浙教版八年级上《第1章三角形的初步认识》单元测试有答案数学.docx
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浙教版八年级上《第1章三角形的初步认识》单元测试有答案数学
《第1章三角形的初步认识》
一、选择题
1.下列各组线段中,能组成三角形的是( )
A.4,6,10B.3,6,7C.5,6,12D.2,3,6
2.在△ABC中,∠A﹣∠C=∠B,那么△ABC是( )
A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形
3.如图所示,是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A.SASB.SSSC.AASD.ASA
4.如图AB⊥AD,AB⊥BC,则以AB为一条高线的三角形共有( )个.
A.1B.2C.3D.4
5.如图所示,△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的,图中(包括实线、虚线在内)共有全等三角形( )对.
A.2B.3C.4D.5
6.下列是命题的是( )
A.作两条相交直线B.∠α和∠β相等吗?
C.全等三角形对应边相等D.若a2=4,求a的值
7.下列命题中,真命题是( )
A.垂直于同一直线的两条直线平行
B.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C.三角形三个内角中,至少有2个锐角
D.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
8.如图,对任意的五角星,结论正确的是( )
A.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=90°B.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
C.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=270°D.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=360°
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E.若AB=6cm,则△DEB的周长为( )
A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm
10.如图,BF是∠ABD的平分线,CE是∠ACD的平分线,BF与CE交于G,若∠BDC=130°,∠BGC=100°,则∠A的度数为( )
A.60°B.70°C.80°D.90°
二、填空题
11.工人师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条(即图中的AB,CD两根木条),这样做的依据是______.
12.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式:
______.
13.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE为∠BAC的平分线,且∠DAE=15°,∠B=35°,则∠C=______°.
14.如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是______(添加一个条件即可).
15.命题“若x(1﹣x)=0,则x=0”是______命题(填“真”、假),证明时可举出的反例是______.
16.已知三角形的三边长分别是3、x、9,则化简|x﹣5|+|x﹣13|=______.
17.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的中垂线DE交AC于点D,交AB于点E,如果BC=10,△DBC的周长为22,那么AB=______.
18.如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是______.(将你认为正确的结论的序号都填上)
19.已知,∠α=50°,且∠α的两边与∠β的两边互相垂直,则∠β=______.
20.若三角形的周长为13,且三边均为整数,则满足条件的三角形有______种.
三、解答题
21.如图,已知△ABC,请按下列要求作图:
(1)用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG.
(2)作BC边上的高线(本小题作图工具不限).
(3)用直尺和圆规作△DEF,使△DEF≌△ABC.
22.阅读填空:
如图,已知∠AOB.要画出∠AOB的平分线,可分别在OA,OB上截取OC=OD,OE=OF,连结CF,DE,交于P点,那么射线OP就是∠AOB的平分线.
要证明这个作法是正确的,可先证明△EOD≌△______,判定依据是______,由此得到∠OED=∠______;再证明△PEC≌△______,判定依据是______,由此又得到PE=______;最后证明△EOP≌△______,判定依据是______,从而便可证明出∠AOP=∠BOP,即OP平分∠AOB.
23.证明命题“全等三角形对应边上的高相等”.
24.已知:
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,MN是经过点A的直线,BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分别为D、E.
(1)求证:
①∠BAD=∠ACE;②BD=AE;
(2)请写出BD,DE,CE三者间的数量关系式,并证明.
《第1章三角形的初步认识》
参考答案与试题解析
一、选择题
1.下列各组线段中,能组成三角形的是( )
A.4,6,10B.3,6,7C.5,6,12D.2,3,6
【解答】解:
A、∵4+6=10,不符合三角形三边关系定理,
∴以4、6、10为三角形的三边,不能组成三角形,故本选项错误;
B、∵3+6>7,6+7<3,3+7>6,符合三角形三边关系定理,
∴以3、6、7为三角形的三边,能组成三角形,故本选项正确;
C、∵5+6<12,不符合三角形三边关系定理,
∴以5、6、12为三角形的三边,不能组成三角形,故本选项错误;
D、∵2+3<6,不符合三角形三边关系定理,
∴以2、3、6为三角形的三边,不能组成三角形,故本选项错误;
故选B.
2.在△ABC中,∠A﹣∠C=∠B,那么△ABC是( )
A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形
【解答】解:
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C+∠B=180°﹣∠A,
而∠A﹣∠C=∠B,
∴∠C+∠B=∠A,
∴180°﹣∠A=∠A,解得∠A=90°,
∴△ABC为直角三角形.
故选D.
3.如图所示,是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A.SASB.SSSC.AASD.ASA
【解答】解:
由作法易得OD=O′D′,OC=O′C′,CD=C′D′,依据SSS可判定△COD≌△C'O'D',
故选:
B.
4.如图AB⊥AD,AB⊥BC,则以AB为一条高线的三角形共有( )个.
A.1B.2C.3D.4
【解答】解:
∵AB⊥AD,AB⊥BC,
∴以AB为一条高线的三角形有△ABD,△ABE,△ABC,△ACE,一共4个.
故选D.
5.如图所示,△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的,图中(包括实线、虚线在内)共有全等三角形( )对.
A.2B.3C.4D.5
【解答】解:
∵△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的,
∴C′D=CD,BC′=BC,
∵BD=BD,
∴△CDB≌△C′DB(SSS),
同理可证明:
△ABE≌△C′DE,△ABD≌△C′DB,△ABD≌△CDB三对全等.
所以,共有4对全等三角形.
故选C.
6.下列是命题的是( )
A.作两条相交直线B.∠α和∠β相等吗?
C.全等三角形对应边相等D.若a2=4,求a的值
【解答】解:
A、“作两条相交直线”为描叙性语言,它不是命题,所以A选项错误;
B、“∠α和∠β相等吗?
”为疑问句,它不是命题,所以A选项错误;
C、全等三角形对应边相等,它是命题,所以C选项正确;
D、“若a2=4,求a的值”为描叙性语言,它不是命题,所以D选项错误.
故选C.
7.下列命题中,真命题是( )
A.垂直于同一直线的两条直线平行
B.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C.三角形三个内角中,至少有2个锐角
D.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
【解答】解:
A、同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行,故错误,为假命题;
B、有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等,故错误,为假命题;
C、三角形的三个角中,至少有两个锐角,故正确,为真命题;
D、有两边和其中一个角对应相等的两个三角形全等,错误,为假命题,
故选C.
8.如图,对任意的五角星,结论正确的是( )
A.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=90°B.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
C.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=270°D.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=360°
【解答】解:
∵∠1=∠2+∠D,
∠2=∠A+∠C,
∴∠1=∠A+∠C+∠D,
∵∠1+∠B+∠E=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,
故选:
B.
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E.若AB=6cm,则△DEB的周长为( )
A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm
【解答】解:
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,
∴CD=DE,
∴△DEB的周长=BD+DE+BE,
=BD+CD+BE,
=BC+BE,
=AC+BE,
=AE+BE,
=AB,
∵AB=6cm,
∴△DEB的周长=6cm.
故选B.
10.如图,BF是∠ABD的平分线,CE是∠ACD的平分线,BF与CE交于G,若∠BDC=130°,∠BGC=100°,则∠A的度数为( )
A.60°B.70°C.80°D.90°
【解答】解:
连接BC.
∵∠BDC=130°,
∴∠DBC+∠DCB=180°﹣130°=50°,
∵∠BGC=100°,
∴∠GBC+∠GCB=180°﹣100°=80°,
∵BF是∠ABD的平分线,CE是∠ACD的平分线,
∴∠GBD+∠GCD=
∠ABD+
∠ACD=30°,
∴∠ABC+∠ACB=110°,
∴∠A=180°﹣110°=70°.
故选B.
二、填空题
11.工人师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条(即图中的AB,CD两根木条),这样做的依据是 三角形的稳定性 .
【解答】解:
这样做的依据是三角形的稳定性,
故答案为:
三角形的稳定性.
12.把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式:
如果两个角是对顶角,那么它们相等 .
【解答】解:
题设为:
对顶角,结论为:
相等,
故写成“如果…那么…”的形式是:
如果两个角是对顶角,那么它们相等,
故答案为:
如果两个角是对顶角,那么它们相等.
13.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE为∠BAC的平分线,且∠DAE=15°,∠B=35°,则∠C= 65 °.
【解答】解:
如图,∵AD⊥BC,
∴∠ADE=90°.
又∵∠DAE=15°,
∴∠AED=75°.
∵∠B=35°,
∴∠BAE=∠AED﹣∠B=40°.
又∵AE为∠BAC的平分线,
∴∠BAC=2∠BAE=80°,
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=65°.
故答案是:
65.
14.如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是 ∠B=∠C或AE=AD (添加一个条件即可).
【解答】解:
添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD.
故答案为:
∠B=∠C或AE=AD.
15.命题“若x(1﹣x)=0,则x=0”是 假 命题(填“真”、假),证明时可举出的反例是 x=1 .
【解答】解:
当x=1时,x(1﹣x)=0也成立,所以证明命题“若x(1﹣x)=0,则x=0”是假命题的反例是:
x=1,
故答案为:
假,x=1.
16.已知三角形的三边长分别是3、x、9,则化简|x﹣5|+|x﹣13|= 8 .
【解答】解:
∵三角形的三边长分别是3、x、9,
∴6<x<12,
∴x﹣5>0,x﹣13<0,
∴|x﹣5|+|x﹣13|=x﹣5+13﹣x=8,
故答案为:
8.
17.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的中垂线DE交AC于点D,交AB于点E,如果BC=10,△DBC的周长为22,那么AB= 12 .
【解答】解:
∵AB的中垂线DE交AC于点D,交AB于点E,
∴AD=BD,
∵△DBC的周长为22,
∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=22,
∵BC=10,
∴AC=12.
∵AB=AC,
∴AB=12.
故答案为:
12.
18.如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是 ①②③ .(将你认为正确的结论的序号都填上)
【解答】解:
∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,
∴△ABE≌△ACF,
∴AC=AB,BE=CF,即结论②正确;
∵AC=AB,∠B=∠C,∠CAN=∠BAM,
∴ACN≌△ABM,即结论③正确;
∵∠BAE=∠CAF,
∵∠1=∠BAE﹣∠BAC,∠2=∠CAF﹣∠BAC,
∴∠1=∠2,即结论①正确;
∴△AEM≌△AFN,
∴AM=AN,∴CM=BN,
∴△CDM≌△BDN,∴CD=BD,
∴题中正确的结论应该是①②③.
故答案为:
①②③.
19.已知,∠α=50°,且∠α的两边与∠β的两边互相垂直,则∠β= 130°或50° .
【解答】解:
①如图1,∵∠a+∠β=180°﹣90°﹣90°=180°,∠α=50°,
∴∠β=130°,
②如图2,若∠a的两边分别与∠β的两边在同一条直线上,
∴∠a=∠β=50°,
综上所述,∠β=130°或50°.
故答案是:
130°或50°.
20.若三角形的周长为13,且三边均为整数,则满足条件的三角形有 4 种.
【解答】解:
设三边长分别为a≤b≤c,则a+b=13﹣c>c≥
,
∴
≤c<
,故c=5,或6;分类讨论如下:
①当c=5时,b=4,a=4或b=3,a=5;
②当c=6时,b=5,a=2或b=4,a=3;
∴满足条件的三角形的个数为4,
故答案为:
4.
三、解答题
21.如图,已知△ABC,请按下列要求作图:
(1)用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG.
(2)作BC边上的高线(本小题作图工具不限).
(3)用直尺和圆规作△DEF,使△DEF≌△ABC.
【解答】解:
(1)如图1,CG为所作;
(2)如图1,AH为所作;
(3)如图2,△DEF为所作.
22.阅读填空:
如图,已知∠AOB.要画出∠AOB的平分线,可分别在OA,OB上截取OC=OD,OE=OF,连结CF,DE,交于P点,那么射线OP就是∠AOB的平分线.
要证明这个作法是正确的,可先证明△EOD≌△ FOC ,判定依据是 SAS ,由此得到∠OED=∠ OFC ;再证明△PEC≌△ PFD ,判定依据是 AAS ,由此又得到PE= PF ;最后证明△EOP≌△ FOP ,判定依据是 SSS ,从而便可证明出∠AOP=∠BOP,即OP平分∠AOB.
【解答】解:
作法:
(1)分别在OA,OB上截取OC=OD,OE=OF,连接CF,DE,交于P点,
(2)连接OP即可,
在△EOD与△FOC中,
,
∴△EOD≌△FOC(SAS),
∴∠OED=∠OFC,
在△PEC与△PFD中,
,
∴△PEC≌△PFD(AAS),
∴PE=PF.
在△EOP与△FOP中,
,
∴△EOP≌△FOP(SSS),
∴∠AOP=∠BOP,即OP平分∠AOB.
故答案为:
FOC,SAS,OFC;PFD,AAS,PF;△FOP,SSS,
23.证明命题“全等三角形对应边上的高相等”.
【解答】解:
已知:
如图,△ABC≌△EFC,AD、EH分别是△ABC和△EFC的对应边BC、FG上的高.
求证:
AD=EH.
证明:
∵△ABC≌△EFC,
∴AB=EF,∠B=∠F,
∵AD、EH分别是△ABC和△EFC的对应边BC、FG上的高,
∴∠ADB=∠EHF=90°,
在△ABD和△EFH中
,
∴△ABD≌△EFH(AAS),
∴AD=EH.
24.已知:
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,MN是经过点A的直线,BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分别为D、E.
(1)求证:
①∠BAD=∠ACE;②BD=AE;
(2)请写出BD,DE,CE三者间的数量关系式,并证明.
【解答】解:
(1)①∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵CE⊥MN,
∴∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠ACE;
②∵BD⊥MN,
∴∠BDA=∠AEC=90°,
在△ABD和△CAE中,
,
∴△ABD≌△CAE,
∴BD=AE;
(2)∵△ABD≌△CAE,
∴BD=AE,AD=CE,
∵AE=AD+DE,
∴BD=CE+DE.