人教版八年级数学上册第一章教案.docx
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人教版八年级数学上册第一章教案
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第十一章:
全等三角形
第1课时:
全等三角形
教学目标
1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素;
2.知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等;
3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.
教学重点
全等三角形的性质.
教学难点
找全等三角形的对应边、对应角.
教学过程
一.提出问题,创设情境
1、问题:
你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗?
这两个三角形是完全重合的.
2.学生自己动手(同桌两名同学配合)
取一张纸,将自己事先准备好的三角板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,纸样与三角板形状、大小完全一样.
3.获取概念
让学生用自己的语言叙述:
全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边,以及有关的数学符号.
形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.
要是把两个图形放在一起,能够完全重合,就可以说明这两个图形的形状、大小相同.
概括全等形的准确定义:
能够完全重合的两个图形叫做全等形.请同学们类推得出全等三角形的概念,并理解对应顶点、对应角、对应边的含义.仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求.
二.导入新课
将△ABC沿直线BC平移得△DEF;将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC;将△ABC旋转180°得△AED.
议一议:
各图中的两个三角形全等吗?
不难得出:
△ABC≌△DEF,△ABC≌△DBC,△ABC≌△AED.
(注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上)
启示:
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.
观察与思考:
寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?
对应角呢?
(引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系)
得到全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.
[例1]如图,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,说出这两个三角形中相等的边和角.
问题:
△OCA≌△OBD,说明这两个三角形可以重合,思考通过怎样变换可以使两三角形重合?
将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合.因为C和B、A和D是对应顶点,所以C和B重合,A和D重合.
∠C=∠B;∠A=∠D;∠AOC=∠DOB.AC=DB;OA=OD;OC=OB.
总结:
两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法.
[例2]如图,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.
分析:
对应边和对应角只能从两个三角形中找,所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来.
根据位置元素来找:
有相等元素,它们就是对应元素,然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素.常用方法有:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边也是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的角是对应角.
解:
对应角为∠BAE和∠CAD.
对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD.
[例3]已知如图△ABC≌△ADE,试找出对应边、对应角.(由学生讨论完成)
借鉴例2的方法,可以发现∠A=∠A,在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE,所以BC和DE是一组对应边.而AB与AE显然不重合,所以AB与AD是一组对应边,剩下的AC与AE自然是一组对应边了.再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角,∠ACB与∠AED是对应角.所以说对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE.对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED.
做法二:
沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC翻折180°后,它正好和△ADE重合.这时就可找到对应边为:
AB与AD、AC与AE、BC与DE.对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED.
三.课堂练习
课本练习1.
四.课时小结
通过本节课学习,我们了解了全等的概念,发现了全等三角形的性质,并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是这节课大家要重点掌握的.
五.作业
课本习题1第2、3题
教学反思:
第2课时:
三角形全等的条件
(一)
教学目标
1.三角形全等的“边边边”的条件.2.了解三角形的稳定性.
3.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
教学重点
三角形全等的条件.
教学难点
寻求三角形全等的条件.
教学过程
一.创设情境,引入新课
出示投影片,回忆前面研究过的全等三角形.
已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角.
图中相等的边是:
AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C.
相等的角是:
∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′.
展示课作前准备的三角形纸片,提出问题:
你能画一个三角形与它全等吗?
怎样画?
现在我们就来探究这个问题.
二.导入新课
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形一定全等吗?
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?
分别按下列条件做一做.
①三角形一内角为30°,一条边为3cm.
②三角形两内角分别为30°和50°.
③三角形两条边分别为4cm、6cm.
学生分组讨论、探索、归纳,最后以组为单位出示结果作补充交流.
结果展示:
1.只给定一条边时:
只给定一个角时:
2.给出的两个条件可能是:
一边一内角、两内角、两边.
可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.
给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗?
归纳:
有四种可能.即:
三内角、三条边、两边一内角、两内有一边.
在刚才的探索过程中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗?
把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?
1.作图方法:
先画一线段AB,使得AB=6cm,再分别以A、B为圆心,8cm、10cm为半径画弧,两弧交点记作C,连结线段AC、BC,就可以得到三角形ABC,使得它们的边长分别为AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm.
2.以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现都能够重合.这说明这些三角形都是全等的.
3.特殊的三角形有这样的规律,要是任意画一个三角形ABC,根据前面作法,同样可以作出一个三角形A′B′C′,使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′.将△A′B′C′剪下,发现两三角形重合.这反映了一个规律:
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.请看例题.
[例]如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.
求证:
△ABD≌△ACD.
[分析]要证△ABD≌△ACD,可以看这两个三角形的三条边是否对应相等.
证明:
因为D是BC的中点
所以BD=DC
在△ABD和△ACD中
所以△ABD≌△ACD(SSS).
生活实践的有关知识:
用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,而用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.
三.随堂练习
如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?
怎样才能得到这个条件?
2.课本练习.
四.课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件,发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.
五.作业
1.复习巩固1、2.课后作业:
《新课堂》
教学反思:
第3课时:
三角形全等的条件
(二)
教学目标
1.三角形全等的“边角边”的条件.
2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
3.掌握三角形全等的“SAS”条件,了解三角形的稳定性.
4.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
教学重点
三角形全等的条件.
教学难点
寻求三角形全等的条件.
教学过程
一、创设情境,复习提问
1.怎样的两个三角形是全等三角形?
2.全等三角形的性质?
3.指出图中各对全等三角形的对应边和对应角,并说明通过怎样的变换能使它们完全重合:
图
(1)中:
△ABD≌△ACE,AB与AC是对应边;
图
(2)中:
△ABC≌△AED,AD与AC是对应边.
4.三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么?
二、导入新课
1.三角形全等的判定
(二)
(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质.那么,怎样才能判定两个三角形全等呢?
也就是说,具备什么条件的两个三角形能全等?
是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”?
现在我们用图形变换的方法研究下面的问题:
如图2,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完全重合呢?
不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的:
AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO.
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合;又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.
由此,我们得到启发:
判定两个三角形全等,不需要三条边对应相等和三个角对应相等.而且,从上面的例子可以引起我们猜想:
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.
2.上述猜想是否正确呢?
不妨按上述条件画图并作如下的实验:
(1)读句画图:
①画∠DAE=45°,②在AD、AE上分别取B、C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.③连结BC,得△ABC.④按上述画法再画一个△A'B'C'.
(2)把△A'B'C'剪下来放到△ABC上,观察△A'B'C'与△ABC是否能够完全重合?
3.边角边公理.
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
三、例题与练习
1.填空:
(1)如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是___________;还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?
).
(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件:
_________________________(这个条件可以证得吗?
).
2、例1已知:
AD∥BC,AD=CB(图3).
求证:
△ADC≌△CBA.
问题:
如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5),那么要证明△ADF≌△CEB,除了AD∥BC、AD=CB的条件外,还需要一个什么条件(AF=CE或AE=CF)?
怎样证明呢?
例2已知:
AB=AC、AD=AE、∠1=∠2(图4).求证:
△ABD≌△ACE.
四、小结:
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理.
五、作业:
1.已知:
如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点.求证:
△ABE≌△ACF.
2.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.
求证:
△ABE≌△CDF.
教学反思:
第4课时:
三角形全等的条件(三)
教学目标
1.三角形全等的条件:
角边角、角角边.
2.三角形全等条件小结.
3.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.
4.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
教学重点
已知两角一边的三角形全等探究.
教学难点
灵活运用三角形全等条件证明.
教学过程
一.提出问题,创设情境
1.复习:
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
三种:
①定义;②SSS;③SAS.
2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
二.导入新课
问题1:
三角形中已知两角一边有几种可能?
1.两角和它们的夹边.
2.两角和其中一角的对边.
问题2:
三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?
将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?
将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.
提炼规律:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
问题3:
我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢?
①先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB的边长.
②画线段A′B′,使A′B′=AB.
③分别以A′、B′为顶点,A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A,使∠D′AB=∠CAB,∠EB′A′=∠CBA.
④射线A′D与B′E交于一点,记为C′
即可得到△A′B′C′.将△A′B′C′与△ABC重叠,发现两三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
思考:
在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?
探究问题4:
如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?
能利用角边角条件证明你的结论吗?
证明:
∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D,∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(ASA).
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
[例]如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:
AD=AE.
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中,所以要证AD=AE,只需证明△ADC≌△AEB即可.
证明:
在△ADC和△AEB中
所以△ADC≌△AEB(ASA)
所以AD=AE.
三.随堂练习
(一)课本练习1、2.
四.课时小结
至此,我们有五种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.判定定理:
边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)
五.作业
1.课本习题5、6、题.
教学反思:
第5课时:
三角形全等的条件(四)---直角三角形全等的判定
教学目标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程;
2、掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题。
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学难点
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
教学过程
一.提出问题,复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法:
2、如图,Rt△ABC中,直角边是,
斜边是
二.导入新课
(一)探索练习:
(动手操作):
已知线段a,c(aAB=c,CB=a
1、按步骤作图:
ac
作∠MCN=∠=90°,
在射线CM上截取线段CB=a,
③以B为圆心,C为半径画弧,交射线CN于点A,
④连结AB
2、与同桌重叠比较,是否重合?
3、从中你发现了什么?
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等.(HL)
(二)巩固练习:
如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,
则△ADB与△ADC(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,
(1)若ACDB,且AC=DB,则△ACE≌△BDF,根据
(2)若ACDB,且AE=BF,则△ACE≌△BDF,根据
(3)若AE=BF,且CE=DF,则△ACE≌△BDF,根据
(4)若AC=BD,AE=BF,CE=DF。
则△ACE≌△BDF,根据
(5)若AC=BD,CE=DF(或AE=BF),则△ACE≌△BDF,根据
3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有()
两条直角边对应相等(B)斜边和一锐角对应相等
(C)斜边和一条直角边对应相等(D)两个锐角对应相等
4、如图,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E,
AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗?
说说你的理由
答:
理由:
∵AF⊥BC,DE⊥BC(已知)
∴∠AFB=∠DEC=°(垂直的定义)
在Rt△和Rt△中
∴≌()
∴∠=∠()
∴(内错角相等,两直线平行)
5、如图,广场上有两根旗杆,已知太阳光线AB与DE是平行的,经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的,那么这两根旗杆高度相等吗?
说说你的理由。
三、提高练习:
1、判断题:
(1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
()
(2)一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等()
(3)一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等()
(4)两直角边对应相等的两个直角三角形全等()
(5)两边对应相等的两个直角三角形全等()
(6)两锐角对应相等的两个直角三角形全等()
(7)一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等()
(8)一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等()
四、课时小结
至此,我们有六种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.边边边(SSS)
3.边角边(SAS)
4.角边角(ASA)
5.角角边(AAS)
6.HL(仅用在直角三角形中)
五、作业1.课本习题课后作业:
教学反思:
第6课时:
角的平分线的性质
(一)
教学目标
1、应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理.
2.会用尺规作一个已知角的平分线.
教学重点
利用尺规作已知角的平分线.
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼.
教学过程
一.提出问题,创设情境
问题1:
三角形中有哪些重要线段.
问题2:
你能作出这些线段吗?
二.导入新课
在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题:
在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON,MC⊥OA,NC⊥OB.MC与NC交于C点.
求证:
∠MOC=∠NOC.
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC,即可证明∠MOC=∠NOC,所以射线OC就是∠AOB的平分线.
受这个题的启示,我们能不能这样做:
在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON,再分别过M、N作MC⊥OA,NC⊥OB,MC与NC交于C点,连接OC,那么OC就是∠AOB的平分线了.
思考:
这个方案可行吗?
(学生思考、讨论后,统一思想,认为可行)
议一议:
下图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB.
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形全等就可以了.
看看条件够不够.
所以△ABC≌△ADC(SSS).
所以∠CAD=∠CAB.
即射线AC就是∠DAB的平分线.
作已知角的平分线的方法:
已知:
∠AOB.
求作:
∠AOB的平分线.
作法:
(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.
(2)分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.
(3)作射线OC,射线OC即为所求.
练一练:
任意画一角∠AOB,作它的平分线.
探索活动
按以下步骤折纸
1.在准备好的三角形的每个顶点上标好字母;A、B、C。
把角A对折,使得这个角的两边重合。
2、在折痕(即平分线)上任意找一点C,
过点C折OA边的垂线,得到新的折痕CD,其中,点D是折痕与OA的交点,即垂足。
4、将纸打开,新的折痕与OB边交点为E。
角平分线的性质:
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
下面用我们学过的知识证明发现:
如图,已知AO平分∠BAC,OE⊥AB,OD⊥AC。
求证:
OE=OD。
三.随堂练习
课本练习.
四.课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,并进一步探究到角平分线的性质.
五.课后作业课本习题
教学反思
第7课时:
角的平分线的性质
(二)
教学目标
1、角的平分线的性质
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”.
3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.
教学重点
角平分线的性质及其应用.
教学难点
灵活应用两个性质解决问题.
教学过程
一.创设情境,引入新课
拿出课前准备好的折纸与剪刀,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?
把对折的纸片再任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么?
二.导入新课
角平分线的性质即已知角的平分线,能推出什么样的结论.
折出如图所示的折痕PD、PE.
画一画:
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕,并度量所画PD、PE是否等长?
投影出下面两个图形,让学生评一评,以达明确概念的目的.
结论:
同学乙的画法是正确的.同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线,而不是过角平分线上一点作两边的垂线段,所以他的画法不符合要求.
问题1:
如何用文字语言叙述所画图形的性质吗?
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题2:
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”
已知事项:
OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足.
由已知事项推出的事项:
PD=PE.
于是我们得角的平分线的性质:
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?
(出示投影)
问题3:
根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件,所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠PDE=∠POD.
由已知推出的事项:
点P在∠AOB的平分线上.
由此我们又可以得到一个性质:
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这两个性质有什么联系吗?
分析:
这两个性质已知条件和所推