立体几何中的截面问题.docx

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立体几何中的截面问题

一、截面的定义及作法

用一个平面去截几何体，此平而与几何体的交集，叫做这个几何体的截面・此平面与几何体表而的交集（交线）叫做武线.此平而与几何体的枝的交集（交点）叫做截点.

1.方法（交线法）・该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面・

2.作战线LJ微点的主耍根据有：

（1）确定平面的条件.

（2）如果两个不車合的半面有一个公共点，那么它们相交F过此点的一条直线.

（3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线匕所有的点都在这个平面内.

（4）如果一条直线IHTf-一个平面・经过这条直线的平面与这个¥而相交，那么这条直线就和交线平行.

（5）如果两个平Ifti平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行.

类型1：

截面经过的三个已知点分别在多面体的棱上，且其中有两点在同一个面的棱上.

例1：

如图，正方体ABCD-AiBGU中，EFG分别在AB.BC.DR上,求作过E.F.G三点的載面.

作法：

（1）在底面46•内，过E、尸作直线刃•分别与必、兀的延长线交于厶6

例2：

AQ、彳三点分别在直四棱柱川勺的棱码Z

作法：

⑴连接"、倚并延长，分别交阪CD的延长线于EF.⑵连接疔交M于T,交AD于S・F

（3）连接胳、TP.则多边形PgT即为所求截面・

例3：

己知AQ斤分别是四棱柱ABCl>-A1B1C1D1的棱Gh%和AAi上的点，且QR与〃不平行，求作过这三点的截面。

作法：

（1）连接"并延长交场延长线于点人

（2）在平面ABCD内连接刃交初于点

（3）

连接莎RM.则四边形/W即为所求•

例4：

如图’五棱锥P-肋宓中，三条侧棱上各有一己知点F、G、Ht求作过只G、〃的截面.

作法：

（1）将侧面加、PBC.磁伸展得到三棱锥？

-AS7.

（2）在侧面丹S内，连结并延长处，交PS于K

（3）在侧面丹7•内，连结并延长讯交刃于厶

（4）在侧面内，连结应分别交刃、PE干M、N.

（5）连结亦MH.则五边形尸6诙即为所求的截面类型2：

截面经过的三个已知点至少有一点在多面体的面上.其余点在棱上

作法：

（1）过从尸作辅助面，在面廊i内，这F餐FFJBBf交坷q于点尸1，则面AfFiAI为所作的辅助面.

（2）在面AfF内，延长尸Ml交磁的延长线于P.

（3）在面AlBiCiDI内，连接丹交勺坷于"•并延长交巧勺于"

（4）连结匹并延长与场延长线交于Q连接QF交AD于H.

（5）连结购FN.则五边形翻W为所求的截面•

例6：

己知直四棱柱ACV尸在面DXDCCX内，0在面坷磁1内，R在梭BBl上,

画出过只Q、斤三点的載面。

作法：

⑴过尸作彤丄切于点P,过0作00丄"于6

（2）在底面曲⑦内连接〃、BQt并交于乩

（3）由平行线QQ、肪作平面QQBR.连接QR.

（4）在平面QQBR内过H作KHlMABCD交QR于K。

⑸由平行线PP,AAl作平面PPAAv则斤必落在面PPAAl内

（6）在面彤曲1内，连接％并延长交A4］于必

（7）在面AIADDI内，连接妁，并延长交勿I于S。

（8）在面D1DCC1内，连接必，并延长交①于咒

（9）连接Λ7∖RM.则多边形5W即为所求。

类型3：

載面经过的三个己知点中，有两个点在同一棱上，第三点在多面体内例7：

试作出过正三棱柱ABC-AIBICl的底边血及两底中心连线OOi中点的截面。

作法：

（1）过力*和加I作平面AooIAV交BC于D,交B∖C∖于Dy则〃、Z⅛分别为8G坷勺的中点。

（2）在平面勺弘内，作直线皿交上底面于点G。

（3）在平面AXBXCX内，过G作EF∕∕B1C1交AlBl于E,

交401于几

（4）

连接宓CF.则多边形妙E■为所求.

例8：

在侧棱和高的夹角为α的正四棱锥中，求作一个过底面顶点且与这点所对侧棱垂直的截面（α<45∙）.

作法：

（1）在平面以6•中，作朋丄SC于点E・

⑵在底面ABCD内过"作a//BD.

（3）延长阪少分别交&于点弘N∙

（4）连接弘EN,分别交莎弘于点G、H。

（5）连接SG、AH.则多边形川蜩即为所求。

作法：

（1）先过R、P两点作辅助平面。

过点*作RxR//BBi交仇Bl于Rr则面CRRiCX为所

解：

连接啟并延长交2D的延长线VM1.同样•求出PQirV-面ZIBCD的交点M?

•连接

类型4：

截面经过的三个己知点两两不在同一面内的棱上∙例9/AQ、彳三点分别在直四棱柱ACI的棱CCVAiDγ和AB匕试画出过AQ、R三点的截面

M1ΛΛ得到截线宓•连接得到所求截IinPOKHR

若Λ∕1Λ∕2不与底⅛ABCD的内部相交，而是交丁•它的延展面上.则可延长De交Λ∕1Λ∕2P

Mr连接M3R得到截线RT.连接©则得到所求SJcrftiPpTT?

M11：

如图.EF分别.BB1h∙G在V面DC内.作过Ejξ.G的⅛⅛⅛iq

解：

任得到AAN两点后•只能先作出半而DICh的截线朋

容易从图2看出英余步骤•从而得到所求EFLKH我们把已知三点中有两个点分别在正方体的两个共浙的棱上的作截面题叫做基本题塑.有明显的规律性

例12：

EFG分别在两两异面的三条棱上,画出过E

解：

作GP丄DC.连接JlG和AP•连接GE并延长交PZI的延长线ΓA/.连接MF交AB

与H.连接£7八任平面ABCD内作GK//EH交CClTK.连接肪

任平面ADX内作ER//KF交JIZ）ITR.连接RG•

则所求截面为八边形EHFKGA

W】通过GP丄DC得到一个辅助平血^GPA■

它把正方体分割出一个直四棱^APCB-^GCiBr

M图这就回到基本题空，主要是构建辅助平面使所给的三点中的两点分别任字的共而的两条棱上

而E.G两点分别在这个直四棱柱共面的两条棱L

【注】如果G在Ψ⅛1∖41C1内时.⅛λ⅛C1内作GFIIBg辅助∖POCB分割出直四棱柱gPB-DDQC,又回到⅛⅛本題型・任求得A/.N两点后，易得她ERFKH

若E在棱•厶Il匕77∙G分別在不经过棱丄古的两个而（共棱的两个面或相对的两个面）内•

则作截面的步骤.仍是先作一个适当的辅助平面，归结为基本题型

若£住棱JJIh>F.G分别在不经过棱丘％的两个面（共棱的两个面或相对的两个面）内•

左图中的辅助VIhl为.4iQPA•相应的直棱柱为AiQBlPB右图中的辅助平面为40RJ•相应的直棱柱为^QCXB-ARCB

E.F.G［点分别任止方体的•:

个面内.三个面分共顶点的和不共顶点两种情况

解：

如图.先作辅助平面RQPT.

得到直五棱柱AlRQCQ-ATPCD,

连接EF并延长交P0的延长线亍Af,

按基本題熨方法作出截IftiATyLS例14：

EF分别任正方体的棱BS1XC1I:

-GtfiE方体的内部•求过EFG的截而

解：

过G作GH丄r∣f∏∖4C.并延长交平IfIl4QTK.作辅助平IftiBiPoB・连接EG并延长交P0ΓR.AT

连接EF,在平面4D］内过R作TS〃£F,

连接花和FS,则所求截面为7ΣFS

例15：

EG分别任正方体ABCD-.4XBXCXDX的内部和外部，F住棱h,

TN∕/HG.连接疋F∙则所求战面为四边形FZlTN

求过EFG三点的正方体的碱血

【总结】：

①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。

2若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点.

3若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。

4若两平行平面中一个平面与截面有交线，另一个面上只有一个己知点，则按平行平面与第三平面相交，那么它们的交线互相平行的性质，可得截面与平面的交线。

5若有一点在面上而不在棱上，则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若己知点在体内，则可通过辅助平面使它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决。

二、截面的面积问题

例16：

圆锥的母线长为/,轴截面为的顶角/求过此惻锥的母线的截面而积解：

设CD是过関锥母线的异F轴截而的任总截而，其顶角ZCVD=a,轴截面VAB的而积S=丄/2SinO,截面VCD的面积S,=-/2SilIa

在△匕LB和中，CD

此时过圆锥母线的截面面积最大为轴哉面面积STTw

（1）当O<03壬时.OVaV0S吕，SinaVSin&nS'vS,

（2）当^<θ<π时.OVaV&v;r,此时sin0

此时过圆锥母线的SViftiifti积最大值为S=；卩

综卜.所述.过閲锥母线的截而而积的最人值与轴截而顶角&的范圉有关

Jr1

⅛0<6>≤-时.轴IfriIfti积最最大值为S=-/2sin（9

<Θ<π时，过関锥母线的4S⅛iIfti积最人值为S=I/2

可

例17：

设圆台髙为下底面圆的半径为R・轴强面等腰梯形的底角为&求过此圆台的母线的Iffiffiirfii积的最大值解：

如图，延长母线ZUI与BBl相交T点卩.JP=RtanO,VOl=R∖mθ-h.

OIBl=（Rtailθ-h）.coxθ≈R-hCOtθ

设过圆台的母线的任一截⅛i位CDDG（异于轴截佃），ZevD=a・则a<π-lθ

在和中.a<π-lθ

'Rh

2sin2

SinG住（0•兀）可取得最大值1.此时Itrirtri积的最人值为一

SIn28

（2）半兰S&<兰时.OVa

4——

故S'vsii】2&（）=2Rh-IrCOt&=S,即SyS

Sin2θ2siιrθ

综上，过岡台母线所有截面中，英而枳的最人值与轴截面等腰梯形的底角&有关当0<0<兰时，戏面面积的最人值为二2―胃厂

4sin2&2SinP

⅛-≤^<-时，轴截面面积鍛大，最大值是IRh-Irqo∖Θ

例18：

三棱锥A-BCD中，^iEFGH与对棱AC.BD都'卜行，且与AB.BC.CD.DA交干E、FGH・则E.F.G.Hti-何处时，裁面EFGHrfii积最大

Vt-:

由AC//TIWEFGH,HAC的'MιiABC交TtfiiEFGHfEF,EF//AC

同理HG〃AC,所以EF//HG.同理可证EH〃FG,故EFGH是平行四边形

记ZFEH=O,由EF∕∕AC.EH//BD可知异血直线与BD所成角为0或；τ一&

4FRF

由于三棱锥A-BCD是给定的.则&是定（ft.£—=.v.-=v,则x+v=l

ABAB

EFBE

EF〃ACn∖BEFS'BACa一=一=X^EF=VAC

ACAB

EH〃BDMAEHs,BDn里=兰KnEH=XAB,故

BDAB

SEFGH=EF.EH.sin0=（AB.AC.sm∂）.x^≤（ABAC.sin^）2=丄AB.AC.shiθ

即近E.F∙G∙H分别为中点时∙^EFGH[tfi积最大

且最人而枳为^AB.AC.sinΘ（AC峙BD所成他为8或

例D如图•正IM体加3中，P是线段加的三等分点，P

Q是线段AD上靠近D的三等分点.R是线段CD的中点,作截面PQR•交线段BCYS＞试确定S的具体位斤

B解：

设AB=b.AC=λAD=J・则Pρ=⅛+^ρ=-⅛+4

、

■—I■∙∙≡≡≡^≡HH≡∙IWI∙Y_.I■■I—•

QR^QD^DR^QD^-（AC-AD）^-（I^-'

—「一—-

由截面PQR交线段BC于S,则PS,pρ.QR共面，

『足存任唯一的实数Λ∕∕∙使得PS=入PQrlQR■

^BS=XBC.则PS=PB+BS=^b+x（c-b）=（^-x）b+xc

所以S是线段BC上的任近点C的五等分点.

【引理】：

若梯形的上下底边长分别是eb,它的平行于底的戏线与上下底的距离之比为也，

）1且截线长为/,则∕=m+M

m+n

证明：

在梯形ABCDAD//BC>若AD=a.BC=b∙EF//BC且

分别交摄3于仔FN丄B"N∙交Q的延长线于M,且爵过F作GH//AB分别交BC及AD的延长线FH.G∙则EF=BH=AG.且厶DGFSMFH

MFI-aInIInb÷na

n=—zx>/=

FNb-1HJn+n

例20：

如图•设棱台的上下底而面积分别为S∙S∙.f-fτΓ∙底佝的Mi^BQCQDQEQ分尚HH'

的比鴛；=出・截面面枳为S。

，求证：

y[SQHQH'fi

〃/√⅛+〃心

In+H

证明：

过/作丄ZfBTN.与也场交F"

•4M二HHQjHAW=HOHl=~

十严四空竺話=座仝

tιJn+〃In+Ii

In+Jl

M21若台体的側而枳被平行底面的tffWl-lI:

而卜•分成山：

〃•则战面面积So=

B'C

InS卜+“S；

〃/+H

证明：

以正棱台为例∙Sl,w=

'0-S∣∙C一S卜-Sq

∙QFM

CoSaCOSa

=S比_S°_S上一〃=F厂〃/S卜+〃s”

ShMSF-SOnJn+fi

若台体的体积被平行底面的截面自上而下分成川：

〃

则截⅛irfri枳SO满足S（J

〃

3・2

I/S

））1+U

例22：

过正方体ABCD-AXBXCIDI的对角线Bq的哉rfMi积为S,九和5M分别为S的最大值和最小值.求芒的值解：

没〃、丁分别为站、QG的中点.易证截面別久V是边长为百的菱形（正方体枝长设为

”•其面积"孕而Oi町是矩形•其而积.M∙则芒卑

例23.如图，己知球0是棱长为1的正方体ABCD-J15ιGΛ的内切球,

则平⅛i球O的栽而面积为•解：

Yrtivcq是边长为血的正三角形.且球与以点D为公共点』'三个Ifti的切点恰为厶4Cq三边的中点.

故所求哉面的面积足该IF三角形的内切例的而积•则由图得.内切圆的半径是

—ran30°=—•则所求的裁而恻的Ifri积是^.（―）2=-

2666

三、戏而的英他问題

例—个止方体内接十一个球•过这个球的球心作一平也i∙则哉IHi图形不可能是（）

•••

解：

考虔確球心的半面在转琥过中，¥面在球的丙接匸方体卜•截得的fi⅛不可能是犬洌的内接正方形，故选D。

例H：

两个firΓ∙底面的哉面将棱锥的侧⅛i积三等分.则这两个截Ini将棱锥的髙分成三段之比（自上而下）为多少

⅛=√⅛?

解：

设自上而下分成的三段分别为hf则（T^rF=In

■∕⅞+Ii22

例26：

在棱长为1的正方体内.有两球外切•并且乂分别与正方体内切当球的半径为多少时.两球的体积之和最小？

解：

球体与正方体内切从正方体的对角面就取•如图

-4JICIC为过球心的对角［fti∙∙L⅛=1..-11C1=√2.JC1=√3.

设两球半径分别为Ry.则有=√3γ.C1O2=GR・所以Rι∙+yβ（R+门=土nRι∙=二^

设两球的体枳Z和为F=-^（Λl+r5）=-÷r）［（∕?

+r）2

33一

4日卩心^^+（四］

M）0」

3—*‰∕3

V-出时，卩有最小值

FJ2∕?

例27：

在长方体有一个公共顶点P的三条棱上分别备取异于P的点A.B.C,得到一个誠

iftiΔz（BC＞求证：

∆JBC为锐角三角形

解：

如图∙4P丄TΛ∖BPCTP.故厶4CP是月C与TtfriBPC所成的角

痕据最小也定理∙ΔACB>ZACP>同理ZB4C>ZC4P5所以ZJCB+ZBAC>ZJCP+ZCJP=90onZABC<90°

同理可证ZBCA.ZCAB都足锐角.故^ABC为锐角三角形

2S：

（2007全国联处）己知正方体ABCD-^BlCxD.的棱长为1・以顶点/1为球心■

专为半径作一个球，求球血与正方体的表面相交所得到的曲线的长

解：

・4E=丝JD=InzDZiE=三，同理^AF=-=>ZEAF=-

3666

▲

在'F⅛i.4iBlCxDi上，交线为FG,因为半径为斗•・

ZK⅛G=-•所VXFG的长为哲.兰

2326

这样的弧也有3条，故所得曲线长为3x^+3x訂=芈

例29：

己知球的半径为2・相互垂山的两个平面分别战球血得两个圆.若两圆的公共弦长

为2,则两圆的侧心距等于（）

A・1B.y[iC・√JD・2

解析：

0]与0；的公共弦为AB,球心为O,AB中点为C,IM四边形OIOOZC为矩形,IOlO2HOC∣.v∣OAI=2.所以IJCl=LAC丄OCOCI=√∣Λ4∣2-∣JC∣2=√3

例30・已知正四棱锥A-ABCD的棱长都等Fa,侧棱PB.PD的中点分别为〃、.'：

则哉⅛i.JJZV与底IfijABCD所成二面角大小的正切值为・

解：

过ZI在卩面ABCD内作宜线〃BD・连接AC.BD交F0,连接PO,皿・记丹、Q交于0'•因为PB、PD的中点分别为.If、'-,所以QBD,因为〃BD,所以/"A0∙Je/.所以/cr∙面・J.IZV・平^AMN与平而/BCQ交线为/易知ZOdo即为itf∕Λ∕N与底而MCD所成：

FftIft的Tlm角：

<∕?

yF>1

AO=PO=-a^O,O=-a^tanO,AO=-

242

例31:

如閤.正方体ABCD-^BlCiDX的棱长为1∙P为BC的中点∙Q为线段CCII:

的动

点.过点A,P∙Q的平面截该正方体所得的嚴面记为S。

则下列命题正确的是

1当OvC0<+时.S为四边形②当cρ≈^时，S为等腰梯形7③当cρ=-时.S与Gq的交点R满足G&=\:

④当-

42/

解：

设截面与DQ相交于T,则AT〃PQHAT=2PQnDT=2CQ.

对⑪当OVC0v；•则OVDTvl.所以截IftiS为四边形.且S为梯形.所以为贞.

对②.当CQ=^DT=∖,T与D重合，截面S为四边形APQDX.所以JP=Z）Q截而S

■

为等樱梯形.所以为真.

对③，当CQ^-^QCX=丄.DT=∣.Z）1T=^利用三角形相似解得CR=*

44一一D

对®,.⅛-

形•所以为假・对⑤…为C0=1时，QLJCl-β⅛.截面S与线段JQttl交于中点GI即为菱^APCXGXA.

对角线长度分别为近和、层S的面积为芈.所以为貞.

例32：

ABCD-AXBICiDI为正方体。

任作平面α与对角线ZIC'垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的裁面多边形的而枳为S,周长为/.!

A.S为定值，/不为定值B.S不为定值./为定值

解:

将正方体切去两个正三棱锥A-ABD与C-D,B,C后，得到一个以平行平IMAfBD与DfB,C为上、下底血的几何体V.V的每个侧面都是等腰直仰三角形，＜Uc∣ft∣⅛边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边卩行,将丫的侧而沿棱/8剪开，展平在一张平面上,得到一个半行四边形AB,Bx∖・而多边形W的周界展开后便成为一条与ZfJI平行的线段（如图中E,El）,显热才故/为定值。

当F位FZfB中点时，多边形W为IE六边形，而当F移至Zf处时，*为正三角形，

例33：

设四棱锥P-ABCD的底而不是平行四边形.用f-[fiiα去截此四棱锥.使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（）

A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个

解：

设四枝锥的两组不相邻的侧面的交线为W直线加.”确定了卩面0,作与βTfT的

¥面α与四棱锥侧棱相截.则截得的四边形是半行四边形.这样的TIftla有无数多个.

例34：

过正四而体ABCD的顶点/做一个形状为等腰三角形的Sifti-Jl使截面与底IfllBCD

成75°角.问这样的截而可作几个？

解：

可以证明正四面体的棱、侧面与底而成角均小于75度，这样过顶点与底而成75度角.且平行与底面一条边的截面也就是符合题意的戡面，有两个。

三条边就是6个。

例35:

如图4.庄透明的塑料制成的长方体ABCD-AXB.ClDi容器内潸进一些水.固定容器底而一边BC丁•地面上,再将容器倾斜，随行倾斜程度的不同•有下列四个命题：

其中正确的命

题序号是

1水的部分始终呈棱柱状：

2水面EFGH的面积不改变;

3陵AD始终与水面EFGH平行：

4当容器倾斜到如图4

（2）时，BE・BF是定值：

解：

卅长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义.故①正确；在转动过程中EHFG,但EH与FG的距离EF任变.所以水而EFGH的面积在改变.故②错误：

在转动过程中•始终有BCFG/AtDi,所以AJ）/面EFGb③正确：

当

容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5

（2）•因为

BEBFBC是定值•乂BC是定值•所以BE-BF是定

值.即④正确。

值，即④正确.

例36：

有一容积为1立方单•位的正方体容器ABCD-AIBIC1D:

在棱AB.BBl及对角线BlC的中点各有一小孔E、F、G,若此容器可以任意放?

[・则该容器可装水的最大容积是？

解：

本题很容易认为当水而是过E、F、G三点的砂面时容器可装

1117

水的容枳fiλR∣（l）,i⅛λ值为Γ=l-1.114=-立方单•位•，

2228

其实•半水F面调整为图

（2）ΔEB:

C时容器的容积最大.最人容积

ZXA

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