高中数学专项直线和圆知识点总结.docx

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高中数学专项直线和圆知识点总结

直线和圆

一．直线

1．斜率与倾斜角：

ktan，[0,）

（1）[0,）

时，k0；

（2）

时，k不存在；（3）（,）

时，k0

（4）当倾斜角从0增加到90时，斜率从0增加到；

当倾斜角从90增加到180时，斜率从增加到0

2．直线方程

（1）点斜式：

（）

yy0kxx

（2）斜截式：

ykxb

（3）两点式：

（4）截距式：

（5）一般式：

AxByC0

3．距离公式

（1）点P1（x1,y1），P2（x2,y2）之间的距离：

P1P2（x2x1）（y2y1）

（2）点P（x0,y0）到直线AxByC0的距离：

|AxByC|

（3）平行线间的距离：

AxByC10与AxByC20的距离：

|CC|

4．位置关系

（1）截距式：

ykxb形式

重合：

kkbb相交：

k1k2

1212

平行：

k1k2b1b2垂直：

k1k21

（2）一般式：

AxByC0形式

重合：

ABAB且A1C2A2C1且B1C2C1B2

1221

平行：

A1B2A2B1且A1C2A2C1且B1C2C1B2

垂直：

A1A2B1B20相交：

A1B2A2B1

5．直线系

A1xB1yC1＋（A2xB2yC2）0表示过两直线l1:

A1xB1yC10和l2:

A2xB2yC20交点的所

有直线方程（不含

l）

二．圆

1．圆的方程

（1）标准形式：

222

（xa）（yb）R（R0）

（2）一般式：

220

xyDxEyF（

2240

DEF）

（3）参数方程：

xxr

yyr

cos

sin

（是参数）

【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.

（4）以

A（x,y）,B（x2,y2）为直径的圆的方程是：

（xxA）（xxB）（yyA）（yyB）0

2．位置关系

（1）点

P（x,y）和圆

222

（xa）（yb）R的位置关系：

当

222

（xa）（yb）R时，点P（x0,y0）在圆

222

（xa）（yb）R内部

当

222

（xa）（yb）R时，点P（x0,y0）在圆

222

（xa）（yb）R上

当

222

（xa）（yb）R时，点P（x0,y0）在圆

222

（xa）（yb）R外

（2）直线AxByC0和圆

222

（xa）（yb）R的位置关系：

判断圆心O（a,b）到直线AxByC0的距离

|AaBbC|

与半径R的大小关系

当dR时，直线和圆相交（有两个交点）；

当dR时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；

当dR时，直线和圆相离（无交点）；

判断直线与圆的位置关系常见的方法

（1）几何法：

利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．

（2）代数法：

联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．

（3）点与圆的位置关系法：

若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．

3．圆和圆的位置关系

判断圆心距dO1O2与两圆半径之和R1R2，半径之差R1R2（R1R2）的大小关系

当

dRR时，两圆相离，有4条公切线；

当

dRR时，两圆外切，有3条公切线；

当

RRdRR时，两圆相交，有2条公切线；

1212

当

dRR时，两圆内切，有1条公切线；

当0dR1R2时，两圆内含，没有公切线；

4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减

5．弦长公式：

l2Rd

例1若圆x＋y＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．

解析：

由题意知

2＞1，解得－3＜k＜3.

1＋k

答案：

（－3，3）

例2已知两圆C1：

x2：

2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是

____________．

解析：

两圆相减即得x－2y＋4＝0.

答案：

x－2y＋4＝0

例3设直线x－my－1＝0与圆（x－1）

________．

＋（y－2）

＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是

解析：

由题意得，圆心（1,2）到直线x－my－1＝0的距离d＝4－3＝1，即

|1－2m－1|

2＝1，解得m＝±

1＋m

答案：

例4若a，b，c是直角三角形ABC三边的长（c为斜边），则圆C：

x＋y＝4被直线l：

ax＋by＋c＝0所截得的弦

长为________．

解析：

由题意可知圆C：

x＋y＝4被直线l：

ax＋by＋c＝0所截得的弦长为24－

2，所以所求弦长为23.

a＋b

222

，由于a＋b

＝

答案：

例5已知⊙M：

x2＋（y－2）

2＋（y－2）

2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．

（1）若|AB|＝，求|MQ|及直线MQ的方程；

（2）求证：

直线AB恒过定点．

228

解：

（1）设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝12－

2－

＝

|MA|

又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.

|MP|

设Q（x,0），而点M（0,2），由x＋2＝3，得x＝±5，

则Q点的坐标为（5，0）或（－5，0）．

从而直线MQ的方程为2x＋5y－25＝0或2x－5y＋25＝0.

，

（2）证明：

设点Q（q,0），由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x（x－q）＋y（y－2）

＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点0，

例6过点（－1，－2）的直线l被圆x

2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．

解析：

将圆的方程化成标准方程为（x－1）

＋（y－1）

＝1，其圆心为（1,1），半径r＝1.由弦长为2得弦心距为

设直线方程为y＋2＝k（x＋1），即kx－y＋k－2＝0，则

答案：

1或

|2k－3|

k＋1

＝

217

，化简得7k－24k＋17＝0，得k＝1或k＝

例7圆x－2x＋y－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________．

解析：

圆心（1,0），d＝

答案：

|1－3|

1＋3

＝1.

例8圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为

____________________．

222（a＞0）解析：

设圆的方程为x＋y＝a

∴

|2|

＝a，∴a＝2，

1＋1

∴x

2＋y2＝2.

答案：

x＋y＝2

例9已知圆C经过A（5,1），B（1,3）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．

圆C的方程为x

2＋y2＋Dx＋F＝0，

则

26＋5D＋F＝0，

10＋D＋F＝0，

解得

D＝－4，

F＝－6.

圆C的方程为x＋y－4x－6＝0.

[答案]

（1）C

（2）x＋y－4x－6＝0

例10

（1）与曲线C：

2＋y2＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：

y＝2－x相切的半径最小的圆的半径是________．

_x0007_

（2）已知实数x，y满足（x－2）

2＋（y＋1）2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．

解析：

（1）依题意，曲线C表示的是以点C（－1，－1）为圆心，2为半径的圆，圆心C（－1，－1）到直线y＝2－x

即x＋y－2＝0的距离等于

|－1－1－2|

＝22，易知所求圆的半径等于

22＋2

＝

（2）令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截距的相反数，当直线2x－y＝b与圆相切时，b取得最值．由

|2×2＋1－b|

＝1.解得b＝5±5，所以2x－y的最大值为5＋5，最小值为5－5.

答案：

（1）

（2）5＋55－5

例11已知x，y满足x2＋y2＝1，则

2＋y2＝1，则

y－2

x－1

的最小值为________．

解析：

y－2

x－1

表示圆上的点P（x，y）与点Q（1,2）连线的斜率，所以

y－2

x－1

的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率．设

直线PQ的方程为y－2＝k（x－1）即kx－y＋2－k＝0.由

|2－k|3

＝1得k＝

，结合图形可知，

k2＋14

2＋14

y－2

x－1

≥

，故最小值

为

答案：

例12已知两点A（－2,0），B（0,2），点C是圆x

2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．

解析：

lAB：

x－y＋2＝0，圆心（1,0）到l的距离d＝

，

则AB边上的高的最小值为

－1.

故△ABC面积的最小值是

×22×

－1＝3－2.

答案：

3－2

例13平面直角坐标系xoy中，直线xy10截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6

（1）求圆O的方程；

（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；

（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，０）

和（n，０），问mn是否为定值？

若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

解：

⑴因为O点到直线xy10的距离为

，2

所以圆O的半径为

（）（）2

，

故圆O的方程为

xy2．

⑵设直线l的方程为1（a0,b0）

，即bxayab0，

由直线l与圆O相切，得

，即

111

，

1122222

DEab2（ab）（）≥8，

当且仅当ab2时取等号，此时直线l的方程为xy20．

⑶设M（x1,y1），P（x2,y2），则N（x1,y1），

x1y12，

x2y22，

直线MP与x轴交点

xyxy

1221

（,0）

，

xyxy

1221

，

直线NP与x轴交点

xyxy

1221

（,0）

，

xyxy

1221

，

22222222

xyxyxyxyxyxy（2y）y（2y）y

122112*********1

g2，

2222

yyyyyyyy

21212121

故mn为定值2．

例14圆x2+y2=8内一点P（－1，2），过点P的直线l的倾斜角为，直线l交圆于A、B两点.

（1）当=

时,求AB的长；

（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.

解:

（1）当=

时，kAB=－1，

直线AB的方程为y－2=－（x+1），即x＋y－1=0.

故圆心（0，0）到AB的距离d=

，

从而弦长|AB|=2

8=30.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=－2，y1+y2=4.

由

两式相减得（x1+x2）（x1－x2）+（y1+y2）（y1－y2）=0，

即－2（x1－x2）+4（y1－y2）=0，

∴kAB=

∴直线l的方程为y－2=

1（x＋1），即x－2y＋5=0.

例15已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:

x－y+10=0上.

（1）若动圆C过点（－5,0）,求圆C的方程;

（2）是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:

x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不

存在,请说明理由.

解:

（1）依题意,可设动圆C的方程为（x－a）2+（y－b）2=25,

其中圆心（a,b）满足a－b+10=0.

又∵动圆过点（－5,0）,∴（－5－a）2+（0－b）2=25.

_x0007_

解方程组

（

100

a）

（0）

可得

或

0b5

故所求圆C的方程为（x+10）2+y2=25或（x+5）2+（y－5）2=25.

（2）圆O的圆心（0,0）到直线l的距离d==52.

当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：

x2+y2=r2相外切的圆；

当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：

2+y2=r2相外切；

当r满足r+5=d,即r=52－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：

x2+y2=r2相外切.

题目

1．自点A（1,4）作圆

（x2）（y3）1的切线l，则切线l的方程为．

2．求与圆x5外切于点P（1,2），且半径为25的圆的方程.

3．若点P在直线l1：

x＋y＋3＝0上，过点P的直线l2与曲线C：

（x－5）2＋y2＝16相切于点M，则PM的最小

值．

4．设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP·OQ=0.

（1）求m的值；

（2）求直线PQ的方程.

5．已知圆C：

x2+y2－2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过

原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.

6.已知曲线C：

x2+y2－4ax＋2ay－20＋20a=0.

（1）证明：

不论a取何实数，曲线C必过定点；

（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；

（3）若曲线C与x轴相切，求a的值.

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