一次函数反比例函数和二次函数.docx
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一次函数反比例函数和二次函数
一、重要考点：
1.会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象；
2.掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质；
3.能根据条件确定函数的解析式；
4.能用函数解决实际问题。
二.重点提示：
1．一次函数
定义
如果y=kx+b（k，b为常数，k≠0）那么y叫做x的一次函数
当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx（k≠0），y叫x的正比例函数
图象
k>0
k<0
k>0，b=0
k<0，b=0
经过点（0，b），（-
，0）两点的一条直线
经过（0，0）、（1，k）两点的直线
性质
y随x增大而增大
y随x增大而减小
图象在一、三象限内y随x增大而增大
图象在二、四象限内y随x增大而减小
b决定直线与y轴交点的位置
2．二次函数
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）位置由a、b、c决定
〔1〕a决定抛物线的开口方向：
〔2〕c决定抛物线与y轴交点的位置
〔3〕a、b决定抛物线对称轴的位置，对称轴x=-
①a、b同号
对称轴在y轴左侧
②b=0
对称轴是y轴
③a、b异号
对称轴在y轴右侧
〔4〕顶点（-
，
）
〔5〕Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况
①Δ>0
抛物线与x轴有两个不同交点
②Δ=0
抛物线与x轴有一个公共点〔相切〕
③Δ<0
抛物线与x轴无公共点
〔6〕二次函数的最大最小值由a决定：
当a>0时，函数在x=-
时，有最小值，y最小=
。
当a<0时，函数在x=-
时，有最大值，y最大=
。
3.反比例函数
〔1〕反比例函数的图象是双曲线，反比例函数图象的两个分支关于原点对称．
〔2〕当k>0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限内．且在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每个象限内，y随x的增大而增大．
注意：
不能说成“当k＞0时，反比例函数y随x的增大而减小，当k＜0时，反比例函数y随x的增大而增大。
”因为，当x由负数经过0变为正数时，上述说法不成立。
（3）反比例函数解析式确实定：
反比例函数的解析式y=
（k≠0）中只有一个待定系数k，因而只要有一组x、y的对应值或函数图象上一点的坐标，代入函数解析式求得k的值，就可得到反比例函数解析式。
二、考题精选
1．（南京）如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=
，直线FE交AB的延长线于G。
过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M、N。
设HM=x，矩形AMHN的面积为y。
〔1〕求y与x之间的函数关系式；
〔2〕求x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？
解：
〔1〕∵正方形ABCD的边长为4，CE=1，CF=
，∴CF//AG，BE=3，
∴
，∴BG=4，
∵HM⊥AG，CB⊥AG，∴HM//BE，∴
，∴MG=
x。
∴y=x（4+4-
x）=-
x2+8x。
（2）∵y=-
x2+8x=-
（x-3）2+12。
∴当x=3时，y最大，最大面积是12。
解题点拨：
〔1〕．要写出y关于x的函数关系式，就要在图形中寻找对应关系，把对应关系中的量分别用y、x或已知量来替换，就可以找到y与x的关系式。
〔2〕．这类题目，注意自变量x的取值范围。
2．〔北京东城区〕已知：
如图一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。
OB=
，tan∠DOB=
。
〔1〕求反比例函数的解析式；
〔2〕设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
〔3〕当△OCD的面积等于
时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。
如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。
解：
〔1〕过点B作BH⊥x轴于点H。
在Rt△OHB中，
∵tan∠HOB=
，
∴HO=3BH。
由勾股定理，得BH2+HO2=OB2。
又∵OB=
，
∴BH2+（3BH）2=（
）2。
∵BH＞0，
∴BH=1，HO=3。
点B〔-3，-1〕。
设反比例函数的解析式为y=
〔k1≠0〕。
∵点B在反比例函数的图象上，
∴k1=3。
∴反比例函数的解析式为：
y=
。
〔2〕设直线AB的解析式为y=k2x+b〔k2≠0〕。
由点A在第一象限，得m＞0。
又由点A在函数y=
的图象上，可求得点A的纵坐标为
。
∵点B〔-3，-1〕，点A〔m，
〕，
∴
解关于k2、b的方程组，得
∴直线AB的解析式为y=
。
令y=0，求得点D的横坐标为x=m-3。
过点D的横坐标为x=m-3。
过点A作AC⊥x轴于点G。
S=S△BDO+S△ADO
=
DO·BH+
DO·GA
=
DO〔BH+GA〕
=
|m-3|〔1+|
|〕。
由已知，直线经过第一、二、三象限，
∴b＞0，即
＞0。
∵m＞0，∴3-m＞0。
由此得：
0＜m＜3。
∴S=
（3-m）（1+
）。
即S=
〔0＜m＜3〕。
〔3〕过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。
证明如下：
S△OCD=
DO·OC=
|m-3|·|
|=
。
由S△OCD=
，得
=
·
。
解得m1=1，m2=3。
经检验，m1=1，m2=3都是这个方程的根。
∵0＜m＜3，
∴m=3不合题意，舍去。
∴点A〔1，3〕。
设过A〔1，3〕、B〔-1，-3〕两点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c〔a≠0〕。
∴
由此得
即y=ax2+〔1+2a〕x+2-3a。
设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1、x2。
则x1+x2=-
x1·x2=
令|x1-x2|=3。
则（x1+x2）2-4x1x2=9。
即（-
）2-4·
=9。
整理，得 7a2-4a+1=0。
∵△=（-4）2-4×7×1=-12＜0，
∴方程7a2-4a+1=0无实根。
因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。
3、〔北京西城区〕〔此题9分〕
已知：
抛物线y=ax2+bx+c过点A〔-1，4〕，其顶点的横坐标是
，与x轴分别交于B〔x1，0〕，C〔x2，0〕两点（其中x1＜x2），且x12+x22=13。
〔1〕求此抛物线的解析式及其顶点E的坐标；
〔2〕设此抛物线与y轴交于点D，点M是抛物线上的点，假设△MBO的面积为△DOC面积的
倍，求点M的坐标。
解：
〔１〕∵抛物线y=ax2+bx+c过点A〔-1，4〕，
∴a-b+c=4，即c=4-a+b。
①
∵抛物线顶点的横坐标是
∴
即b=-a。
②
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于B〔x1，0〕，C（x2，0）两点〔其中x1 ∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根。
∵x1+x2=
，x1x2=
由已知x12+x22=13，
∵〔x1+x2）2-2x1x2=x12+x22
∴（
）2-
=13。
③
由①②③解得
经检验，a、b、c的值使△＞0，符合题意。
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+6。
∵当x=
时，y=
，
∴抛物线y=-x2+x+6的顶点E的坐标为〔
〕。
（2）由
（1）得y=-x2+x+6，〔如图，画草图帮自己分析〕
令x=0，∴y=6，得D〔0，6〕。
令y=0，∴-x2+x+6=0，
解得：
x1=-2，x2=3。
∴B（-2，0），C（3，0）。
设点M的坐标为〔x，y〕，则点M到x轴的距离为│yM│。
∵Ｓ△MBO=
S△DOC，
∴
·BO·│yM│=
×
·OC·OD
∴
得│yM│=6，
∴yM=±6。
因为抛物线y=-x2+x+6开口向下，顶点Ｅ的坐标为〔
〕，对称轴是直线x=
假设yM=6，因为6<
，有-x2+x+6=6，
解得x1=0，x2=1。
∴点M的坐标是〔0，6〕或〔1，6〕。
假设yM=-6， 则-x2+x+6=-6，
解得x3=-3，x4=4。
∴点M的坐标是〔－3，－6〕或〔4，－6〕。
答：
所求点M的坐标分别是〔0，6〕，〔1，6〕〔-3，-6〕，〔4，-6〕。
四.实战练习
1．〔山西〕在函数y=
中，自变量x的取值范围是___________。
答案：
x≥-1且x≠2
2．〔天津〕抛物线y=x2-6x+4的顶点坐标为____________。
答案：
（3，-5）
3．〔天津〕假设点A（m，n）在第二象限，则点B（|m|，-n）在：
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
答案：
D
4．〔天津〕函数y=
的自变量x的取值范围是：
A、全体实数 B、x≠0 C、x>0 D、x≥0
答案：
B
5．〔山西〕将二次函数y=
x2+x-1化成y=a（x+m）2+n的形式是〔 〕
A、y=
（x+2）2-2 B、y=
（x+2）2+2
C、y=
（x-2）2-2 D、y=
（x-2）2+2
答案：
A
6．平面直角坐标系中，反比例函数y=
的图象只可能是〔 〕
答案：
B
7．图象经过点〔0，-1〕、点〔2，3〕的一次函数解析式是〔 〕
A、y=-2x+1 B、y=-2x-1 C、y=
x-1 D、y=2x-1
答案：
D
8．〔天津〕〔此题8分〕
已知：
在RtΔABC中，∠B=90°，BC=4cm，AB=8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点。
假设P为AB边上的一个动点，PQ//BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公
共部分的面积为y。
〔1〕如图，当AP=3cm时，求y的值；
〔2〕设AP=xcm，试用含x的代数式表示y（cm2）；
〔3〕当y=2cm2时，试确定点P的位置。
答案：
此题总分值8分
解〔1〕∵PQ//BC， ∴
=
，
∵BC=4，AB=8，AP=3，
∴PQ=
1分
∵D为AB的中点，
∴AD=
AB=4，PD=AD-AP=1
∵PQMN为正方形，DN=PN-PD=PQ-PD=
，
∴y=MN·DN=
×
=
（cm2）。
2分
〔2〕∵AP=x，由
=
得：
PQ=
x=PN
∴AN=AP+PN=
x。
当AN时，y=0；
当AP≤x<4时，y=
（
x-4）=
x2-2x；
当AD≤AP且AN时，y=2×
x=x；
当AP≤AB≤x≤8时，y=2（8-x）=-2x+16。
6分
〔3〕将y=2代入y=-2x+16（
≤x≤8）时，得x=7，
即P点距A点7cm；
将y=2代入y=
x2-2x（
≤x<4）时，得x=
，
即P点距A点
cm。
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