cm,A=514.5nm.g<该腔的束腰大小，位置和谐振频率。
解:
（1）列出光在该歇歇很强小传输一周期的变换矩阵
由稳定性条件可得;
IA+D1-Z//+1-1<=
=1-厶/2/<1
由此可得稳朮性条件为：
0（2）此腔可等效为对称球面镜腔，其光腰应位F该等价腔的中心，I大I此光腰位置为Ml与M2中线处。
（3）L=2（2L1+L2）=40cm=2f
束腰大小为%=、/〃/兀=1・8叹10」加:
此腔可等效为对称球而镜腔，其光腰应位丁该
等价腔的屮心，因此光腰位置为Ml与M2-I-线处。
谐振频率为气=理/2松=理/2厶二gx3.75x10$Hz
21.—台激光器如图3・50所示f—个长度为d的激光介质置于腔长为L的平凹腔中，平面镜Ml为全反镜，球面镜M2的曲率半径为R2,反射系数为「2,不考虑增益介质，
（1）确定激光器的稳定性条件；
（2）求束腰的大小及位置；（3）求输出镜处的光束曲率半径。
解：
（1）设激光介质折射率为m则L-L-d+d/n=L+（1-n）d/n
gl=l-L7Rl=l;g2=l・L7R2当腔稳定时0R2
zl=0
'zl=0
R2=z2+f2/z2
>二<
z2=L>
L'=z2-zl=厶+（1・11）d/〃
JX
[f=^R2-L）u\
束峻大小为％=J〃/兀其中/=&R2-L"束腰位丁-平面镜Ml处
（3）w（z）=wOjl+（z//）2,则输出处z=z2,带入
w（z2）=w0jl+（z2/
22.—虚共焦非稳腔;工作波长A=1.06pm,S5长L=0.3m,有效菲涅尔数Nef=0.5,往返损耗率6二0・5,试求单端输出时，镜Ml和M2的线度和曲率半径。
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