OpenGL之曲线和曲面.docx
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OpenGL之曲线和曲面
计算机图形学中，所有的光滑曲线、曲面都采用线段或三角形逼近来模拟，但为了精确地表现曲线，通常需要成千上万个线段或三角形来逼近，这种方法对于计算机的硬件资源有相当高的要求。
然而，许多有用的曲线、曲面在数学上只需要用少数几个参数（如控制点等）来描述。
这种方法所需要的存储空间比线段、三角形逼近的方法来所需要的空间要小得多，并且控制点方法描述的曲线、曲面比线段、三角形逼近的曲线、曲面更精确。
为了说明如何在OpenGL中绘制复杂曲线和曲面，我们对上述两类比方法都进行了介绍。
下面我们先来介绍有关基础知识，然后再看是如何实现的吧。
一、曲线的绘制
OpenGL通过一种求值器的机制来产生曲线和曲面，该机制非常灵活，可以生成任意角度的多项式曲线，并可以将其他类型的多边形曲线和曲面转换成贝塞尔曲线和曲面。
这些求值器能在任何度的曲线及曲面上计算指定数目的点。
随后，OpenGL利用曲线和曲面上的点生成标准OpenGL图元，例如与曲线或曲面近似的线段和多边形。
由于可让OpenGL计算在曲线上所需的任意数量的点，因此可以达到应用所需的精度。
对于曲线，OpenGL中使用glMap1*（）函数来创建一维求值器，该函数原型为：
voidglMap1{fd}（GLenumtarget,TYPEu1,TYPEu2,GLintstride,GLintorder,constTYPE*points）;
函数的第一个参数target指出控制顶点的意义以及在参数points中需要提供多少值，具体值见表一所示。
参数points指针可以指向控制点集、RGBA颜色值或纹理坐标串等。
例如若target是GL_MAP1_COLOR_4，则就能在RGBA四维空间中生成一条带有颜色信息的曲线，这在数据场可视化中应用极广。
参数u1和u2，指明变量U的范围，U一般从0变化到1。
参数stride是跨度，表示在每块存储区内浮点数或双精度数的个数，即两个控制点间的偏移量，比如上例中的控制点集ctrpoint[4][3]的跨度就为3，即单个控制点的坐标元素个数。
函数参数order是次数加1，叫阶数，与控制点数一致。
参数
意义
GL_MAP1_VERTEX_3
x,y,z顶点坐标
GL_MAP1_VERTEX_4
x,y,z,w顶点坐标
GL_MAP1_INDEX
颜色表
GL_MAP1_COLOR_4
R,G,B,A
GL_MAP1_NORMAL
法向量
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_1
s 纹理坐标
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_2
s,t 纹理坐标
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_3
s,t,r 纹理坐标
GL_MAP1_TEXTURE_COORD_4
s,t,r,q 纹理坐标
表一、参数target的取值表
使用求值器定义曲线后，必须要启动求值器，才能进行下一步的绘制工作。
启动函数仍是glEnable（），其中参数与glMap1*（）的第一个参数一致。
同样，关闭函数为glDisable（），参数也一样。
一旦启动一个或多个求值器，我们就可以构造近似曲线了。
最简单的方法是通过调用计算坐标函数glEvalcoord1*（）替换所有对函数glVertex*（）的调用。
与glVertex*（）使用二维、三维和四维坐标不同，glEvalcoord1*（）将u值传给所有已启动的求值器，然后由这些已启动的求值器生成坐标、法向量、颜色或纹理坐标。
OpenGL曲线坐标计算的函数形式如下：
voidglEvalCoord1{fd}[v]（TYPEu）;
该函数产生曲线坐标值并绘制。
参数u是定义域内的值，这个函数调用一次只产生一个坐标。
在使用glEvalCoord1*（）计算坐标，因为u可取定义域内的任意值，所以由此计算出的坐标值也是任意的。
使用glEvalCoord1*（）函数的优点是，可以对U使用任意值，然而，如果想对u使用N个不同的值，就必须对glEvalCoord1*（）函数执行N次调用，为此，OpenGL提供了等间隔值取值法，即先调用glMapGrid1*（）定义一个间隔相等的一维网格，然后再用glEvalMesh1（）通过一次函数执行，将求值器应用在网格上，计算相应的坐标值。
下面详细解释这两个函数：
1、voidglMapGrid1{fd}（GLintn,TYPEu1,TYPEu2）;
定义一个网格，从u1到u2分为n步，它们是等间隔的。
实际上，这个函数定义的是参数空间网格。
2、voidglEvalMesh1（GLenummode,GLintp1,GLintp2）;
计算并绘制坐标点。
参数mode可以是GL_POINT或GL_LINE，即沿曲线绘制点或沿曲线绘制相连的线段。
这个函数的调用效果同在p1和p2之间的每一步给出一个glEvalCoord1（）的效果一样。
从编程角度来说，除了当i=0或i=n，它准确以u1或u2作为参数调用glEvalCoord1（）之外，它等价于一下代码：
glBegin（GL_POINT）; /*glBegin（GL_LINE_STRIP）;*/
for（i=p1;i<=p2;i++）
glEvalCoord1（u1+i*（u2-u1）/n）;
glEnd（）;
为了进一步说明OpenGL中曲线的绘制方法。
下面我们来看一个简单的例子，这是用四个控制顶点来画一条三次Bezier曲线。
程序如下（注：
这是本讲座中提供的第一个完整的OpenGL实例代码，如果读者朋友对整个程序结构有些迷惑的话，也不要紧，慢慢地往下看，先有一个感官上的印象，主要是掌握如何实现曲线绘制这一部分。
关于OpenGL的程序整体结构实现，笔者将在第五讲中专门阐述）：
#include"glos.h"
#include
#include
#include
voidmyinit（void）;
voidCALLBACKmyReshape（GLsizeiw,GLsizeih）;
voidCALLBACKdisplay（void）;
GLfloatctrlpoints[4][3]={
{-4.0,-4.0,0.0},{-2.0,4.0,0.0},
{2.0, -4.0,0.0},{4.0, 4.0,0.0}
};
voidmyinit（void）
{
glClearColor（0.0,0.0,0.0,1.0）;
glMap1f（GL_MAP1_VERTEX_3,0.0,1.0,3,4,
&ctrlpoints[0][0]）;
glEnable（GL_MAP1_VERTEX_3）;
glShadeModel（GL_FLAT）;
}
voidCALLBACKdisplay（void）
{
inti;
glClear（GL_COLOR_BUFFER_BIT）;
glColor3f（1.0,1.0,1.0）;
glBegin（GL_LINE_STRIP）;
for（i=0;i<=30;i++）
glEvalCoord1f（（GLfloat）i/30.0）;
glEnd（）;
/*显示控制点*/
glPointSize（5.0）;
glColor3f（1.0,1.0,0.0）;
glBegin（GL_POINTS）;
for（i=0;i<4;i++）
glVertex3fv（&ctrlpoints[i][0]）;
glEnd（）;
glFlush（）;
}
voidCALLBACKmyReshape（GLsizeiw,GLsizeih）
{
glViewport（0,0,w,h）;
glMatrixMode（GL_PROJECTION）;
glLoadIdentity（）;
if（w<=h）
glOrtho（-5.0,5.0,-5.0*（GLfloat）h/（GLfloat）w,
5.0*（GLfloat）h/（GLfloat）w,-5.0,5.0）;
else
glOrtho（-5.0*（GLfloat）w/（GLfloat）h,5.0*（GLfloat）w/（GLfloat）h,-5.0,5.0,-5.0,5.0）;
glMatrixMode（GL_MODELVIEW）;
glLoadIdentity（）;
}
二、曲面构造
曲面的绘制方法基本上与曲线的绘制方法是相同的，所不同的是曲面使用二维求值器，并且控制点连接起来形成一个网格。
对于曲面，求值器除了使用二个参数U、V之外，其余与一维求值器基本相同。
顶点坐标、颜色、法线矢量和纹理坐标都对应于曲面而不是曲线。
在OpenGL中定义二维求值器的函数是：
voidglMap2{fd}（GLenumtarget,TYPEu1,TYPEu2,GLintustride,GLintuorder,TYPEv1,TYPEv2,
GLintvstride,GLintvorder,TYPEpoints）;
参数target可以是表一中任意值，不过需将MAP1改为MAP2。
同样，启动曲面的函数仍是glEnable（），关闭是glDisable（）。
u1、u2为u的最大值和最小值；v1、v2为v的最大值和最小值。
参数ustride和vstride指出在控制点数组中u和v向相邻点的跨度，即可从一个非常大的数组中选择一块控制点长方形。
例如，若数据定义成如下形式：
GLfloatctlpoints[100][100][3];
并且，要用从ctlpoints[20][30]开始的4x4子集，选择ustride为100*3，vstride为3，初始点设置为ctlpoints[20][30][0]。
最后的参数都是阶数，uorder和vorder，二者可以不同。
曲面坐标计算函数为：
voidglEvalCoord2{fd}[v]（TYPEu,TYPEv）;
该函数产生曲面坐标并绘制。
参数u和v是定义域内的值。
下面看一个绘制Bezier曲面的例子：
/*控制点的坐标*/
GLfloatctrlpoints[4][4][3]={
{{-1.5,-1.5,2.0},{-0.5,-1.5,2.0},
{0.5,-1.5,-1.0},{1.5,-1.5,2.0}},
{{-1.5,-0.5,1.0},{-0.5,1.5,2.0},
{0.5,0.5,1.0},{1.5,-0.5,-1.0}},
{{-1.5,0.5,2.0},{-0.5,0.5,1.0},
{0.5,0.5,3.0},{1.5,-1.5,1.5}},
{{-1.5,1.5,-2.0},{-0.5,1.5,-2.0},
{0.5,0.5,1.0},{1.5,1.5,-1.0}}
};
voidmyinit（void）
{
glClearColor（0.0,0.0,0.0,1.0）;
glMap2f（GL_MAP2_VERTEX_3,0,1,3,4,0,1,12,4,
&ctrlpoints[0][0][0]）;
glEnable（GL_MAP2_VERTEX_3）;
glMapGrid2f（20,0.0,1.0,20,0.0,1.0）;
glEnable（GL_DEPTH_TEST）;
}
voidCALLBACKdisplay（void）
{
inti,j;
glClear（GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT）;
glColor3f（0.3,0.6,0.9）;
glPushMatrix（）;
glRotatef（35.0,1.0,1.0,1.0）;
for（j=0;j<=8;j++）
{
glBegin（GL_LINE_STRIP）;
for（i=0;i<=30;i++）
glEvalCoord2f（（GLfloat）i/30.0,（GLfloat）j/8.0）;
glEnd（）;
glBegin（GL_LINE_STRIP）;
for（i=0;i<=30;i++）
glEvalCoord2f（（GLfloat）j/8.0,
（GLfloat）i/30.0）;
glEnd（）;
}
glPopMatrix（）;
glFlush（）;
}
OpenGL中定义均匀间隔的曲面坐标值的函数与曲线的类似，其函数形式为：
voidglMapGrid2{fd}（GLenumnu,TYPEu1,TYPEu2,GLenumnv,TYPEv1,TYPEv2）;
voidglEvalMesh2（GLenummode,GLintp1,GLintp2,GLintq1,GLintq2）;
第一个函数定义参数空间的均匀网格，从u1到u2分为等间隔的nu步，从v1到v2分为等间隔的nv步，然后glEvalMesh2（）把这个网格应用到已经启动的曲面计算上。
第二个函数参数mode除了可以是GL_POINT和GL_LINE外，还可以是GL_FILL，即生成填充空间曲面。
下面举出一个用网格绘制一个经过光照和明暗处理的Bezier曲面的例程：
#include"glos.h"
#include
#include
#include
voidmyinit（void）;
voidinitlights（void）;
voidCALLBACKmyReshape（GLsizeiw,GLsizeih）;
voidCALLBACKdisplay（void）;
/*控制点坐标*/
GLfloatctrlpoints[4][4][3]={
{{-1.5,-1.5,2.0},{-0.5,-1.5,2.0},
{0.5,-1.5,-1.0},{1.5,-1.5,2.0}},
{{-1.5,-0.5,1.0},{-0.5,1.5,2.0},
{0.5,0.5,1.0},{1.5,-0.5,-1.0}},
{{-1.5,0.5,2.0},{-0.5,0.5,1.0},
{0.5,0.5,3.0},{1.5,-1.5,1.5}},
{{-1.5,1.5,-2.0},{-0.5,1.5,-2.0},
{0.5,0.5,1.0},{1.5,1.5,-1.0}}
};
voidinitlights（void）
{
GLfloatambient[]={0.4,0.6,0.2,1.0};
GLfloatposition[]={0.0,1.0,3.0,1.0};
GLfloatmat_diffuse[]={0.2,0.4,0.8,1.0};
GLfloatmat_specular[]={1.0,1.0,1.0,1.0};
GLfloatmat_shininess[]={80.0};
glEnable（GL_LIGHTING）;
glEnable（GL_LIGHT0）;
glLightfv（GL_LIGHT0,GL_AMBIENT,ambient）;
glLightfv（GL_LIGHT0,GL_POSITION,position）;
glMaterialfv（GL_FRONT,GL_DIFFUSE,mat_diffuse）;
glMaterialfv（GL_FRONT,GL_SPECULAR,mat_specular）;
glMaterialfv（GL_FRONT,GL_SHININESS,mat_shininess）;
}
voidCALLBACKdisplay（void）
{
glClear（GL_COLOR_BUFFER_BIT|GL_DEPTH_BUFFER_BIT）;
glPushMatrix（）;
glRotatef（35.0,1.0,1.0,1.0）;
glEvalMesh2（GL_FILL,0,20,0,20）;
glPopMatrix（）;
glFlush（）;
}
voidmyinit（void）
{
glClearColor（0.0,0.0,0.0,1.0）;
glEnable（GL_DEPTH_TEST）;
glMap2f（GL_MAP2_VERTEX_3,0,1,3,4,0,1,12,
4,&ctrlpoints[0][0][0]）;
glEnable（GL_MAP2_VERTEX_3）;
glEnable（GL_AUTO_NORMAL）;
glEnable（GL_NORMALIZE）;
glMapGrid2f（20,0.0,1.0,20,0.0,1.0）;
initlights（）;
}
voidCALLBACKmyReshape（GLsizeiw,GLsizeih）
{
glViewport（0,0,w,h）;
glMatrixMode（GL_PROJECTION）;
glLoadIdentity（）;
if（w<=h）
glOrtho（-4.0,4.0,-4.0*（GLfloat）h/（GLfloat）w,
4.0*（GLfloat）h/（GLfloat）w,-4.0,4.0）;
else
glOrtho（-4.0*（GLfloat）w/（GLfloat）h,
4.0*（GLfloat）w/（GLfloat）h,-4.0,4.0,-4.0,4.0）;
glMatrixMode（GL_MODELVIEW）;
glLoadIdentity（）;
}
voidmain（void）
{
auxInitDisplayMode（AUX_SINGLE|AUX_RGBA）;
auxInitPosition（0,0,500,500）;
auxInitWindow（"LightedandFilledBezierSurface"）;
myinit（）;
auxReshapeFunc（myReshape）;
auxMainLoop（display）;
}
三、图元逼近法绘制三维物体
在OpenGL的辅助库中，提供了绘制11种基本几何图形的函数，具体参考第一讲的有关内容，在此不再赘述。
这里我们讨论用另外一种方法来绘制三维物体。
需要注意的是，这里我们用来近似曲面的多边形最好选择三角形，而不是四边形或其他形状的多边形，这是因为三角形的三个顶点在任何时候都位于同一平面内，它一定是非常简单的非凹多边形，而四边形或其他多边形的顶点可能不在同一平面内，也就有可能不是简单多边形，对于这样的多边形，OpenGL是不能正常处理的。
假设我们绘制一个球体，球体表面用很多个小三角形拼接而成，显然，用来近似球面的三角形越小、三角形越多，那么球面就越光滑。
为了简要地说明如何用三角形逼近球体，这里我们使用三角形来构造一个20面体，二十面体的顶点坐标定义在vdata[][]数组中，tindinces[][]数组定义了构成二十面体的二十个三角形顶点的绘制顺序。
下面是主要实现代码：
#definex5.25731
#definez8.50651
staticGLfloatvdata[12][3]={
{x,0.0,z},{x,0.0,z},{-x,0.0,-z},{x,0.0,-z},
{0.0,z,x},{0.0,z,-x},{0.0,-z-x},{0.0,-z,-x},
{z,x,0.0},{-z,x,0.0},{z,-x,0.0},{-z,-x,0.0}
};
staticGLinttindices[20][3]={
{0,4,1},{0,9,4},{9,5,4},{4,5,8},{4,8,1},
{8,10,1},{8,3,10},{5,3,8},{5,2,3},{2,7,3},
{7,10,3},{7,6,10},{7,11,6},{11,0,6},
{6,1,10},{9,0,11},{9,11,2},{9,2,5},{7,2,11}
};
glColor3f（1.0,0.0,0.0）;
for（inti=0;i<20;i++）{
glBegin（GL_TRIANGLES）;
glVertex3fv（&vdata[tindices[i][0]][0]）;
glVertex3fv（&vdata[tindices[i][1]][0]）;
glVertex3fv（&vdata[tindices[i][2]][0]）;
glEnd（）;
}
显然，用正二十面体来表示一个球体显得过于粗糟，可以通过增加面数的方法使正多面体和求更为接近，一种简单的方法是剖分法，即将前面定义的三角形面分成几个面，例如，一分为四，形成4个多边形等，具体实现方法这里就不再赘述了。
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