西安交通大学物理仿真实验报告2.docx
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西安交通大学物理仿真实验报告2
大学物理仿真实验报告
——受迫振动
一、实验简介
在本实验中，我们将研究弹簧重物振动系统的运动。
在这里，振动中系统除受弹性力和阻尼力作用外，另外还受到一个作正弦变化的力的作用。
这种运动是一类广泛的实际运动，即一个振动着的力学体系还受到一个作周期变化的力的作用时的运动的一种简化模型。
如我们将会看到的，可以使这个体系按照与施加力相同的频率振动，共振幅既取决于力的大小也取决于力的频率。
当力的频率接近体系的固有振动频率时，“受迫振动”的振幅可以变得非常大，这种现象称为共振。
共振现象是重要的，它普遍地存在于自然界，工程技术和物理学各领域中．共振概念具有广泛的应用，根据具体问题中共振是“利”还是“害”，再相应地进行趋利避害的处理。
二、实验目的
研究阻尼振动和受迫振动的特性,要求学生测量弹簧重物振动系统的阻尼常数，共振频率。
三、实验原理
1.受迫振动
图1受迫振动
质量M的重物按图1放置在两个弹簧中间。
静止平衡时，重物收到的合外力为0。
当重物被偏离平衡位置时，系统开始振动。
由于阻尼衰减（例如摩擦力），最终系统会停止振动。
振动频率较低时，可以近似认为阻力与振动频率成线性关系。
作用在重物上的合力：
其中k1,k2是弹簧的倔强系数。
K=k1+k2是系统的等效倔强系数。
x是重物偏离平衡位置的距离,
是阻尼系数。
因此重物的运动方程可表示为：
其中
and
。
在欠阻尼状态时（
）,方程解为：
A,由系统初始态决定。
方程的解是一幅度衰减的谐振动，如图2所示。
图2衰减振动
振动频率是：
（1）
如果重物下面的弹簧
由一个幅度为a的振荡器驱动，那么这个弹簧作用于重物的力是
。
此时重物的运动方程为：
方程的稳态解为：
（2）
其中
。
图3显示振动的幅度与频率的关系。
图3衰减振动幅度与振动频率关系
弱阻尼情况下，当
，振动的幅度会很大，最大值出现在：
（3）
幅度衰减一半的区域
：
（4）
2.耦合振动
图4耦合振动系统
图4是一个耦合振动系统，由3个倔强系数k和2个质量m的重物组成。
系统有两个共振频率点，一种频率为，
此时两个重物运动方向一致。
另外一种运动状态频率为，
此时两个重物运动方向相反。
四、实验内容
1.测量弹簧倔强系数。
1）测量两根弹簧和砝码挂钩的质量。
在实验场景中单击鼠标右键弹出菜单，对挂钩和弹簧进行称重。
图5弹簧1称重图6弹簧2称重图7挂钩称重
2）按照实验原理中图1安装好振动系统，把较紧的弹簧放在面。
3）在砝码盘上添加砝码并记录砝码挂钩的偏移。
使用砝码前先用电子天平称量砝码。
使用鼠标选择砝码，并把砝码拖放在需要的位置。
4）画出质量m和挂钩偏移x的曲线，算出系统等效弹簧倔强系数K。
2.阻尼振动
1）调整挂钩上砝码质量,使弹簧的长度基本相等。
2）计算振动系统的本征频率fo
3）连接好信号发生器和振荡器,打开信号发生器，设定频率为f。
o
图8设定信号发生器频率
4）调整合适的信号发生器输出振幅。
当挂钩振幅峰峰值超过4cm后，关闭信号发生器。
5）当振幅峰峰值衰减到4cm后，打开计时器。
6）记录振幅峰峰值衰减到2cm时所需的时间t1/2,计算阻尼系数。
7）重复步骤3）到6）,测量3次。
8）测量50个全振动的时间。
9）计算系统的振动频率，并与公式
（1）得到的频率相比较。
3.受迫振动
1）打开信号发生器,设定输出频率为fo。
2）调节信号发生器的输出使得振荡器输出振幅大约1mm（鼠标移动到振荡器上显示）,等系统振动稳定后记下挂钩振幅峰峰值。
3）改变频率，重复步骤2.
4）根据记录数据做出振幅-频率曲线，求出振幅衰减一半的区域。
所得数据与公式3,4计算的结果进行比较。
4.耦合振动
1）振动系统安装后向砝码盘上添加砝码,使每个砝码盘的总重量大约50g。
2）打开信号发生器,设定频率为0.5Hz。
3）调节信号发生器的输出使得振荡器输出振幅大约1mm（鼠标移到振荡器上显示）,等系统振动稳定后记下挂钩振幅的峰峰值。
4）改变频率从0.5到5.0Hz，重复步骤4。
5）做出振幅-频率图，求出两个共振频率点。
五、实验数据及处理
表一测量各个构件的质量
构件
弹簧1
弹簧2
挂钩
质量/g
7.92
7.76
12.50
通过观察得，当所挂砝码质量m=199.95g时，两弹簧长度基本相等
故M
+m+
=217.7g
表二测量系统等效弹簧倔强系数K数据
砝码质量m/g
0
10.02
20.09
30.09
40.11
49.09
59.97
80.25
100.07
120.16
150.16
直尺读数X0/cm
42.28
43.50
44.58
45.60
46.67
47.70
48.73
50.82
52.90
55.00
58.14
示数变化X/cm
1.02
2.10
3.12
4.19
5.22
6.25
8.34
10.42
12.52
15.66
图9砝码质量m与钩码偏X（直尺示数变化）移量关系
通过matlab拟合得该直线斜率k=9.59，故系统等效弹簧倔强系K=9.59g/cm=9.59N/m
故振动系统的本征频率
=
=1.103Hz
表三振幅峰峰值衰减到2cm时所需的时间t1/2
实验次数
1
2
3
测得时间
18.32
18.38
18.41
平均时间
18.37
=0.188
实验测得50次全振动时间t=47.84s,故系统的振动频率f=50/t=1.045Hz.
用公式一计算=1.102Hz
相比公式一结果实际测得值偏小
频率/Hz
0.500
0.600
0.800
0.900
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
1.600
振幅/mm
0.3
1.0
2.0
2.7
4.4
6.8
4.2
2.4
1.3
0.2
图10振幅-频率曲线
公式三
计算结果为：
6.921/s图中对应最大
=2
f=6.908/s
二者相差不大。
公式四
计算结果为：
0.651/s图中对应
=1.128/s一定误差
4、耦合振动
频率/Hz
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
振幅峰峰值/cm
1.5
2.6
8.5
4.9
2.1
3.5
5.6
6.8
4.2
1.7
图11振幅峰峰值-频率
由图看出两个共振点（1.5,8.5）和（4,6.8）
六、实验结论
1、通过实验和计算，得振动系统的本征频率=1.103Hz，实验测得50次全振动时间t=47.84s,故系统的振动频率f=50/t=1.045Hz，用公式一计算为1.102Hz，相对百分误差为：
5.17%
2、通过实验和作图，振幅最大时对应为ω=2πf=6.912Hz,公式三
计算结果为：
6.921Hz,相对误差为：
0.13%。
衰减一半的区域大致为0.75-1.15Hz。
幅度公式四
计算结果为：
0.651/s
3、通过实验和作图，系统有两个共振频率点为（1.5,8.5）和（4,6.8）
七、思考题
1.下面情况中，系统运动状态如何？
a）β比较小。
b）β>2
答：
a）β比较小，即β<2
时，系统应作振幅逐渐减小的谐振动。
b）β>2
时，系统的运动是非周期性的，即振子开始运动后，随着时间的延长，振子逐渐返回平衡位置。
2.从公式（13.2）推导出（13.3），（13.4）。
答：
由式易知当w0=w,为1
时，有
从而进一步得
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