当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得,f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),
△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>6,故a>2.
所以实数a的取值范围为(2,+∞).
[思想方法]
1.绝对值不等式的三种常用解法:
零点分段法,数形结合法,构造函数法.
2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
[易错防范]
1.可以利用绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求函数最值,要注意其中等号成立的条件.
2.掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.
(建议用时:
60分钟)
1.设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.
(1)解不等式f(x)>2;
(2)求函数y=f(x)的最小值.
解
(1)法一 令2x+1=0,x-4=0分别得x=-,x=4.
原不等式可化为:
或或
即或或
∴x<-7或x>.
∴原不等式的解集为.
法二 f(x)=|2x+1|-|x-4|=
画出f(x)的图象,如图所示.
求得y=2与f(x)图象的交点为(-7,2),.
由图象知f(x)>2的解集为.
(2)由
(1)的法二图象知:
当x=-时,
知:
f(x)min=-.
2.(2017·长沙一模)设α,β,γ均为实数.
(1)证明:
|cos(α+β)|≤|cosα|+|sinβ|,|sin(α+β)|≤|cosα|+|cosβ|;
(2)若α+β+γ=0,证明:
|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1.
证明
(1)|cos(α+β)|=|cosαcosβ-sinαsinβ|≤
|cosαcosβ|+|sinαsinβ|≤|cosα|+|sinβ|;
|sin(α+β)|=|sinαcosβ+cosαsinβ|≤|sinαcosβ|+
|cosαsinβ|≤|cosα|+|cosβ|.
(2)由
(1)知,|cos[α+(β+γ)]|≤|cosα|+|sin(β+γ)|≤|cosα|+|cosβ|+|cosγ|,
而α+β+γ=0,故|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1.
3.(2016·镇江模拟)已知a和b是任意非零实数.
(1)求的最小值;
(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,求实数x的取值范围.
解
(1)∵≥==4,∴的最小值为4.
(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,即|2+x|+|2-x|≤恒成立,
故|2+x|+|2-x|≤.
由
(1)可知,的最小值为4.
∴x的取值范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集.
解不等式得-2≤x≤2.
故实数x的取值范围为[-2,2].
4.(2017·广州二测)已知函数f(x)=log2(|x+1|+|x-2|-a).
(1)当a=7时,求函数f(x)的定义域;
(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R,求实数a的最大值.
解
(1)由题设知|x+1|+|x-2|>7,
①当x>2时,得x+1+x-2>7,解得x>4.
②当-1≤x≤2时,得x+1+2-x>7,无解.
③当x<-1时,得-x-1-x+2>7,解得x<-3.
∴函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(4,+∞).
(2)不等式f(x)≥3,即|x+1|+|x-2|≥a+8,
∵当x∈R时,
恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,
又不等式|x+1|+|x-2|≥a+8的解集是R,
∴a+8≤3,即a≤-5,
∴a的最大值为-5.
5.设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.
(1)求M;
(2)当x∈(M∩N)时,证明:
x2f(x)+x[f(x)]2≤.
(1)解 f(x)=
当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1,
得x≤,故1≤x≤;
当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集为M={x|0≤x≤}.
(2)证明 由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,
解得-≤x≤.因此N=,
故M∩N=.
当x∈(M∩N)时,f(x)=1-x,于是
x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=-≤.
6.(2017·郑州模拟)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.
(1)解不等式:
|g(x)|<5;
(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
解
(1)由||x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,
所以-7<|x-1|<3,
解不等式得-2<x<4,
所以原不等式的解集是{x|-2<x<4}.
(2)因为对任意的x1∈R,都有x2∈R,
使得f(x1)=g(x2)成立,
所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},
又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|2x-a-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,
所以|a+3|≥2,
解得a≥-1或a≤-5,
所以实数a的取值范围是{a|a≥-1或a≤-5}.
第2讲 不等式的证明
最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:
比较法、综合法、分析法.
知识梳理
1.不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.
(1)比较法
①求差比较法
知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明a-b>0即可,这种方法称为求差比较法.
②求商比较法
由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明>1即可,这种方法称为求商比较法.
(2)分析法
从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法.
(3)综合法
从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法.
(4)反证法的证明步骤
第一步:
作出与所证不等式相反的假设;
第二步:
从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立.
2.几个常用基本不等式
(1)柯西不等式:
①柯西不等式的代数形式:
设a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时,等号成立).
②柯西不等式的向量形式:
设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
③柯西不等式的三角不等式:
设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,
则+
≥.
④柯西不等式的一般形式:
设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
(2)算术—几何平均不等式
若a1,a2,…,an为正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.( )
(2)若实数x,y适合不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y>0.( )
答案
(1)×
(2)√
2.(2017·泰安模拟)若a>b>1,x=a+,y=b+,则x与y的大小关系是( )
A.x>yB.x<yC.x≥yD.x≤y
解析 x-y=a+-=a-b+=.由a>b>1得ab>1,a-b>0,
所以>0,即x-y>0,所以x>y.
答案 A
3.(2017·聊城模拟)下列四个不等式:
①logx10+lgx≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
解析 logx10+lgx=+lgx≥2(x>1),①正确.
ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;
因为ab≠0,与同号,
所以=+≥2,③正确;
由|x-1|+|x-2|的几何意义知,
|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确,
综上①③④正确.
答案 C
4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________.
解析 由柯西不等式得(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2),即m2+n2≥5,∴≥,∴所求最小值为.
答案
5.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:
当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
(1)解 f(x)=当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;
当-当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.
所以f(x)<2的解集M={x|-1(2)证明 由
(1)知,当a,b∈M时,-1从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,
即(a+b)2<(1+ab)2,因此|a+b|<|1+ab|.
考点一 用分析法证明不等式
【例1】设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.
求证:
(1)a+b+c≥;
(2)++≥(++).
证明
(1)要证a+b+c≥,
由于a,b,c>0,
因此只需证明(a+b+c)2≥3.
即证:
a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3,
而ab+bc+ca=1,
故需证明:
a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca).
即证:
a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
而这可以由ab+bc+ca≤++=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.
∴原不等式成立.
(2)++=.
由于
(1)中已证a+b+c≥.
因此要证原不等式成立,
只需证明≥++.
即证a+b+c≤1,
即证a+b+c≤ab+bc+ca.
规律方法 当所证明的不等式不能使用比较法,且和重要不等式、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
【训练1】(2016·宜昌一中月考)已知函数f(x)=|x-1|.
(1)解不等式f(x-1)+f(x+3)≥6;
(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:
f(ab)>|a|f.
解
(1)由题意,知原不等式等价为|x-2|+|x+2|≥6,
令g(x)=|x-2|+|x+2|,
则g(x)=
当x≤-2时,由-2x≥6,得x≤-3;
当-2<x<2时,4≥6不成立,此时无解;
当x≥2时,由2x≥6,得x≥3.
综上,不等式的解集是(-∞,-3]∪[3,+∞).
(2)证明 要证f(ab)>|a|f,
只需证|ab-1|>|b-a|,
只需证(ab-1)2>(b-a)2.
而(ab-1)2-(b-a)2=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)·(b2-1)>0,从而原不等式成立.
考点二 用综合法证明不等式
【例2】已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)++≥8;
(2)≥9.
证明
(1)∵a+b=1,a>0,b>0,
∴++=++=2
=2=2+4≥4+4=8.
∴++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).
(2)∵=+++1,
由
(1)知++≥8.
∴≥9.
规律方法
(1)综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.
(2)在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质成立的前提条件.
【训练2】(2017·重庆适应性测试)设a,b,c∈R+且a+b+c=1.
(1)求证:
2ab+bc+ca+≤;
(2)求证:
++≥2.
证明
(1)因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥4ab+2bc+2ca+c2,
所以2ab+bc+ca+=(4ab+2bc+2ca+c2)≤.
(2)因为≥,≥,≥,
所以++≥++=a+b+c≥2a+2b+2c=2.
考点三 柯西不等式的应用
【例3】已知x,y,z均为实数.
(1)若x+y+z=1,求证:
++≤3;
(2)若x+2y+3z=6,求x2+y2+z2的最小值.
(1)证明 因为(++)2≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.
所以++≤3.
当且仅当x=,y=,z=0时取等号.
(2)解 因为6=x+2y+3z≤·,
所以x2+y2+z2≥,
当且仅当x==即x=,y=,z=时,
x2+y2+z2有最小值.
规律方法
(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明.
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为:
(a+a+…+a)≥(1+1+…+1)2=n2.在使用柯西不等式时,要注意右边常数且应注意等号成立的条件.
【训练3】已知大于1的正数x,y,z满足x+y+z=3.求证:
++≥.
证明 由柯西不等式及题意得,
·[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27.
又(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)=
6(x+y+z)=18,
∴++≥=,
当且仅当x=y=z=时,等号成立.
[思想方法]
证明不等式的方法和技巧:
(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少