数学实验Mathematic实验九无穷级数.docx

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数学实验Mathematic实验九无穷级数

天水师范学院数学与统计学院

实验报告

实验项目名称无穷级数

所属课程名称数学实验

实验类型微积分实验

实验日期2011.11.16

班级

学号

姓名

成绩

一、实验概述：

【实验目的】

1.掌握用Mathematica求无穷级数的和;

2.用Mathematica求幂级数的收敛域;

3.用Mathematica展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法.

【实验原理】

1.求无穷和命令Sum.

Sum命令也可以用来求无穷和.

Sum[1/n^2，{n，1，Infinity}]

2.把函数展开为幂级数命令Series.

该命令的使用格式是

Series[y[x]，{x，x0，n}]

Series[y[x]，{x，0，5}]

3.去掉余项命令Normal.

在把展开成幂级数后，有时为了近似计算或作图，需要把余项去掉，只要使用Normal命令，例如输入

Series[Exp[x]，{x，0，6}]

Normal[%]

4.强制求值命令Evaluate.

如果函数是用Norma1命令定义的，则当对它进行作图或其他数值计算时，可能会出现问题，例如输入

fx=Normal[Series[Exp[x]，{x，0，3}]]

Plot[fx，{x，-3，3}]

则只能得到去掉余项后的展开式，得不到函数的图形，这时要使用强制求值命令Evaluate，改成输入

Plot[Evaluate[fx]，{x，-3，3}]

便可以得到函数的图形

5.作散点图命令ListPlot.

ListPlot[Table[j^2，{j，16}]，PlotStylePointSize[0.012]]

6.用符号“／；”定义分段函数.

符号“／；”用于定义某种规则，“／；”后面是条件，例如输入

Clear[g，gf]；

g[x_]:

=x/；0x<1

g[x_]:

=-x/；-1x<0

g[x_]:

=g[x-2]/；x1

gf=Plot[g[x]，{x，-1，6}]

用which命令也可以定义分段函数，从这个例子中看到，用“…（表达式）/；…（条件）”来定义周期性分段函数更方便些.用Plot命令可以作出分段函数的图形，但用Mathematica命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题.用which定义的分段函数可以求导，但不能积分.Mathematica内部函数中有一些也是分段函数，如：

Mod[x，1]，Abs[x]，Floor[x]和Unitstep[x].其中只有单位阶跃函数Uniltstep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分,因此在求分段函数的傅里叶系数时，对分段函数的积分往往要分区间来积,在被积函数可以用单位阶跃函数Unitstep的四则运算和复合运算表达时，计算傅里叶系数就比较方便了.

【实验环境】

Mathematic4

二、实验内容：

【实验方案】

1.数项级数;

2.求幂级数的收敛域;

3.函数的幂级数展开;

4.傅里叶级数.

【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）

1.数项级数

Sum[1/（4n^2+8n+3），{n，1，Infinity}]

例9.1求级数的和.

例9.2　求级数的和.

Sum[x^（3k），{k，1，Infinity}]

例9.3　设，求.

Clear[a]；

a[n_]=10^n/（n!

）；

vals=Table[a[n]，{n，1，25}]；

ListPlot[vals，PlotStylePointSize[0.012]]

Sum[a[n]，{n，1，Infinity}]

2.求幂级数的收敛域.

例9.4　求收敛域与和函数.

Clear[a]；

a[n_]=4^（2n）*（x-3）^n/（n+1）；

stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify

steptwo=Limit[stepone，nInfinity]

ydd=Solve[steptwo1，x]

zdd=Solve[steptwo-1，x]

Simplify[a[n]/.x（49/16）]

Simplify[a[n]/.x（47/16）]

Sum[4^（2n）*（x-3）^n/（n+1），{n，0，Infinity}]

3.函数的幂级数展开.

例9.5　求的6阶麦克劳林展开式.

Series[Cos[x]，{x，0，6}]

例9.6　求在处的6阶泰勒展开式.

Series[Log[x]，{x，1，6}]

例9.7　求的5阶麦克劳林展开式.

ser1=Series[ArcTan[x]，{x，0，5}]；

poly=Normal[ser1]

Plot[Evaluate[{ArcTan[x]，poly}]，{x，-3/2，3/2}，PlotStyle{Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}，AspectRatio1]

例9.8　求在处的8阶泰勒展开，并通过作图比较函数和它的近似多项式.

Clear[f]；

f[x_]=Exp[-（x-1）^2*（x+1）^2]；

poly2=Normal[Series[f[x]，{x，1，8}]]

Plot[Evaluate[{f[x]，poly2}]，{x，-1.5，1.5}，PlotRange{-2，3/2}，PlotStyle{Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}]

例9.9　求函数在处的3，5，7，…，9l阶泰勒展开，通过作图比较函数和它的近似多项式，并形成动画进一步观察.

Do[Plot[{Sum[（-1）^j*x^（2j+1）/（2j+1）!

，{j，0，k}]，Sin[x]}，{x，-40，40}，PlotStyle{RGBColor[1，0，0]，RGBColor[0，0，1]}]，{k，1，45}]

4.傅里叶级数.

例9.10　设是周期为2的周期函数它在一个周期内的表达式为

求它的傅立叶级数展开式的前5项和前8项，作出和它的近似三角级数的图形.

Clear[f，a，b，fs，L]；

f[x_]:

=1/；0x<1

f[x_]:

=-x/；-1x<0

f[x_]:

=f[x-2]/；1x

gf=Plot[f[x]，{x，-1，5}]

Clear[L，a，b，fs，f1，f2]；

L=1；

a[n_]:

=（Integrate[-x*Cos[n*Pi*x/L]，{x，-L，0}]+Integrate[Cos[n*Pi*x/L]，{x，0，L}]）/L

b[n_]:

=（Integrate[-x*Sin[n*Pi*x/L]，{x，-L，0}]+Integrate[Sin[n*Pi*x/L]，{x，0，L}]）/L

fs[k_，x_]:

=a[k]*Cos[k*Pi*x/L]+b[k]*Sin[k*Pi*x/L]

fourier[n_，x_]:

=a[0]/2+Sum[fs[k，x]，{k，1，n}]

f1=fourier[5，x]//N

f2=fourier[10，x]//N

Plot[Evaluate[{f[x]，f1}]，{x，-1，5}，PlotStyle{GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]

Plot[Evaluate[{f[x]，f2}]，{x，-1，5}，PlotStyle{GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]

设是以2Pi为周期的周期函数，它在的表达式是

，

将展开成傅里叶级数.

Clear[g]；

g[x_]:

=-1/；-Pix<0

g[x_]:

=1/；0x

g[x_]:

=g[x-2Pi]/；Pix

Plot[g[x]，{x，-Pi，5Pi}，PlotStyle{RGBColor[0，1，0]}]；

Clear[b2，fourier2，tu，tu2，toshow]；

b2[n_]:

=b2[n]=2Integrate[1*Sin[n*x]，{x，0，Pi}]/Pi；

fourier2[n_，x_]:

=Sum[b2[k]*Sin[k*x]，{k，1，n}]；

tu[n_]:

=Plot[{g[x]，Evaluate[fourier2[n，x]]}，{x，-Pi，5Pi}，PlotStyle{RGBColor[0，1，0]，RGBColor[1，0.3，0.5]}，DisplayFunctionIdentity]；

tu2=Table[tu[n]，{n，1，30，5}]；

toshow=Partition[tu2，2]；

Show[GraphicsArray[toshow]]

【实验结论】（结果）

1.用Mathematica求无穷级数的和；

2.求幂级数的收敛域；

3.展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数.

【实验小结】（收获体会）

掌握了用Mathematica求无穷级数的和，求幂级数的收敛域，展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法．

三、指导教师评语及成绩：

评语

评语等级

优

良

中

及格

不及格

1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强

2.实验方案设计合理

3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）

4实验结论正确.

成绩：

指导教师签名：

批阅日期：

附录1：

源程序

实验九无穷级数

附录2：

实验报告填写说明

1.实验项目名称：

要求与实验教学大纲一致。

2.实验目的：

目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3.实验原理：

简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4.实验环境：

实验用的软、硬件环境。

5.实验方案（思路、步骤和方法等）：

这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，应注明其创新点、特色。

6.实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：

写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7.实验结论（结果）：

根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8.实验小结：

本次实验心得体会、思考和建议。

9.指导教师评语及成绩：

指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。