2线性规划和整数规划实验.docx

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2线性规划和整数规划实验

工程数学

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2数学建模基础：

1.

2.

2.1.实验目的与要求

●学会建立线性规划模型、整数规划模型

●学会LINGO软件的基本使用方法，求解线性规划和整数规划问题

●学会对线性规划问题进行灵敏度分析

●对计算结果进行分析和讨论

2.2.基本实验

生产计划安排

解：

（1）

Model:

Max=9.4*P1+10.8*P2+8.75*P3+7.8*P4;

10.5*P1+9.3*P2+11.6*P3+8.2*P4<=4800;

20.4*P1+24.6*P2+17.7*P3+26.5*P4<=9600;

3.2*P1+2.5*P2+3.6*P3+5.5*P4<=4700;

5.0*（P1+P2+P3+P4）<=4500;

P1>=100;

P2>=100;

P3>=100;

P4>=100;

@gin（P1）;@gin（P2）;@gin（P3）;@gin（P4）;

END

所以当SC320生产100根，SC325生产101根，SC340生产137根，SC370生产100根时，产生最大利润，利润为4009.55$。

（2）将整数限制去掉发现：

焊接工艺的对偶价格为0.49，而其他工艺步骤的对偶价格为0并且有剩余，因此焊接工艺的时间制约了最大利润的提高。

综上所述，我推荐提高焊接工艺。

（3）从第二问的图中可以发现，对每种钢材最小生产数量的限制的对偶价格是负值，因此最小生产数量影响了最大利润的提高。

另外如果将lingo语句中最小生产数量限制去掉后可发现：

如图：

最大利润提高了。

所以综上所述，各种电缆的最低生产数量制约了最大利润的提高。

工程进度问题

解：

假设某年某工程的完成量为Fxy,x表示工程的代号，x=1,2,3，y表示年数，y=1,2,3，如第一年工程1完成F11，工程3完成F31，到第二年工程已完成F12，工程3完成F32。

另有一个投入与完成的关系，即第一年的投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%，

工程1利润：

50×F11+50×（F11+F12）+50×（F11+F12+F13）+50×（F11+F12+F13）

工程2利润：

70×F22+70×（F22+F23）+70×（F22+F23+F24）

工程3利润：

20×F31+150×（F31+F32）+150×（F31+F32+F33）+150×（F31+F32+F33+F34）

工程4利润：

20×F43+20×（F43+F44）

max=（50×F11+50×（F11+F12）+50×（F11+F12+F13）+50×（F11+F12+F13））+（70×F22+70×（F22+F23））+70×（F22+F23+F24）+（150×F31+150×（F31+F32）+150×（F31+F32+F33）+150×（F31+F32+F33+F34））+（20×F43+20×（F43+F44））

使得满足：

5000×F11+15000×F31=3000

5000×F12+8000×F22+15000×F32=6000

5000×F13+8000×F23+15000×F33+1200×F43=7000

8000×F24+15000×F34+12000×F44=7000

8000×F25+15000×F35=7000

F11+F12+F13=1

F22+F23+F24+F25≥0.25

F22+F23+F24+F25≤1

F31+F32+F33+F34+F35≥0.25

F31+F32+F33+F34+F35≤1

F43+F44=1

全为大于零的数

Model:

max=50*（4*F11+3*F12+2*F13）+70*（3*F22+2*F23+1*F24）+150*（4*F31+3*F32+2*F33+1*F34）+20*（2*F43+1*F44）;

5000*F11+15000*F31<=3000;

5000*F12+8000*F22+15000*F32<=6000;

5000*F13+8000*F23+15000*F33+1200*F43<=7000;

8000*F24+15000*F34+1200*F44<=7000;

8000*F25+15000*F35<=7000;

F11+F12+F13=1;

F22+F23+F24+F25<=1;

F22+F23+F24+F25>=0.25;

F31+F32+F33+F34+F35<=1;

F31+F32+F33+F34+F35>=0.25;

F43+F44=1;

End

输出结果：

由结果可以看出第一年应将所有预算投入工程3中，第二年应将全部预算投入工程3中，第三年应将5000万投入工程1中，1200万投入工程4中,800万投入工程3中，第四年应将1800万投入工程2中，5200万投入工程，第五年应将200万投入工程2中，剩余6800万。

获得的最大利润523.75万元。

投资问题

解：

用xiA，xiB（i＝1，2，3）表示第i年初给项目A，B的投资金额，则

max1.7*x3A+4*x2B;

s.t.x1A+x1B=100000;

1.7*x1A=x2A+x2B;

x3A=1.7*x2A+4*x1B;

x1A≤100000

x1B≤100000

程序如下：

MODEL:

max=1.7*X3a+4*X2b;

X1a+X1b=100000;

X2a+X2b-1.7*X1a=0;

X3a-1.7*X2a-4*X1b=0;

@bnd（0,X1a,100000）;

@bnd（0,X1b,100000）;

END

运行结果如下:

为了获得最大收益，该主管应该在第一年初的时候投资计划B100,000美元，在第三年初的时候将计划B的本+利一同投给计划A，3年末获取最大的收益680,000美元

生产计划与库存问题

解：

用xiA，xiB（i＝6，7，8）表示6,7,8月给需求A，B的生产安排计划；yiA,yiB（i＝6，7）为每月超需求生产数量，则

min=（500+5000+750）*30+（1000+1200+1200）*28+（y6A+y7A）*0.90+（y6B+y7B）*0.75

y6A=x6A-500

y7A=x7A+y6A-5000

y6B=x6B-1000

y7B=x7B+y6B–1200

y7A+x8A=750

y7B+x8B=1200

y6A≥0

y7A≥0

y6B≥0

y7B≥0

总的生产数量要求：

x6A+x7A+x8A=500+5000+750

x6B+x7B+x8B=1000+1200+1200

生产能力约束：

x6A÷1.25+x6B≦3500

x7A÷1.25+x7B≦3500

x8A÷1.25+x7B≦3000

程序如下：

Model:

min=（500+5000+750）*30+（1000+1200+1200）*28+（Y6A+Y7A）*0.90+（Y6B+Y7B）*0.75;

Y6A-（X6A-500）=0;

Y7A-（X7A+Y6A-5000）=0;

Y6B=X6B-1000;

Y7B=X7B+Y6B-1200;

Y7A+X8A=750;

Y7B+X8B=1200;

Y6A>=0;

Y7A>=0;

Y6B>=0;

Y7B>=0;

X6A+X7A+X8A=500+5000+750;

X6B+X7B+X8B=1000+1200+1200;

X6A/1.25+X6B<=3500;

X7A/1.25+X7B<=3500;

X8A/1.25+X7B<=3000;

@gin（X6A）;@gin（X7A）;@gin（X8A）;@gin（Y6A）;@gin（Y7A）;@gin（X6B）;@gin（X7B）;@gin（X8B）;@gin（Y6B）;@gin（Y7B）;

END

运行结果：

根据最低成本和满足需求的原则生产计划如下：

六月

七月

八月

生产A的计划

1125

4375

750

生产B的计划

2200

0

1200

职员日程安排问题

解：

设xi为每天工作的人数i=1,2,3,4,5,6,7则目标函数

minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7

s.t.

x1+x4+x5+x6+x7≥18

x1+x2+x5+x6+x7≥15

x1+x2+x3+x6+x7≥12

x1+x2+x3+x4+x7≥16

x1+x2+x3+x4+x5≥19

x2+x3+x4+x5+x6≥14

x3+x4+x5+x6+x7≥12

程序如下：

Model:

min=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7;

X1+X4+X5+X6+X7>=18;

X1+X2+X5+X6+X7>=15;

X1+X2+X3+X6+X7>=12;

X1+X2+X3+X4+X7>=16;

X1+X2+X3+X4+X5>=19;

X2+X3+X4+X5+X6>=14;

X3+X4+X5+X6+X7>=12;

END

运行结果：

油料生产安排问题

解：

设：

A原油A

B原油B

C1自产普通成品油

C2自产优质成品油

C3自产航空成品油

W1外购普通成品油

W2外购优质成品油

W3外购航空成品油

S1普通成品油存储桶数

S2优质成品油存储桶数

S3航空成品油存储桶数

则数学建模关系：

C1=0.20*A+0.25*B

C2=0.10*A+0.30*B

C3=0.25*A+0.10*B

C1n+W1n+S1（n-1）>=500

C2n+W2n+S2（n-1）>=700

C3n+W3n+S3（n-1）>=400

S1=C1–500

S2=C2–700

S3=C3–400

建立目标函数：

（假设外购成品油的成本=收入+惩罚费用）

max=（50*500+70*700+120*400）–（30*A+40*B）-（2*S1+3*S2+4*S3）–[（50+10）*W1+（70+15）*W2+（120+20）*W3]

资源约束：

A<=2500

B<=3000

S1>=0

S2>=0

S3>=0

程序如下：

MODEL:

max=（50*500+70*700+120*400）-（30*A+40*B）-（2*S1+3*S2+4*S3）-（50+10）*W1-（70+15）*W2-（120+20）*W3;

!

生产原油能力;

C1-（0.20*A+0.25*B）=0;

C2-（0.10*A+0.30*B）=0;

C3-（0.25*A+0.10*B）=0;

!

通过循环计算出月生产最大收益;

!

@forbutTBD;

C1+W1>=500;

C2+W2>=700;

C3+W3>=400;

!

资源约束条件;

A<=2500;

B<=3000;

C1>=0;

C2>=0;

C3>=0;

W1>=0;

W2>=0;

W3>=0;

S1>=0;

S2>=0;

S3>=0;

@gin（A）;@gin（B）;@gin（C1）;@gin（C2）;@gin（C3）;@gin（W1）;@gin（W2）;@gin（W3）;@gin（S1）;@gin（S2）;@gin（S3）;

END

运行结果：

通过上面LINGO9.0运行的结果可知，若使利润最大化，每天采购原油A1180桶，原油B1060桶

最小覆盖问题

解：

MODEL:

SETS:

area/1..6/:

x;

link（area,area）:

t,c;

ENDSETS

DATA:

t=

01020303020

10025352010

20250153020

30351501525

30203015014

20102025140;

ENDDATA

CALC:

@for（link:

c=@if（t#le#15,1,0））;

ENDCALC

min=@sum（area:

x）;

@for（area:

@bin（x））;

@for（area（i）:

@sum（area（j）:

c（i,j）*x*（i））>=1）;

END

运行结果：

在2和4区建立消防站即可。

2.3.加分实验

解：

设xi表示i（i=1,2…49）处是否安装摄像头，为1表示要安装，为0表示不要安装，则目标函数为：

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x30+x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x40+x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48+x49； 

为了使每条街道都能被拍摄到，我们有：

x1+x2>=1; 

x1+x3>=1; 

x2+x39>=1; 

x2+x41+x42>=1; 

x39+x40+x41>=1; 

x3+x4>=1; 

x4+x5>=1; 

x4+x6+x8+x9>=1; 

x6+x7>=1; 

x9+x10>=1; 

x3+x11>=1; 

x12=1; 

x11+x21+x22+x25+x26+x27>=1; 

x22+x23>=1; 

x23+x32+x38>=1; 

x39=1; 

x37+x38+x40>=1; 

x31+x32>=1; 

x25+x30>=1; 

x26+x28>=1; 

x28+x29>=1; 

x30+x31+x33+x37+x43>=1; 

x33+x34>=1; 

x34+x35>=1; 

x35+x36>=1; 

x46=1; 

x43+x44+x45>=1; 

x44+x49>=1; 

x45+x47>=1; 

x47+x48>=1; 

x24+x25>=1; 

x17+x18+x19+x20+x21>=1; 

x16+x20>=1; 

x12+x15+x19>=1; 

x14+x15+x16>=1; 

x12+x13+x14>=1; 

程序如下：

MODEL:

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18+x19+x20+x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x30+x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38+x39+x40+x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48+x49;

x1+x2>=1;

x1+x3>=1;

x2+x39>=1;

x2+x41+x42>=1;

x39+x40+x41>=1;

x3+x4>=1;

x4+x5>=1;

x4+x6+x8+x9>=1;

x6+x7>=1;

x9+x10>=1;

x3+x11>=1;

x12=1;

x11+x21+x22+x25+x26+x27>=1;

x22+x23>=1;

x23+x32+x38>=1;

x39=1;

x37+x38+x40>=1;

x31+x32>=1;

x25+x30>=1;

x26+x28>=1;

x28+x29>=1;

x30+x31+x33+x37+x43>=1;

x33+x34>=1;

x34+x35>=1;

x35+x36>=1;

x46=1;

x43+x44+x45>=1;

x44+x49>=1;

x45+x47>=1;

x47+x48>=1;

x24+x25>=1;

x17+x18+x19+x20+x21>=1;

x16+x20>=1;

x12+x15+x19>=1;

x14+x15+x16>=1;

x12+x13+x14>=1;

END

运行结果：

为0的在此没写出来，由此我们可以得到，在点

2,3,5,7,9,12,15,20,22,25,28,32,33,35,39,40,44,46,47处要安装摄像头，共19个。