高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换学案文.docx
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高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换学案文
【2019最新】精选高考数学一轮复习第五单元三角函数及其恒等变换学案文
教材复习课“三角函数及其恒等变换”相关基础知识一课过
三角函数的有关概念
[过双基]
1．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：
S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧长、扇形面积公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2.
3．任意角的三角函数
（1）定义：
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝，cosα＝，tanα＝（x≠0）．
（2）几何表示：
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1,0）．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
（3）三角函数值在各象限的符号规律：
一全正、二正弦、三正切、四余弦．
1．（2018·济南模拟）已知sinθ－cosθ>1，则角θ的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：
选B 由已知得（sinθ－cosθ）2>1，即1－2sinθcosθ>1，sinθcosθ<0，所以sinθ>0>cosθ，所以角θ的终边在第二象限．
2．已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cosα＝x，则x＝（ ）
A.B．±
C．－D．－
解析：
选D 依题意得cosα＝＝x＜0，由此解得x＝－，选D.
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α（0<α<π）的弧度数为（ ）
A.B.
C.D．2
解析：
选C 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝αr，故α＝.
4．已知扇形的半径r＝10cm，圆心角α为120°，则扇形的面积为________cm2.
解析：
因为120°＝，由扇形的面积公式可得S＝αr2＝××102＝π（cm2）．
答案：
π
5．在与2010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．
解析：
2010°＝π＝12π－，
∴与2010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－.
答案：
－
[清易错]
1．注意易混概念的区别：
象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
1．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若β＝α＋2kπ（k∈Z），则α和β终边相同
答案：
D
2．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π），则θ的值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C 因为点P在角θ的终边上，
所以角θ的终边在第四象限，且tanθ＝－.
又θ∈[0,2π），所以θ＝.
3．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则sinα＋cosα＝________.
解析：
设α终边上任一点为P（－4a,3a），
当a＞0时，r＝5a，sinα＝，cosα＝－；
当a＜0时，r＝－5a，sinα＝－，cosα＝.
故sinα＋cosα＝或－.
答案：
±
三角变换公式
[过双基]
1．同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系
sin2α＋cos2α＝；
（2）商数关系
tanα＝.
2．诱导公式
组序
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋
α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sinα
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cos_α
余弦
cosα
－cosα
cosα
－cos_α
sinα
－sinα
正切
tanα
tanα
－tanα
－tan_α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变，符号看象限
3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin（α±β）＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos（α∓β）＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；
tan（α±β）＝.
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sin_αcos_α；
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan2α＝.
1．已知α∈，tan（α－π）＝－，则sinα＋cosα的值是（ ）
A．± B. C．－ D．－
解析：
选C 由α∈，tan（α－π）＝tanα＝－<0，得α∈，sinα＝－cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝，cosα＝－，则sinα＋cosα＝－.
2．已知sin＝，则cos（π－2α）的值为（ ）
A.B.
C．－D．－
解析：
选B 由sin＝，可得cosα＝，则cos（π－2α）＝－cos2α＝1－2cos2α＝.
3．已知cos＝，则sin＝________.
解析：
因为cos＝，所以sin＝sin－＝cos＝.
答案：
4．已知tanα＝2，则＝________.
解析：
因为tanα＝2，所以原式＝＝＝.
答案：
5．计算：
＝________.
解析：
＝＝＝＝.
答案：
[清易错]
1．利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围进行确定．
2．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．
1．已知α∈，sinα＋cosα＝，则cos（2018π－2α）＝（ ）
A．±B．－
C．－D．±
解析：
选B 将sinα＋cosα＝两边平方，化简可得sin2α＝－，
因为α∈，sinα＋cosα＝>0，
所以α∈，2α∈，所以cos2α<0，
则cos（2018π－2α）＝cos2α＝－＝－.
2．若cos＝，α∈，则sinα的值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选A 由cos＝，α∈，可得sin＝，
则sinα＝sin＝×－×＝.
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
[过双基]
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域
R
R
x≠kπ＋
，k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
递增区间：
（k∈Z）递减区间：
（k∈Z）
递增区间：
[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）递减区间：
[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）
递增区间
（k∈Z）
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心（kπ，0）（k∈Z）
对称中心
（k∈Z）
对称中心
（k∈Z）
对称轴：
x＝kπ＋
（k∈Z）
对称轴：
x＝kπ（k∈Z）
周期
2π
2π
π
1．函数y＝1－2sin22x的最小正周期是（ ）
A.B.
C.D．π
解析：
选B 因为函数y＝1－2sin22x＝cos4x，所以函数的最小正周期T＝.
2．若函数f（x）＝2sinωx（0<ω<1）在区间上的最大值为1，则ω＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C 因为x∈，所以ωx∈，又因为函数f（x）＝2sinωx（0<ω<1）在区间上的最大值为1，所以＝，则ω＝.
3．已知函数f（x）＝sin（ω>0）的最小正周期为π，则f＝（ ）
A．1B.
C．－1D．－
解析：
选A 由题设知＝π，所以ω＝2，f（x）＝sin，所以f＝sin＝sin＝1.
4．（2018·杭州模拟）若函数f（x）＝sin（φ∈[0,2π]）是偶函数，则φ＝（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C 由已知f（x）＝sin是偶函数，可得＝kπ＋（k∈Z），即φ＝3kπ＋（k∈Z），又φ∈[0,2π]，所以φ＝.
5．若函数f（x）＝sinωx（ω>0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于（ ）
A.B.
C．2D．3
解析：
选B ∵f（x）＝sinωx（ω>0）过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sinωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sinωx是减函数．
由f（x）＝sinωx（ω>0）在上单调递增，
在上单调递减知，＝，∴ω＝.
[清易错]
1．正切函数的图象是由直线x＝kπ＋（k∈Z）隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是，k∈Z，不能说它在整个定义域内是增函数，如<，但是tan>tan，正切函数不存在减区间．
2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．
1．（2018·石家庄一模）函数f（x）＝tan的单调递增区间是（ ）
A.（k∈Z）
B.（k∈Z）
C.（k∈Z）
D.（k∈Z）
解析：
选B 由kπ－＜2x－＜kπ＋（k∈Z）得，－＜x＜＋（k∈Z），所以函数f（x）＝tan的单调递增区间为（k∈Z）．
2．函数f（x）＝sin（－2x），x∈[0,2π]的单调递增区间是________________．
解析：
f（x）＝sin（－2x）＝－sin2x，
令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f（x）在[0,2π]上的单调递增区间是，.
答案：
，
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
[过双基]
1．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－
＋
－
ωx＋φ
y＝Asin（ωx＋φ）
0
A
0
－A
0
2．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的步骤
法一 法二
1．函数y＝sin在区间上的简图是（ ）
解析：
选A 令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.
2．将函数y＝sin2x的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式是（ ）
A．y＝sin＋1B．y＝sin＋1
C．y＝sin＋1D．y＝sin＋1
解析：
选B 由题意可得函数的解析式为
y＝sin＋1＝sin＋1.
3.函数f（x）＝3sinωx（ω>0）的部分图象如图所示，点A，B是图象的最高点，点C是图象的最低点，且△ABC是正三角形，则f
（1）＋f
（2）＋f（3）的值为（ ）
A.B.
C．9＋1D.
解析：
选D 因为△ABC是正三角形，
所以△ABC的高是6，
则△ABC的边长是12，
即函数f（x）＝3sinωx（ω>0）的周期为12，
所以ω＝，f（x）＝3sinx，
所以f
（1）＋f
（2）＋f（3）＝3sin＋3sin＋3sin＝.
4.如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
解析：
选D 由图象可知，A＝1，周期T＝π，所以ω＝2，又sin＝0且0<φ<，所以φ＝，则y＝sin，由图象变换可知选D.
[清易错]
1．由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
1．要得到函数y＝cos（2x＋1）的图象，只要将函数y＝cos2x的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
解析：
选C ∵y＝cos（2x＋1）＝cos，
∴只要将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位即可．
2．函数y＝cos（2x＋φ）（－π≤φ<π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.
解析：
将y＝cos（2x＋φ）的图象向右平移个单位后得到y＝cos的图象，化简得y＝－cos（2x＋φ），又可变形为y＝sin.由题意可知φ－＝＋2kπ（k∈Z），所以φ＝＋2kπ（k∈Z），结合－π≤φ<π，知φ＝.
答案：
一、选择题
1.（2018·杭州模拟）如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是（ ）
A．（cosθ，sinθ） B．（－cosθ，sinθ）
C．（sinθ，cosθ）D．（－sinθ，cosθ）
解析：
选A 由三角函数的定义知xP＝cosθ，yP＝sinθ，故选A.
2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ（k，m∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（ ）
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称D．关于y轴对称
解析：
选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．
又角θ与－θ的终边关于x轴对称．
∴角α与β的终边关于x轴对称．
3．已知sin＝，α∈，则cos的值是（ ）
A.B.
C．－D．1
解析：
选C 由已知得cosα＝，sinα＝－，
∴cos＝cosα＋sinα＝－.
4．（2018·淄博调研）已知tanα＝2，则sin2α－sinαcosα的值是（ ）
A.B．－
C．－2D．2
解析：
选A sin2α－sinαcosα＝＝，把tanα＝2代入，原式＝.
5．设函数f（x）＝sin，x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析：
选B ∵f（x）＝sin＝－cos2x，∴f（x）是最小正周期为π的偶函数．
6．已知函数f（x）＝sin（ω>0）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
A．关于直线x＝对称B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称D．关于点对称
解析：
选B ∵f（x）＝sin（ω>0）的最小正周期为π，∴ω＝2，即f（x）＝sin.
经验证可知f＝sin＝sinπ＝0，
即是函数f（x）的一个对称点．
7．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
解析：
选B 平移后的函数为y＝3sin＝3sin，增区间：
－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝0时，≤x≤，故所得图象对应的函数在上单调递增，在上不单调，故选B.
8.（2018·河北衡水中学调研）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）的图象可由g（x）＝Acosωx的图象向右平移个单位长度得到
C．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
D．函数f（x）在区间上单调递增
解析：
选D 函数的最小正周期T＝2＝，选项A正确；由T＝得ω＝3.又f＝Acos＝0，所以φ＝kπ－（k∈Z）．又f＝Acos＝Asinφ＝－，所以sinφ<0，φ＝－＋2kπ（k∈Z），即f（x）＝Acos，函数g（x）＝Acos3x的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数的解析式为y＝g＝Acos＝Acos＝f（x），选项B正确；当x＝时，f（x）＝A，因此函数f（x）的图象关于直线x＝对称，选项C正确；当x∈时，3x－∈，故函数f（x）在上不是单调递增的，选项D错误．
二、填空题
9．函数f（x）＝sinx－4sin3cos的最小正周期为________．
解析：
f（x）＝sinx－2sin2sinx＝sinxcosx＝sin2x，所以函数的最小正周期T＝π.
答案：
π
10．在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A，且点A的横坐标为，则tan的值为________．
解析：
由题意知cosα＝，因为α为锐角，
所以cos＝＝，
sin＝＝，
所以tan＝－tan＝－＝－.
答案：
－
11．已知函数y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则φ＝________.
解析：
由图象知A＝1，T＝4＝π，
故ω＝2，再由2×＋φ＝，得φ＝－.
答案：
－
12．函数f（x）＝log2的最大值为________．
解析：
因为＝＝sinx＋cosx＝sin∈（0，]，
又因为函数y＝log2x是增函数，
所以，当＝时，函数f（x）＝log2取得最大值为.
答案：
三、解答题
13．设函数f（x）＝3sin的最小正周期为.
（1）求f（x）的解析式；
（2）利用“五点作图法”，画出f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（3）已知f＝，求cosα的值．
解：
（1）∵T＝＝⇒ω＝4，
∴f（x）＝3sin.
（2）列表：
4x＋
0
π
2π
x
－
f（x）
0
3
0
－3
0
图象如图所示：
（3）∵f＝3sin
＝3sin＝3cosα＝，∴cosα＝.
14．已知向量m＝，n＝，记f（x）＝m·n.
（1）若f（x）＝1，求cos的值；
（2）在锐角△ABC中，（2a－c）cosB＝bcosC，求f（2A）的取值范围．
解：
（1）f（x）＝m·n＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin＋，
由f（x）＝1，得sin＝，
所以cos＝1－2sin2＝.
（2）因为（2a－c）cosB＝bcosC，由正弦定理得（2sinA－sinC）cosB＝sinBcosC，
所以2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，
所以2sinAcosB＝sin（B＋C），因为A＋B＋C＝π，
所以sin（B＋C）＝sinA，且sinA≠0，所以cosB＝，
又0则A＋C＝，A＝－C，又0则所以又因为f（2A）＝sin＋，
故函数f（2A）的取值范围是.
15．（2018·青岛模拟）已知函数f（x）＝4cosωx·sinωx＋＋a（ω>0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
（1）求a和ω的值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
解：
（1）f（x）＝4cosωx·sin＋a
＝4cosωx·sinωx＋cosωx＋a
＝2sinωxcosωx＋2cos2ωx－1＋1＋a
＝sin2ωx＋cos2ωx＋1＋a
＝2sin2ωx＋＋1＋a.
当sin＝1时，f（x）取得最大值2＋1＋a＝3＋a，
又f（x）图象上最高点的纵坐标为2，∴3＋a＝2，
∴a＝－1.
又f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f（x）的最小正周期T＝π，∴2ω＝＝2，∴ω＝1.
（2）由
（1）得f（x）＝2sin，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
令k＝0，得≤x≤，
∴函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为.
高考研究课
（一）
三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
三角函数的定义
5年2考
用三角函数的定义求值
同角三角函数基本关系式
5年2考
求值
诱导公式
5年1考
变角求值
三角函数的定义
[典例]
（1）点P从（－1,0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．
（2）已知角α的终边上一点P（－，m）（m≠0），且sinα＝，求cosα，tanα的值．
[解析]
（1）设点A（－1,0），点P从（－1,0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q，则∠AOQ＝－2π＝（O为坐标原点），所以∠xOQ＝，cos＝，sin＝，所以点Q的坐标为.
答案：
（2）由题设知x＝－，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝2＋m2（O为原点），r＝.
∴sinα＝＝＝，
∴r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
∴cosα＝＝－，tanα＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
∴cosα＝＝－，tanα＝.
[方法技巧]
（1）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
（2）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
[即时演练]
1．已知角α终边与单位圆x2＋y2＝1的交点为P，则sin＝（ ）
A．－ B.
C．－D．1
解析：
选A 因为角α终边与单位圆x2＋y2＝1的交点为P，所以cosα＝，
所以sin＝cos2α＝2cos2α－1＝－.
2．在平面直角坐标系中，点M（3，m）在角α的终边上，点N（2m，4）在角α＋的终边上，则m＝（ ）
A．－6或1B．－1或6
C．6D．1
解析：
选A 由题意得，tanα＝，tan＝＝，∴＝，∴m＝－6或1.
诱导公式
[典例]
（1）（2018·淄博模拟）已知sin＝，则cos＝________；
（2）化简：
＝________.
[解析]
（1）cos＝cos
＝cos＝－cos，
而sin＝sin
＝cos＝，
所以cos＝－.
（2）原式＝
＝＝＝1.
[答案]
（1）－
（2）1
[方法技巧]
利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
思路方法：
（1）分析结构特点，选择恰当公式；
（2）利用公式化成单角三角函数；
（3）整理得最简形式．
化简要求：
（1）化简过程是恒等变形；
（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
[即时演练]
1．已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），且f（4）＝3，则f（2017）的值为（ ）
A．－1B．1
C．3D．－3
解析：
选D ∵f（4）＝asin（4π＋α）＋bcos（
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