二、人造卫星的变轨问题
1．卫星的变轨问题：
卫星变轨时，先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化．
（1）当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁．
（2）当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁．
以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据．
2．飞船对接问题：
（1）低轨道飞船与高轨道空间站对接如图2甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道（做离心运动）追上高轨道空间站与其完成对接．
图2
（2）同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．
例2 如图3所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
图3
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的周期大于在轨道2上的周期
C．卫星在轨道1上经过Q点时的速率大于它在轨道2上经过Q点时的速率
D．卫星在轨道2上经过P点时的向心加速度小于它在轨道3上经过P点时的向心加速度
答案 B
解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：
G＝m，v＝
因为r1＜r3，所以v1＞v3，A项错误；
由开普勒第三定律知T3>T2，B项正确；
在Q点从轨道1到轨道2需要做离心运动，故需要加速．
所以在Q点v2Q>v1Q，C项错误；
在同一点P，由＝ma知，卫星在轨道2上经过P点的向心加速度等于它在轨道3上经过P点的向心加速度，D项错误．
判断卫星变轨时速度、向心加速度变化情况的思路：
（1）判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断．
（2）判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．
（3）判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析．
（4）判断卫星的向心加速度大小时，可根据a＝＝G判断．
针对训练2 （多选）如图4所示，发射同步卫星的一般程序是：
先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点），到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道．设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3,则下列说法正确的是（ ）
图4
A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速
B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速
C．T1＜T2＜T3
D．v2＞v1＞v4＞v3
答案 CD
解析 卫星在椭圆形转移轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即G＜m，而在圆轨道时万有引力等于向心力，即G＝m，所以v2＞v1；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做离心运动，可知v3＜v4，故选项A、B错误；又由人造卫星的线速度v＝可知v1＞v4，由以上所述可知选项D正确；由于轨道半径（半长轴）r1＜r2＜r3，由开普勒第三定律＝k（k为常量）得T1＜T2＜T3，故选项C正确．
三、双星问题
例3 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图5所示．已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.
图5
答案 r1＝ r2＝ T＝
解析 双星间的引力提供了各自做圆周运动的向心力
对m1：
＝m1r1ω2，
对m2：
＝m2r2ω2，
且r1＋r2＝L，
解得r1＝，
r2＝.
由G＝m1r1及r1＝得
周期T＝.
1．双星问题的特点
（1）两星的运动轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
（2）两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
（3）两星的运动周期、角速度相同．
（4）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L.
2．双星问题的处理方法：
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝m1ω2r1＝m2ω2r2.
针对训练3 如图6所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．已知A、B星球质量分别为mA、mB，万有引力常量为G，求（其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期）．
图6
答案
解析 设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB.则rA＋rB＝L，对星球A：
G＝mArA，对星球B：
G＝mBrB，联立以上三式求得＝.
1．（“同步卫星”与“赤道物体”及近地卫星的比较）（多选）如图7所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是（ ）
图7
A.＝B.＝（）2 C.＝D.＝
答案 AD
解析 地球同步卫星：
轨道半径为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；
地球赤道上的物体：
轨道半径为R，随地球自转的向心加速度为a2；
以第一宇宙速度运行的卫星为近地卫星，其轨道半径为R.
对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，则G＝m，故＝.
对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，则a＝ω2r，故＝.
2．（卫星的变轨问题）（多选）肩负着“落月”和“勘察”重任的“嫦娥三号”沿地月转移轨道直奔月球，如图8所示，在距月球表面100km的P点进行第一次制动后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100km的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，在经过P点时会再一次“刹车制动”进入近月点距月球表面15公里的椭圆轨道Ⅲ，然后择机在近月点下降进行软着陆，则下列说法正确的是（ ）
图8
A．“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的周期最长
B．“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上运动的周期最长
C．“嫦娥三号”经过P点时在轨道Ⅱ上运动的线速度最大
D．“嫦娥三号”经过P点时，在三个轨道上的加速度相等
答案 AD
解析 由于“嫦娥三号”在轨道Ⅰ上运动的半长轴大于在轨道Ⅱ上运动的半径，也大于轨道Ⅲ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，“嫦娥三号”在各轨道上稳定运行时的周期关系为TⅠ＞TⅡ＞TⅢ，故A正确，B错误；“嫦娥三号”在由高轨道降到低轨道时，都要在P点进行“刹车制动”，所以经过P点时，在三个轨道上的线速度关系为vⅠ＞vⅡ＞vⅢ，所以C错误；由于“嫦娥三号”在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关，故D正确．
3．（双星问题）如图9所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是（ ）
图9
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m2做圆周运动的半径为L
答案 C
解析 设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2
所以可解得r1＝L，r2＝L
m1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.
综上所述，选项C正确．
一、选择题
考点一 “同步卫星”和“赤道物体”及近地卫星的比较
1.如图1所示，地球赤道上的山丘e、近地卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的线速度大小分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则（ ）
图1
A．v1＞v2＞v3B．v1＜v2＜v3
C．a1＞a2＞a3D．a1＜a3＜a2
答案 D
解析 卫星的速度v＝，可见卫星距离地心越远，即r越大，则线速度越小，所以v3＜v2.q是同步卫星，其角速度ω与地球自转角速度相同，所以其线速度v3＝ωr3＞v1＝ωr1，选项A、B均错误．由G＝ma，得a＝，同步卫星q的轨道半径大于近地卫星p的轨道半径，可知向心加速度a3＜a2.由于同步卫星q的角速度ω与地球自转的角速度相同，即与地球赤道上的山丘e的角速度相同，但q的轨道半径大于e的轨道半径，根据a＝ω2r可知a1＜a3.根据以上分析可知，选项D正确，选项C错误．
2．设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r.下列说法中正确的是（ ）
A．a与c的线速度大小之比为
B．a与c的线速度大小之比为
C．b与c的周期之比为
D．b与c的周期之比为
答案 D
解析 物体a与同步卫星c角速度相等，由v＝rω可得，二者线速度大小之比为，选项A、B均错误；而b、c均为卫星，由T＝2π 可得，二者周期之比为，选项C错误，D正确．
3．（多选）我国发射的“北斗系列”卫星中同步卫星到地心距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；在地球赤道上的观测站的向心加速度为a2，近地卫星做圆周运动的速率为v2，向心加速度为a3，地球的半径为R，则下列比值正确的是（ ）
A.＝B.＝ C.＝D.＝
答案 AB
解析 由于在地球赤道上的观测站的运动和同步卫星的运动具有相同的角速度，根据a＝rω2可知＝，A项正确，D项错误；再根据近地卫星做圆周运动的向心加速度为a3，由万有引力定律和牛顿第二定律F＝＝ma可知＝，由＝，＝知＝，因此B项正确，C项错误．
4．（多选）如图2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是（ ）
图2
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．a加速可能会追上b
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c
D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大
答案 BD
解析 因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等．又由b、c轨道半径大于a轨道半径，由v＝可知，vb＝vc＜va，故选项A错误；当a加速后，会做离心运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b所在轨道相切（或相交），且a、b同时来到切（或交）点时，a就追上了b，故选项B正确；当c加速时，c受的万有引力F＜m，故它将偏离原轨道，做离心运动，当b减速时，b受的万有引力F＞m，它将偏离原轨道，做向心运动，所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故选项C错误；对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v＝可知，r减小时，v逐渐增大，故选项D正确．
考点二 卫星的变轨问题
5．（多选）如图3，航天飞机在完成太空任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的近地点，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（ ）
图3
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
答案 ABC
6．如图4所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200km，远地点N距地面340km.进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，比较飞船在M、N、P三点正常运行时（不包括点火加速阶段）的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是（ ）
图4
A．v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2
B．v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3
C．v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3
D．v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3
答案 D
考点三 双星问题
7．某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2之间的距离为r，已知引力常量为G，由此可求出S2的质量为（ ）
A.B.
C.D.
答案 D
解析 设S1和S2的质量分别为m1、m2，对于S1有
G＝m12r1，得m2＝.
【考点】双星问题
【题点】双星问题
8．两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．质量大的天体线速度较大
B．质量小的天体角速度较大
C．两个天体的向心力大小一定相等
D．两个天体的向心加速度大小一定相等
答案 C
解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B项错误；两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C项正确，D错误；根据牛顿第二定律，有：
G＝m1ω2r1＝m2ω2r2
其中：
r1＋r2＝L
故r1＝L
r2＝L
故＝＝
故质量大的天体线速度较小，故A错误．
【考点】双星问题
【题点】双星问题
9．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的（ ）
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
答案 A
解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相同，B错误．双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相同，D错误．根据m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝＝，A正确．根据v＝ωr，得＝＝，C错误．
【考点】双星问题
【题点】双星问题
10．（多选）宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不会因为万有引力的作用而吸引到一起．如图5所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的（ ）
图5
A．质量之比mA∶mB＝2∶1
B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C．线速度大小之比vA∶vB＝1∶2
D．向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
答案 AC
解析 双星都绕O点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω.根据牛顿第二定律，对A星：
G＝mAω2rA①
对B星：
G＝mBω2rB②
联立①②得mA∶mB＝rB∶rA＝2∶1.
根据双星运行的条件有：
角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，由v＝ωr得线速度大小之比vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，向心力大小之比FA∶FB＝1∶1，选项A、C正确，B、D错误．
【考点】双星问题
【题点】双星问题
二、非选择题
11．（变轨问题）自行研制、具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：
飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行5圈后进行变轨，进入预定圆轨道，如图6所示．设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：
图6
（1）飞船在B点经椭圆轨道进入预定圆轨道时是加速还是减速？
（2）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小．
（3）椭圆轨道远地点B距地面的高度h2.
答案
（1）加速
（2） （3）－R
解析
（2）在地球表面有mg＝①
根据牛顿第二定律有：
G＝maA②
由①②式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为aA＝.
（3）飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有G＝m（R＋h2）③
由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为T＝④
由①③④式联立解得h2＝－R.
12．（双星问题）太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：
质量为M的恒星和质量为m的行星（M＞m）在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着．如图7所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动（图中没有表示出恒星）．已知引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计．
图7
（1）试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置；
（2）试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率．
答案 见解析
解析
（1）恒星运动的轨道和位置大致如图．
（2）对行星m：
F＝mω2a①
对恒星M：
F′＝Mω2RM②
根据牛顿第三定律，F与F′大小相等
由①②得：
RM＝a
对恒星M：
＝G
代入数据得：
v＝.
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