解：
小球向右通过凹槽C时的速率比向左通过凹槽C时的速率大，由向心力方程
可知，对应的弹力N一定大，滑动摩擦力也大，克服阻力做的功多；又小球向右通过凸起D时的速率比向左通过凸起D时的速率小，由向心力方程
可知，对应的弹力N一定大，滑动摩擦力也大，克服阻力做的功多。
所以小球向右运动全过程克服阻力做功多，动能损失多，末动能小，选A。
三、机械能守恒定律
1.机械能守恒定律的两种表述
⑴在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。
⑵如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。
对机械能守恒定律的理解：
①机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。
通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。
另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。
②当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。
③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。
在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。
2.机械能守恒定律的各种表达形式
⑴
，即
；
⑵
；
；
用⑴时，需要规定重力势能的参考平面。
用⑵时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。
尤其是用ΔE增=ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。
3.解题步骤
⑴确定研究对象和研究过程。
⑵判断机械能是否守恒。
⑶选定一种表达式，列式求解。
4.应用举例
例7.如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？
系统机械能是否守恒？
解：
以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。
又由水平方向系统动量守恒可以得知：
斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少。
有些同学一看本题说的是光滑斜面，容易错认为物块本身机械能就守恒。
这里要提醒两条：
⑴由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N和物块的实际位移s的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件。
⑵由于水平方向系统动量守恒，斜面一定会向右运动，其动能也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少。
例8.如图所示，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。
AO、BO的长分别为2L和L。
开始时直角尺的AO部分处于水平位置而B在O的正下方。
让该系统由静止开始自由转动，求：
⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵B球能上升的最大高度h；⑶开始转动后B球可能达到的最大速度vm。
解：
以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。
⑴过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。
，解得
⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。
2mg2Lcosα=3mgL（1+sinα），此式可化简为4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得sin（53°-α）=sin37°，α=16°
⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG。
设OA从开始转过θ角时B球速度最大，
=2mg2Lsinθ-3mgL（1-cosθ）
=mgL（4sinθ+3cosθ-3）≤2mgL，解得
⑴⑵⑶
本题如果用EP+EK=EP/+EK/这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。
用ΔE增=ΔE减就要简洁得多。
例9.如图所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。
开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。
打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？
（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）
解：
由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。
从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。
系统的重力势能减少，动能增加。
该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。
不妨设水柱总质量为8m，则
，得
。
本题在应用机械能守恒定律时仍然是用ΔE增=ΔE减建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法。
需要注意的是：
研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。
四、功能关系
做功的过程是能量转化的过程，功是能的转化的量度。
能量守恒和转化定律是自然界最基本的定律之一。
而在不同形式的能量发生相互转化的过程中，功扮演着重要的角色。
本章的主要定理、定律都是由这个基本原理出发而得到的。
需要强调的是：
功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。
两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。
复习本章时的一个重要课题是要研究功和能的关系，尤其是功和机械能的关系。
突出：
“功是能量转化的量度”这一基本概念。
⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：
W外=ΔEk，这就是动能定理。
⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：
WG=-ΔEP，这就是势能定理。
⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：
W其=ΔE机，（W其表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能定理。
⑷当W其=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。
⑸一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。
fd=Q（d为这两个物体间相对移动的路程）。
例10.质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有
A.物体的重力势能增加了mgHB.物体的动能减少了FH
C.物体的机械能增加了FHD.物体重力势能的增加小于动能的减少
解：
由以上三个定理不难得出正确答案是A、C
例11.如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。
其正上方A位置有一只小球。
小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。
小球下降阶段下列说法中正确的是
A.在B位置小球动能最大
B.在C位置小球动能最大
C.从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加
D.从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加
解：
小球动能的增加用合外力做功来量度，A→C小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C→D小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B正确。
从A→C小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C正确。
A、D两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D正确。
选B、C、D。
五、综合练习
我们已经复习了牛顿定律、动量定理和动量守恒、动能定理和机械能守恒。
它们分别反映了力的瞬时作用效应、力的时间积累效应和力的空间积累效应。
解决力学问题离不开这三种解题思路。
在比较复杂的题目中，这三种手段往往是交替使用的。
下面举几个例题说明这一点。
例12.如图所示，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛。
下列说法正确的有
A.它们同时到达同一水平面
B.重力对它们的冲量相同
C.它们的末动能相同
D.它们动量变化的大小相同
解：
b、c飞行时间相同（都是
）；a与b比较，两者平均速度大小相同（末动能相同）；但显然a的位移大，所以用的时间长，因此A、B都不对。
由于机械能守恒，c的机械能最大（有初动能），到地面时末动能也大，因此C也不对。
a、b的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量变化大小相同；b、c所受冲量相同，所以动量变化大小也相同，故D正确。
这道题看似简单，实际上考察了平均速度、功、冲量等很多知识。
另外，在比较中以b为中介：
a、b的初、末动能相同，平均速度大小相同，但重力作用时间不同；b、c飞行时间相同（都等于自由落体时间），但初动能不同。
本题如果去掉b球可能更难做一些。
例13.质量为m的汽车在平直公路上以速度v匀速行驶，发动机实际功率为P。
若司机突然减小油门使实际功率减为
并保持下去，汽车所受阻力不变，则减小油门瞬间汽车加速度大小是多少？
以后汽车将怎样运动？
解：
由公式F-f=ma和P=Fv，原来牵引力F等于阻力f，减小油门瞬间v未变，由P=Fv，F将减半，合力变为
，方向和速度方向相反，加速度大小为
；以后汽车做恒定功率的减速运动，F又逐渐增大，当增大到F=f时，a=0，速度减到最小为v/2，再以后一直做匀速运动。
这道题是恒定功率减速的问题，和恒定功率加速的思路是完全相同的。
例14.质量为M的小车A左端固定一根轻弹簧，车静止在光滑水平面上，一质量为m的小物块B从右端以速度v0冲上小车并压缩弹簧，然后又被弹回，回到车右端时刚好与车保持相对静止。
求这过程弹簧的最大弹性势能EP和全过程系统摩擦生热Q各多少？
简述B相对于车向右返回过程中小车的速度变化情况。
解：
全过程系统动量守恒，小物块在车左端和回到车右端两个时刻，系统的速度是相同的，都满足：
mv0=（m+M）v；第二阶段初、末系统动能相同，说明小物块从车左端返回车右端过程中弹性势能的减小恰好等于系统内能的增加，即弹簧的最大弹性势能EP恰好等于返回过程的摩擦生热，而往、返两个过程中摩擦生热是相同的，所以EP是全过程摩擦生热Q的一半。
又因为全过程系统的动能损失应该等于系统因摩擦而增加的内能，所以ΔEK=Q=2EP
而
，∴
至于B相对于车向右返回过程中小车的速度变化，则应该用牛顿运动定律来分析：
刚开始向右返回时刻，弹簧对B的弹力一定大于滑动摩擦力，根据牛顿第三定律，小车受的弹力F也一定大于摩擦力f，小车向左加速运动；弹力逐渐减小而摩擦力大小不变，所以到某一时刻弹力和摩擦力大小相等，这时小车速度最大；以后弹力将小于摩擦力，小车受的合外力向右，开始做减速运动；B脱离弹簧后，小车在水平方向只受摩擦力，继续减速，直到和B具有向左的共同速度，并保持匀速运动。
例15.海岸炮将炮弹水平射出。
炮身质量（不含炮弹）为M，每颗炮弹质量为m。
当炮身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？
解：
两次发射转化为动能的化学能E是相同的。
第一次化学能全部转化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守恒，由动能和动量的关系式
知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量成反比，炮弹的动能
，由于平抛的射高相等，两次射程的比等于抛出时初速度之比，
这是典型的把动量和能量结合起来应用的应用题。
要熟练掌握一个物体的动能和它的动量大小的关系；要善于从能量守恒的观点（本题是系统机械能增量相同）来分析问题。
例16.质量为m的长木板A静止在光滑水平面上，另两个质量也是m的铁块B、C同时从A的左右两端滑上A的上表面，初速度大小分别为v和2v，B、C与A间的动摩擦因数均为μ。
⑴试分析B、C滑上长木板A后，A的运动状态如何变化？
⑵为使B、C不相撞，A木板至少多长？
解：
B、C都相对于A滑动时，A所受合力为零，保持静止。
这段时间为
。
B刚好相对于A静止时，C的速度为v，A开向左做匀加速运动，由动量守恒可求出A、B、C最终的共同速度
，这段加速经历的时间为
，最终A将以
做匀速运动。
全过程系统动能的损失都将转化为系统的内能，而摩擦生热
，由能量守恒定律列式：
。
这就是A木板应该具有的最小长度。
本题还可以求系统机械能损失（摩擦生热）和B、C与A摩擦生热之比：
第一阶段B对A的位移就是对地的位移：
sB=v2/2μg，C的平均速度是其3倍因此C对A的位移是其3倍：
sC=3v2/2μg；第二阶段A、B共同向左运动的加速度是μg/2，对地位移是s=v2/9μg，C平均速度是其4倍，对地位移是s/=4v2/9μg，相对于A位移是v2/3μg，故B、C与A间的相对位移大小依次是dB=v2/2μg和dC=11v2/6μg，于是系统摩擦生热为μmg（dB+dC）=7mv2/3，dB∶dC=3∶11
例17.质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。
动摩擦因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。
到最终相对静止为止，摩擦生热多少？
解：
车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。
根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：
当M>m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是
；当M=m时，显然最终共同速度为零，当M例18.一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，末画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。
现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。
稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。
每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。
已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。
这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。
求电动机的平均输出功率P。
解：
电动机做功的过程，电能除了转化为小货箱的机械能，还有一部分由于小货箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能。
摩擦生热可以由Q=fd求得，其中f是相对滑动的两个物体间的摩擦力大小，d是这两个物体间相对滑动的路程。
本题中设传送带速度一直是v，则相对滑动过程中传送带的平均速度就是小货箱的2倍，相对滑动路程d和小货箱的实际位移s大小相同，故摩擦生热和小货箱的末动能大小相同Q=mv2/2。
因此有W=mv2+mgh。
又由已知，在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N，所以有
，vT=NL，带入后得到
。
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