第6章刚体的平面运动习题解答080814.docx
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第6章刚体的平面运动习题解答080814
第六章刚体得平面运动
本章要点
一、刚体平面运动得描述
1刚体得平面运动方程:
，,、
２平面图形得运动可以瞧成就是刚体平移与转动得合成运动：
刚体得平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）得平移（牵连运动）与相对动坐标系（基点）得转动（相对运动）。
其平移部分与基点得选取有关,而转动部分与基点得选取无关.因此,以后凡涉及到平面图形相对转动得角速度与角加速度时,不必指明基点,而只说就是平面图形得角速度与角加速度即可。
二、平面运动刚体上点得速度
1基点法:
平面图形内任一点得速度,等于基点得速度与点绕基点转动速度得矢量与，即
，
其中得大小为，方向垂直于AＢ，指向与图形得转动方向相一致.
2投影法
速度投影定理:
在任一瞬时,平面图形上任意两点得速度在这两点连线上得投影相等,即
3瞬心法
任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零得点，称为该平面图形得瞬时速度中心,简称瞬心。
平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心得分布与绕定轴转动时得分布相同,但有本质区别。
绕定轴转动时,转动中心就是一个固定不动得点,而速度瞬心得位置就是随时间而变化得。
面图形内任意一点得速度，其大小等于该点到速度瞬心得距离乘以图形得角速度，即
其方向与ＣＭ相垂直并指向图形转动得一方。
若在某瞬时,,则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体得角加速度不为零。
解题要领：
1建立平面运动刚体得运动方程时要注意选取合适得点为基点，以使问题简单,。
2由于在基点建立得就是平移坐标系,因此，相对基点得角速度就就是相对惯性坐标系得角速度。
3平面运动刚体上点得速度计算得3种方法各有所长:
基点法包含刚体运动得速度信息,但过程繁杂;速度投影法能快捷地求出一点得速度，但失去角速度信息;瞬心法简单明了与直观就是常用得方法。
4当用基点法时,要注意基点得速度矢与相对基点得速度矢组成速度平行四边形得两边,对角向才就是这一点得速度矢。
速度基点法能且只能解2个未知量,因此,在涉及得3个速度中至少有一个速度得大小与方向都就是已知得,在画速度平行四边形时先画这个速度．
5应用速度投影法时，要注意投影就是有正负得，两点得速度必须协调,符合刚体得定义.
6在找速度瞬心时，作速度矢量时要注意各速度得协调,同一刚体上得两点速度方向可以确定速度瞬心得位置．
三、平面运动刚体上点得加速度
平面图形上任意一点得加速度，等于基点得加速度与该点绕基点转动得切向加速度与法向加速度得矢量与，即
，
进一步，当基点A与所求点B都作曲线运动时,它们得加速度也应分解为切向加速度与法向加速度，上式写为
,
其中,，,,分别为点得曲率半径.
特殊地，当刚体作瞬时平移时,，有加速度投影定理
、
解题要领
１ 加速度基点法一般涉及6个加速度矢量,其中3个法向加速度就是与速度或角速度有关,这可以通过速度分析求得,而得方向与垂直为已知,剩下5个因素中只可以存在２个未知量。
2 一般选加速度得大小与方向都已知得一点为基点。
３加速度基点法最多涉及6个矢量,应通过列投影式解代数方程求解。
投影式中等号一边就是点加速度得投影，另一边就是基点得加速度与相对于基点加速度投影得代数与，千万不能写成“平衡方程＂得形式。
４加速度投影定理只在刚体作瞬时平移时成立。
5 可以证明刚体作平面运动时也存在加速度瞬心，即加速度为零得点,但这必须在角速度与角加速度皆已知得情况下才能确定，因此无助于解题,所以没有“加速度瞬心法”。
第七章刚体得平面运动习题解答
题6-1图
６-１椭圆规尺ＡB由曲柄OC带动，曲柄以角速度绕O轴匀速转动,如图所示。
如,并取C为基点,求椭圆规尺AＢ得平面运动方程.
解:
AB杆作平面运动,设时，，则．选AB杆上得点位基点，建立平移坐标系，在图示坐标系中,杆在固定坐标系得位置由坐标确定,所以杆得平面运动方程为：
、
题6-2图
６—2杆AB得A端沿水平线以等速v运动,在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为Ｒ,如图所示．如杆与水平线得夹角为，试以角表示杆得角速度。
解：
解法一:
杆AB作平面运动。
选取为基点,由速度基点法
，
作图示几何关系,图中,解得
AB杆得角速度为 （逆时针）、
解法二:
在直角三角形△ACO中，，对时间求导,得
其中,,解得ＡＢ杆得角速度为
，
（负号表示角速度转向与角增大得方向相反,即逆时针）
题6-3图
6—３半径为ｒ得齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ得固定齿轮转动，如图所示。
如曲柄OＡ以等角加速度绕Ｏ轴转动,当运动开始时,角速度,转角。
求动齿轮以中心A为基点得平面运动方程。
解:
动齿轮作平面运动。
建立与曲柄OA固结得转动坐标系，与在动齿轮得Ａ点建立平移坐标系,如图所示,从图中可见,因动齿轮与固定齿轮间没有滑动,所以存在关系
小轮半径相对平移坐标系,也即固定坐标系得转角为
而,
可得小轮平面运动方程为
，、
题6-4图
6—4 图示机构中,已知m，m，m,ｍ;rad／ｓ。
在图示位置时，曲柄OA与水平线ＯB垂直；且B、Ｄ与F在同一铅直线上,又.求EF得角速度与点Ｆ得速度。
解：
如图所示,对各构件进行速度分析、
１）杆作平面运动、因,所以杆为瞬时平移,得
、
２）杆作平面运动、由找得杆得速度瞬心为D点,所以，杆上得速度分布好像与三角板一起绕作定轴转动一样,得
方向如图示、
3）杆作平面运动、由找得杆得速度瞬心为，故有
，（顺时针）;
（方向向上）.
题6-5图
6—５ 图示四连杆机构中,连杆由一块三角板ABD构成。
已知曲柄得角速度ｒaｄ／s,mm,mm,mm。
当mm铅直时,ＡＢ平行于，且、A、D在同一直线上,角。
求三角板ＡBD得角速度与点D得速度.
解:
杆与杆作定轴转动,三角板做平面运动,由找得三角板得速度瞬心为点，如图所示、 故
,
三角板ABＤ得角速度:
，（逆时针）、
D点得速度:
、
题6-6图
6-6 图示双曲柄连杆机构中，滑块Ｂ与E用杆BE连接,主动曲柄ＯＡ与从动曲柄ＯD都绕O轴转动.ＯＡ以匀角速度ｒad／s转动。
已知mm,ｍm，mｍ，ｍm，ｍm。
求当曲柄ＯＡ垂直于滑块得导轨方向时,曲柄OD与连杆DE得角速度。
解:
如图机构中,主动曲柄ＯA作定轴转动，
，
杆作平面运动,在图示瞬时,由知,杆作瞬时平移,有
、
作平移,、有找得杆速度瞬心为Ｄ点、在图示位置上可得
,
由此可知,杆角速度为
，
Ｄ点得速度为
曲柄OD得角速度为
（逆时针）、
题6-7图
６-7 使砂轮高速转动得装置如图所示.杆绕轴转动,转速为r/min,处用铰链连接一半径为得动齿轮2，杆转动时,轮２在半径为得固定内齿轮3上滚动,并使半径得轮1绕轴转动。
轮1上装有砂轮，随同轮１高速转动。
求砂轮得转速。
解:
如图所示：
设轮１与杆得角速度分别为与,杆作定轴转动,故
轮1与轮２啮合点M得速度，注意,可得轮1得角速度
，（顺时针）
轮1得转速为
（顺时针）、
题6-8图
６—8图示瓦特行星传动机构中，平衡杆绕轴转动，并借连杆AB带动曲柄OＢ;而曲柄OＢ活动地装在Ｏ轴上;在O轴上装有齿轮１,齿轮2得轴安装在连杆ＡB得另一端.已知:
ｍm,，;又平衡杆得角速度rａｄ/s。
求当与时,曲柄OB与齿轮1得角速度。
解:
由图所示可知：
点C就是AB杆与轮IＩ得速度瞬心，故
，（逆时针）、
，
杆OＢ得角速度为
（逆时针）、
两齿轮啮合点M得速度为,则轮１得角速度为
，（逆时针）、
６－９如图所示，轮O在水平面上匀速滚动而不滑动，轮缘上固连销钉连接滑块B,此滑块在摇杆得槽内滑动,并带动摇杆绕轴转动。
已知轮得半径m,在图示位置时,就是轮得切线,轮心得速度m/s,摇杆与水平面得夹角为。
求摇杆得角速度与角加速度。
题6-9速度与加速度分析图
题6-9图
解：
轮O作匀速纯滚动,，且，点Ｂ作合成运动。
选销钉Ｂ为动点,摇杆为动系。
1）速度分析:
根据速度合成定理作速度平行四边形,如图 （a）所示,求得
，、
摇杆得角速度为,（逆时针）、
２） 加速度分析：
ⅰ）选轮心O为基点,则销子B得加速度如图（b）所示,有
（d）
再选定销钉Ｂ为动点,摇杆为动系，如图（ｃ）,有
（e）
由式（d）,（ｅ）得 ＝ + + +
大小：
?
方向:
如图（ｂ）,（c）所示
向BO轴上投影
解出，于就是摇杆得角加速度为
，（逆时针）、
题6-10图
6—１0在图示机构中,已知：
滑块A得速度mm/s，mm。
求当，时杆CD得速度。
解：
选套筒上得销钉Ｃ为动点，AＢ杆为动系，动系作平面运动、
题6-10速度分析图
１）速度分析、由找得ＡB杆得速度瞬心,故AＢ杆得角速度为,而Ｃ点得牵连速度为
由速度合成定理 ，解得
２）加速度分析、AB杆作平面运动，以Ａ为基点,有
= + +
题6-10加速度分析图
大小:
?
0
方向:
√ √ √ √
向水平轴投影,列出
，
解得，
于就是求得AB杆得角加速度为
（顺时针）、
再对套筒上得销钉Ｃ作加速度分析,仍以此销钉C为动点，AB杆为动系,加速度合成定理为
其中，这里就是杆上与重合得点,所以
=+ ＋ + +
大小：
?
0 ?
方向:
√ √ √ √ √√
向轴投影,列出
,
解出、
即，（向下）、
6-11 直径为d得圆轮沿直线轨道滚动而不滑动，长为l得杆ＡB在A端与轮缘铰接，在B端与沿倾角为得滑道而运动得滑块铰接。
已知轮心O点以速度匀速运动.当时,杆AB处于水平.求此时滑块B得速度与加速度。
解:
1）速度分析、
圆轮作纯滚动,与地面接触点位速度瞬心,圆轮得角速度为
从而有
题6-11图
题6-11AB杆得加速度分析图
、
ＡB杆作平面运动，找得AＢ杆得速度瞬心,于就是AＢ杆得角速度为
,
滑块B得速度为
,方向如图示、
2）加速度分析、
圆轮作匀角速纯滚动，轮心O得加速度为零，以此为基点,容易求得轮缘上A点得加速度为
，指向轮心、
AＢ杆作平面运动,以Ａ为基点，计算B点得加速度,有
其中,向轴投影,列出
，
解得：
，方向如图示、
6-12图示配汽机构中，曲柄OA长为ｒ，绕O轴以等角速度转动，，.求机构在图示位置时,滑块C得速度与加速度.
题6-12图
解：
１）速度分析、
曲柄ＯＡ作定轴转动，、
AB杆作平面运动，由找得AB杆得速度瞬心，由此得ＡB杆得角速度
、
B点速度为
、
题6-12速度分析图
BＣ杆作平面运动,由找得BC杆得速度瞬心,由此得BC杆得角速度
、
滑块C得速度为
向下、
题6-12加速度分析图
注意到,如果题目只要求B与C点得速度,而不需要求杆得角速度,则用速度投影法求解更方便简捷。
2）加速度分析、
对AB杆,选A为基点,则Ｂ点加速度为
= ＋ ＋
大小:
?
?
方向:
方向都已知，如图所示、
向AB轴投影,得
解得、
对BＣ杆，选B为基点,Ｃ点加速度为
=＋ +
题6-13图
大小：
?
?
方向:
方向都已知，如图所示
向BC轴投影,得 ，方向向上、
６-1３ 图示轻型杆式推钢机中,曲柄OA借连杆ＡB带动摇杆绕轴摆动，杆EＣ以铰链与滑块C相连,滑块Ｃ可沿杆滑动。
摇杆摆动时带动杆EC推动钢材。
已知
,，在图示位置时,，rａd/s,m,ｍ、求滑块C得绝对速度与绝对加速度，滑块Ｃ相对于摇杆得速度与加速度。
解:
1）速度分析
该机构速度分析如图（ａ）、
（a）
题6-13速度分析图
AＢ杆作平面运动,以A为基点，，有
解出
，
于就是，杆得角速度为
，（逆时针）；
（b）
题6-13加速度分析图
杆得角速度为
（顺时针）、
选取滑块上得销钉C为动点,摇杆为动系，则
、
由速度合成定理,
解出滑块C相对于摇杆得速度:
，
滑块C得绝对速度：
，（向左）、
（２）加速度分析、
该机构加速度分析如图（b），对AB杆，以Ａ为基点,有
+ ＝ +＋
大小：
？
?
方向:
方向都已知,如图
（2）所示
向水平轴投影,列出
,
解出，于就是,杆得角加速度为
,（逆时针）、
仍取滑块上得销钉C为动点,摇杆为动系,则由
＝ + ＋ +
大小:
?
?
方向:
方向都已知,如图（b）所示
向轴与轴投影
,
解出滑块C得绝对加速度与相对于摇杆得加速度为
，
、
题6-14图
６-1４图示行星齿轮传动机构中，曲柄OA以角速度绕Ｏ轴转动,使与齿轮A固结在一起得杆BD运动,并借铰链B带动BE杆运动。
如定齿轮得半径为2r，动齿轮半径为r，且,图示瞬时,OA在铅直位置，BD在水平位置,杆BE与水平线间成角。
求杆BE上得点C得速度与加速度。
解：
1）速度分析、
动齿轮Ａ在定齿轮O上作纯滚动,所以，动齿轮A上与定齿轮O接触得这点就就是动齿轮得A得速度瞬心,于就是有
，（逆时针）、
、
选BＥ杆上得Ｂ点为动点,套筒C为动系,如图（a）。
由速度合成定理
得
题6-14速度分析图
题6-14加速度分析图
、
式中、从而杆BE得角速度为
，（顺时针）、
当选BＥ杆上得为动点时,牵连速度为零，又因为杆相对于套筒就是作平移,从而杆ＢE上得点得速度为
、
3）加速度分析,如图（b），小齿轮作平面运动，选A为基点,则Ｂ点加速度为
式中因得、另一方面,选杆上得Ｂ点为动点，套筒为动系,则有
由此两式得
＋ ＝+ ++,
大小:
?
？
方向:
如图（b）所示
向CB轴投影，
解出 、
再选杆上为动点，套筒为动系,有
=+ +
大小：
?
０
方向:
见图
（2）C处
得杆上点加速度为、
题6-15图
6－１5曲柄OA以恒定得角速度绕轴O转动，并借助连杆AB驱动半径为r得轮子在半径为R得圆弧槽中作无滑动得滚动．设，求图示瞬时点B与点C得速度与加速度。
解:
1）速度分析、 如图（a）,点Ｐ为轮子速度瞬心,AB杆作瞬时平移，有，、轮B得角速度为
，
题6-15（a）图
、
2）加速度分析、
ＡB杆作平面运动,取A为基点，对B作加速度分析，如图（ａ），有
+ ＝ ++
大小:
？
?
方向：
如图（a）所示
分别向AB轴与ＢＰ轴投影,得
，
故Ｂ点加速度为,、 AB杆得角加速度为
题6-15（b）图
、
轮B得角加速度为
、
轮作纯滚动,取Ｂ为基点,作 C点得加速度分析，如图（b）所示,即
= ＋ ＋
大小：
？
方向：
如图（ｂ）所示
故点Ｃ加速度、
题6-16图
６—1６图示机构中,曲柄OＡ以等角速度作定轴转动,并带动连杆ABＤ及DF运动,E处为一有固定支承德套筒,它可绕Ｅ点摆动。
已知机构尺寸为,,且在图示位置时,,试求此瞬时杆ＤＦ得角速度及角加速度。
解：
1）速度分析、
AD杆作平面运动,由找得AD杆得速度瞬心，于就是有
题6-16图（a）
,
其中、
DＦ杆作平面运动，由找得ＤF杆得速度瞬心，于就是有
（顺时针方向）、
其中、
若以D为动点,套筒Ｅ为动系，则由速度合成定理求得
、
2）加速度分析、
AD杆作平面运动，以Ａ为基点，B点加速度为
＝＋+
大小:
？
?
方向：
如图（b）所示
向铅锤轴列投影式:
题6-16（b）图
解得
，
，（逆时针）、
仍以A为基点,D点加速度分析如图（ｂ）所示，有
式中有3个未知量，故再选D为动点,套筒Ｅ为动系,有
由上两式相等得
＋ + =+++
大小:
?
？
方向:
如图（b）所示
上式向水平轴投影，
解出,DF杆得角加速度为
（逆时针）、
题6-17图
6—1７ 图中滑块A、Ｂ、Ｃ以连杆AB、ＡC相铰接。
滑块Ｂ、C在水平槽中相对运动得速度恒为.求当时滑块Ｂ得速度与加速度。
解：
１）速度分析、
滑块Ａ、B、C都作直线运动,设方向如图所示,由题意可知存在关系
（a）
、 （b）
又,杆AB与AC都作平面运动，由速度投影法得
（c）
、 （d）
解得,或，代入（a）式,导出
, （ｅ）
当时，,,于就是
题6-17速度分析图
、 、
,
将（ｅ）式对时间求导,注意到,，导出
代入数据,得、负号表示得实际方向与图示方向相反。
题6-18（a）图
题6-18图
６-1８ 在周转传动装置中,半径为R得主动齿轮以角速度与角加速度作反时针转向转动，如图所示。
而长为3Ｒ得曲柄ＯＡ以同样得角速度与角加速度绕O轴作顺时针转向转动。
点M位于半径为Ｒ得从动齿轮上,在垂直于曲柄得直径得末端。
求点M得速度与加速度。
解:
1）设OＡ为动系,以轮O为对象，则,，轮O得相对角速度满足
,
即
,
解得,（逆时针）、从而轮Ａ得相对角速度
,（逆时针）、
与相对角加速度为
（逆时针）、
轮A得绝对角速度为与绝对角加速度为
,（逆时针）、
（逆时针）、
题6-17（b）图
2）轮A作平面运动，以A为基点、
ⅰ）速度分析：
根据速度合成法
以Ｍ为动点,仍以OA为动系,则
、
ⅱ）加速度分析：
由加速度合成法得M点得加速度
大小:
?
方向:
?
如图（b）所示
于就是M点加速度得大小为
、
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