江苏高考数学填空题压轴题精选.docx
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江苏高考数学填空题压轴题精选
江苏高考压轴题精选
1.如图为函数f（x）x（0x1）的图象，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y1分别
交于点P、Q，点N（0，1），若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为▲.
解：
y
Q
N
M
P
xO
2.已知⊙A：
221
xy，⊙B:
22
（x3）（y4）4，P是平面内一动点，过P作⊙A、⊙B的切线，
切点分别为D、E，若PEPD，则P到坐标原点距离的最小值为▲.
解：
设P（x，y），因为PEPD，所以
2PD2y2x2y2
2
PE，即（x3）（4）41，整理得：
3x4y110，这说明符合题意的点P在直线3x4y110上，所以点P（x，y）到坐标原点距
离的最小值即为坐标原点到直线3x4y110的距离，为
11
5
3.等差数列an各项均为正整数，a13，前n项和为Sn，等比数列bn中，b11，且b2S264，bn
是公比为64的等比数列．求an与bn；
解：
设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，
a3（n1）d，
n
n
bq
n
1
依题意有
bq
3nd
ad
n1q
3（n1）d
bq
a
n
6
642
①
Sb（6d）q64
22
由（6d）q64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，
解①得d2,q8故
n
a32（n1）2n1,b8
nn
1
4.在ABC中，ABACBC2
22
（1）求ABAC的值；
..
（2）求ABC面积的最大值．
22
解：
（1）因为|BC||ACAB|2，所以AC2ACABAB4，
又因为ABAC2，所以
22
ABAC8；
2c2
（2）设|AB|c，|AC|b，|BC|a，由
（1）知b8，a2，
又因为
cosA
2
b
2
c
2bc
2
a
8
2
2bc
2
bc
，
11
2
所以SABCbcsinAbc1cosA
22
=
1
2
2c
2
241b2
222
bcbc≤（）43
，
22
bc22
当且仅当abc时取“=，”所以ABC的面积最大值为3．
5.设等差数列an的公差为d，d0，数列bn是公比为q等比数列，且b1a10．
（1）若a3b3，a7b5，探究使得anbm成立时n与m的关系；
（2）若a2b2，求证：
当n2时，anbn.
m1
解：
记a1b1a，则nandbaq
a
（1）,，⋯⋯⋯⋯⋯1分
m
（1）由已知得
2
a2daq，
4
a6daq
，
消去d得
24
2a3aqaq，
4q2q
22
又因为a0，所以320
q，所以q1或2，⋯⋯⋯⋯⋯5分
2
若q1，则d0，舍去；⋯⋯⋯⋯⋯6分
a
2
若q2，则d，因此
2
m1
a
ab（
nan1）aq
m
2
n1
m1m1
1q
2
，
所以221
n（m是正奇数）时，
anb；⋯⋯⋯⋯⋯8分
m
baadd
22
（2）证明：
因为d0,a0，所以q11，⋯⋯⋯⋯分11
baaa
11
n2时，
n1n）
（1）
1
a1=a（qnd
nba（n）daq1
n
22
n）
（1）
=a（1q）（1qqqnd
a（1q）（n1）（n1）d=（n1）a（1q）d（n1）（a2b2）0
所以，当n2时，anbn.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分16
6.已知圆O：
221
xy，O为坐标原点．
（1）边长为2的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，
C点的轨迹为E．
（ⅰ）求轨迹E的方程；
（ⅱ）过轨迹E上一定点P（x0,y0）作相互垂直的两条直线l1,l2，并且使它们分别与圆O、轨迹E相
交，设l1被圆O截得的弦长为a，设l2被轨迹E截得的弦长为b，求ab的最大值．
（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．
y
C
D
1
B
A..1
O1x
1
解：
（1）（ⅰ）连结OB，OA，因为OA=OB=1，AB=2，所以
2OB2AB2
OA，
所以
OBA，所以
4
3
2OBBCOBBC
22
OBC，在OBC中，OC25，
4
所以轨迹E是以O为圆心，5为半径的圆，
2y
2
所以轨迹E的方程为x5；
（ⅱ）设点O到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，
因为l1l2，所以
22222
d1d2OPx0y05，
22
则
ab21d125d，
2
2dddd
2222
则（ab）46（）2
（1）（5）
1212
≤4
6
22
6dd
22
12
（dd）2=
12
2
22
4[122（dd）]
12
y
C
=4（1210）8，
当且仅当
22
dd5,
12
22
1d5d,
12
，即
2
d
2
2
d
1
9
2
1
2
时取“=，”
B
1
A
D
1
O1x
所以ab的最大值为22；
（2）设正方形边长为a，OBA，则cos
a
2
，0,
2
．
1
当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在OBC中，
212cos2
aaOC，
2
即
OC
2
（2cos）122cossin
2
4cos12sin2
2cos22sin2322sin23
4
，
由2,
444
，此时OC（1,21]；
1
y
当A、B、C、D按逆时针方向时，在OBC中，
B
C
212cos2
aaOC，
2
1
O1
x
即
OC
2
（2cos）122cossin
2
4cos12sin2
D
A
2cos22sin2322sin23
4
，
1
由2,
444
，此时OC[21,5），
..
综上所述，线段OC长度的最小值为21，最大值为21．
7.已知函数f（x）x1alnx（aR）.
（1）若曲线yf（x）在x1处的切线的方程为3xy30，求实数a的值；
（2）求证：
f（x）0恒成立的充要条件是a1；
11
（3）若a0，且对任意x1,x20,1，都有12
|f（x）f（x）|4||
xx
12
，求实数a的取值范围.
..
g（0）40
2ax2ax
另解：
x40在x0,1上恒成立，设g（x）x4，只需g
（1）1a40a3,0
a0
.
8.已知函数
2
f（x）mx3,g（x）x2xm.
（1）求证：
函数f（x）g（x）必有零点；
（2）设函数G（x）f（x）g（x）1
（ⅰ）若|G（x）|在1,0上是减函数，求实数m的取值范围；
（ⅱ）是否存在整数a,b，使得aG（x）b的解集恰好是a,b，若存在，求出a,b的值；若不存
在，说明理由.
..
..
9.已知函数（x）
x
a
，a为正常数.
1
（1）若f（x）lnx（x），且
9
a，求函数f（x）的单调增区间；
2
（2）若g（x）|lnx|（x），且对任意x1,x2（0,2]，x1x2，都有
g（x）g（x）
21
xx
21
1
，求a的的取值
范围.
解：
（1）
f'（x）
2
1ax（2a）x1
22
x（x1）x（x1）
，
∵
9
a，令f'（x）0，得x2，或
2
1
x，
2
∴函数f（x）的单调增区间为
1
（0,）
2
，（2,）.
（2）∵
g（x）g（x）
21
xx
21
1
，∴
g（x）g（x）
21
xx
21
10
，
∴
g（x）x[g（x）x]
2211
xx
21
0，设h（x）g（x）x，依题意，h（x）在0,2上是减函数.
a
当1x2时，h（x）lnxx
x1
1a
，2，
h'（x）1
x（x1）
令h'（x）0，得：
2
（x1）1
22
a（x1）x3x3
xx
对x[1,2]恒成立，
设
21
m（x）x3x3
，则
x
m'（x）2x3
1
2
x
，∵1x2，∴
1
m'（x）2x30
2
x
，
∴m（x）在[1,2]上是增函数，则当x2时，m（x）有最大值为27
2
，∴
27
a.
2
a
当0x1时，（）ln
hxxx
x1
1a
h'（x）1
，2
x（x1）
，
令h'（x）0，得：
2
（x1）1
22
a（x1）xx1
，
xx
..
设
21
t（x）xx1
x
，则
1
t'（x）2x10
2
x
，
∴t（x）在（0,1）上是增函数，∴t（x）t
（1）0，
∴a0，综上所述，27
a
2
10.
（1）设0ba1，若对于x的不等式
2ax2
xb的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范
围是▲.
（2）若关于x的不等式
22
2x1ax的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是
▲.
解：
（1）1,3
（2）
25
9
49
16
11.已知an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列,其中a12,b11,a2b2,2a4b3，且存在常
数α、β，使得an=logbn对每一个正整数n都成立,则=▲.
..
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