求数列通项公式的十种方法.docx
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求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)
总述:
一.利用递推关系式求数列通项的11种方法:
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法(逐差法)、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、
数学xx、
不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、
特征根法
二。
四种基本数列:
等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其xx形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:
累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
.
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
三.求数列通项的方法的基本思路是:
把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。
四.求数列通项的基本方法是:
累加法和累乘法。
五.数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1.适用于:
----------这是xx的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
2.若,
则
两边分别相加得
例1已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
由得则
a?
(a?
a)?
(a?
a)?
?
(a?
a)?
(a?
a)?
a1232n?
n11nnn?
1?
2?
[2(n?
1)?
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2?
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(2?
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n?
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1]?
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2[(n1)?
(?
2)n?
1)(n1?
n?
1)(?
2?
21n1)(?
1)?
?
(?
n2n?
所以数列的通项公式为。
已知数列满足,求数列的通项公式。
2例
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解解法一:
由得则所以解法二:
两边除以,得,则,故aaaaaaaaaa3?
n?
1?
n?
12n?
2nnnn121?
))?
(?
)?
(?
?
?
(?
)?
(?
22n?
31?
nnn2n?
33333333aa11?
n?
n212121213?
(?
)?
(?
)?
(?
)?
?
(?
)?
2?
2n?
1nn3333333332(n?
1)11111?
?
(?
?
?
?
?
)?
12n?
n2n?
1n333333因此,
则
评注:
已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。
例3.已知数列中,且,求数列的通项公式.
由已知得:
解.
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
化简有,由类型
(1)有,
又得,所以,又,,
则
此题也可以用数学xx来求解.
二、累乘法
1.○。
------------适用于:
----------这是xx的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2.若,则
两边分别相乘得,
例4已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
因为,所以,则,故
所以数列的通项公式为
例5.设是首项为1的正项数列,且(=1,2,3,…),则它的通项公式是=________.
解:
已知等式可化为:
()(n+1),即
时,
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
==.
评注:
本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出.
练习.已知,求数列{an}的通项公式.
答案:
-1.
评注:
本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
xx,则问题进一步转化为形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
1.形如,其中)型
(1)若c=1时,数列{}为等差数列;
(2)若d=0时,数列{}为等比数列;
(3)若时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法:
设,
与题设比较系数得,得.
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
所以所以有:
因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,
所以即:
.
规律:
将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式
逐项相减法(阶差法):
有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型
(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列中,,求数列的通项公式。
解法一:
?
a?
1?
2(a?
1)1nn?
又是首项为2,公比为2的等比数列
,即
解法二:
?
a?
2a?
1n1n?
两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……
练习.已知数列中,求通项。
答案:
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
2.形如:
(其中q是常数,且n0,1)
①若p=1时,即:
,累加即可.
②若时,即:
,
求通项方法有以下三种方向:
i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列
即:
令,则,然后类型1,累加求通项.
ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。
即:
令,则可化为.然后转化为类型5来解,
iii.待定系数法:
目的是把所求数列构造成等差数列
设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.
注意:
应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。
例7已知数列满足,求数列的通项公式。
解法一(待定系数法):
设,比较系数得,
则数列是首项为,公比为2的等比数列,
所以,即
两边同时除以得:
,下面解法略解法二(两边同除以):
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
解法三(两边同除以):
两边同时除以得:
,下面解法略
3.形如(其中k,b是常数,且)
方法1:
逐项相减法(阶差法)
方法2:
待定系数法
通过凑配可转化为;
解题基本步骤:
1、确定=kn+b
2、设等比数列,公比为p
3、列出关系式,即
4、比较系数求x,y
5、解得数列的通项公式
6、解得数列的通项公式
例8在数列中,求通项.(逐项相减法)
解:
,①
时,,
则,令.两式相减得.
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
利用类型5的方法知即②
再由累加法可得.亦可联立①②解出.
例9.在数列中,,求通项.(待定系数法)
解:
原递推式可化为
比较系数可得:
x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列,首项,公比为.即:
故.
4.形如(其中a,b,c是常数,且)
基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
例10已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
设
比较系数得,
所以
由,得
则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
5.形如时将作为求解
分析:
原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。
例11已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
设
比较系数得或,不妨取,(取-3结果形式可能不同,但本质相同)
3的等比数列则,则是首项为4,公比为,所以.,求数列中,若,且满足.练习.
答案:
)型其中p,r为常数四、迭代法(12已知数列满足,求数列的通项公式。
例解:
因为,所以1)?
(n(2n?
2)?
n1n?
n?
2?
12(n?
1)3n?
23?
3(n?
1)2?
?
23n?
n]?
aa?
[a?
a2?
nnn?
1?
2n1)n?
?
2)?
(3n?
2(n2n?
3(n?
2)?
21)?
3?
(n]?
[a3?
n1)?
(n?
?
(n?
2)n(3?
3)2?
n2)((n?
n?
1)3a?
3?
n?
1)n?
?
2)?
((n21?
?
?
1n?
(?
3)?
n2n?
?
?
(2)n332?
?
(?
?
n1)a?
1
1)?
n(n1n?
22?
3!
?
na?
1又,所以数列的通项公式为。
.
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
注:
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
五、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p>0,
例14.设正项数列满足,(n≥2).求数列的通项公式.
解:
两边取对数得:
,,设,则是以2为公比的等比数列,,,,
∴.数列中,,(n≥2),求数列的通项公式练习
答案:
例15已知数列满足,,求数列的通项公式。
解:
因为,所以。
两边取常用对数得设(同类型四)比较系数得,由,得,为公比的等比数列,则,因此5所以数列是以为首项,以.
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
则。
六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项
例16已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
求倒数得为等差数列,首项,公差为,
七、换元法适用于含根式的递推关系
例17已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
令,则
代入得
11122[1?
4(b?
(b?
1)?
1)?
b]n1n?
n242416即
因为,
则,即,
可化为,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得
。
.
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八、数学xx通过首项和递推关系式求出数列的前n项,猜出数列的通项公式,再用数学xx加以证明。
例18已知数列满足,求数列的通项公式。
解:
由及,得
8(1?
1)88?
224?
?
?
a?
a?
1222251?
3)99?
25?
(2?
11)(2?
488(2?
1)248?
3?
a?
a?
?
?
232249?
49252(2?
?
1)25(2?
2?
3)804488?
?
8(31)?
?
a?
?
a?
34228149?
1)?
(2?
3?
3)8149(2?
3由此可猜测,下面用数学xx证明这个结论。
(1)当时,,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,
8(k?
1)?
aa?
kk?
1223)k1)?
(2(2k?
22?
8(k?
1)?
1](2k?
3)?
[(2k1)?
223)?
(2(2k?
1)k2221)k3)?
?
(2(2k?
1)k(2?
?
223)(2k?
(2k?
1)213)?
?
(2k?
23)?
k(221?
1)1]?
[2(k?
?
21]?
k[2(?
1)由此可知,当时等式也成立。
根据
(1),
(2)可知,等式对任何都成立。
九、阶差法(逐项相减法).
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1、递推公式中既有,又有
分析:
把已知关系通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。
例19已知数列的各项均为正数,且前n项和满足,且成等比数列,求数列的通项公式。
解:
∵对任意有⑴
∴当n=1时,,解得或
当n≥2时,⑵
⑴-⑵整理得:
∵各项均为正数,∴
当时,,此时成立
当时,,此时不成立,故舍去
所以
练习。
已知数列中,且,求数列的通项公式.
答案:
2、对无穷递推数列
已知数列满足,求的通项公式。
20例
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解:
因为①
所以②
用②式-①式得
则故
所以③
由,,则,又知,则,代入③得。
所以,的通项公式为
十、不动点法目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法
不动点的定义:
函数的定义域为,若存在,使成立,则称为的不动点或称为函数的不动点。
分析:
由求出不动点,在递推公式两边同时减去,在变形求解。
类型一:
形如
例21已知数列中,,求数列的通项公式。
解:
递推关系是对应得递归函数为,由得,不动点为-1
∴,……
类型二:
形如
分析:
递归函数为
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
(1)若有两个相异的不动点p,q时,将递归关系式两边分别减去不动点p,q,再将两式相除得,其中,∴
(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点p,然后用1除,得,其中。
例22.设数列满足,求数列的通项公式.
分析:
此类问题常用参数法化等比数列求解.
解:
对等式两端同时加参数t,得:
令,解之得t=1,-2代入得
,
相除得,即{}是首项为,
公比为的等比数列,=,解得.
方法2:
,
两边取倒数得,
令b,则b,转化为累加法来求.
已知数列满足,求数列的通项公式。
23例
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解:
令,得,则是函数的两个不动点。
因为
。
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。
十一。
特征方程法形如是常数)的数列
形如是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项,其特征方程为…①
若①有二异根,则可令是待定常数)
若①有二重根,则可令是待定常数)
再利用可求得,进而求得
例24已知数列满足,求数列的通项
解:
其特征方程为,解得,令,
由,得,
例25、数列满足,且求数列的通项。
解:
……①
令,解得,将它们代回①得,
……②,……③,
③÷②,得.
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则,∴数列成等比数列,首项为1,公比q=2
所以,则,
十二、基本数列
1.形如型等差数列的xx形式,见累加法。
2.形如型等比数列的xx形式,见累乘法。
3.形如型
(1)若(d为常数),则数列{}为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论;
(2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过构造转化为型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得,,分奇偶项来分求通项.