八年级数学上册4一次函数教学案新版北师大版.docx

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八年级数学上册4一次函数教学案新版北师大版

第四章　一次函数

1.初步理解函数的概念,在实际背景中感受自变量取值范围的意义;体会一次函数和正比例函数的意义,能根据所给信息确定一次函数表达式.

2.能画一次函数的图象,理解当k>0和k<0时图象的变化情况,并利用一次函数图象解决简单的实际问题.

3.在画一次函数的图象、探索一次函数图象的变化情况、利用一次函数的图象解决实际问题等过程中,体会数形结合的思想方法与一次函数y=kx+b中k与b的意义.

经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展应用意识;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展几何直观.

经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展符号意识;经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作与交流活动中发展合作交流的意识和能力.

一、《标准》要求

1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解函数的概念;探索具体问题中的数量关系和变化规律,掌握用函数进行表述的方法.

2.通过用函数表述数量关系的过程,体会建模思想,建立符号意识;能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式.

3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.

4.在运用数学表述解决问题过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值.

5.探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义.

6.结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例.

7.能结合图象对简单问题中的函数关系进行分析.

8.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求函数值.

9.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.

10.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论.

11.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式.

12.能利用待定系数法确定一次函数的表达式.

13.能画出一次函数的图象,根据一次函数的图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0时,图象的变化情况.

14.能用一次函数解决简单实际问题.

二、教材分析

函数是数学中重要的基本概念之一,它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质,是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.本章是学习函数的入门,也是进一步学习的基础.教材通过具体的实例引入一次函数的概念,并通过练习巩固对一次函数意义的认识;通过让学生动手操作,让学生认识到一次函数的图象是一条直线,从而得出两点法作一次函数图象的方法;通过具体的取值结合函数的图象,让学生逐步得出一次函数的性质,体会一次函数在实际生活中的应用.教材注重让学生参与知识的形成过程,自始至终都采用让学生动手尝试、交流、归纳的方式,鼓励学生通过观察、猜想、验证,主动获取知识.

【重点】

1.初步理解函数的概念.

2.画一次函数的图象.

3.通过一次函数图象解决生活中的简单问题.

【难点】

1.一次函数图象的特点.

2.一次函数y=kx+b中k与b的实际意义.

1.加强与已有知识的联系.

在代数式、方程、不等式等内容的学习、探索中都已经渗透了转化的思想,要注意引导学生在原有知识基础上理解变量和函数的概念.

2.创设丰富的现实情境,重视直观感知的作用.

3.注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用,运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.

1　函　数

1课时

2　一次函数与正比例函数

1课时

3　一次函数的图象

2课时

4　一次函数的应用

3课时

回顾与思考

1课时

1　函　数

了解函数产生的背景和函数的概念,能判断两个变量间的关系是否属于函数关系.

通过对函数概念的探索,初步培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.

1.经历函数概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想.

2.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.

【重点】

1.掌握函数的概念.

2.会判断两个变量之间的关系是否属于函数关系.

3.能把实际问题抽象概括为函数问题.

【难点】

1.理解函数的概念.

2.能把实际问题抽象概括为函数问题.

【教师准备】　教材图4-1投影图片.

【学生准备】　预习教材75~76页内容.

导入一:

长春市某天的气温随时间变化的曲线如图所示.

这条曲线反映了气温与时间之间怎样的关系?

从这条曲线中又能获得哪些信息呢?

导入二:

我们生活在一个变化的世界中,时间、温度,还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化.从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.

观察下图,你能大致地描述男孩和女孩平均身高的变化情况吗?

你的身高在平均身高之上还是之下?

你能估计自己18岁时的身高吗?

在现实生活中一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.

一、感知函数

出示教材图4-1及相关问题,并由学生讨论完成题目.

（1）根据上图填表:

t/min

0

1

2

3

4

5

…

h/m

…

（2）对于给定的时间t,相应的高度h确定吗?

[设计意图]　由于我们已初步接触过这方面知识,所以答案较易得出.在这里要注意时间和高度这两个变量之间的关系.

二、做一做

1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?

填写下表:

层数n

1

2

3

4

5

…

物体总数y

…

　　【思考】　层数n和物体总数y之间是什么关系?

2.一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273℃,则气体的压强为零.因此,物理学中把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T（K）与摄氏温度t（℃）之间有如下数量关系:

T=t+273,T≥0.

（1）当t分别为-43℃,-27℃,0℃,18℃时,相应的热力学温度T是多少?

（2）给定一个大于-273℃的t值,你都能求出相应的T值吗?

【思考】　在关系式T=t+273中,两个变量中若知道其中一个,是否可以确定另外一个?

三、函数的相关概念

一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数（function）,其中x是自变量.

表示函数的方法一般有:

列表法、关系式法和图象法.

对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.

[知识拓展]　理解函数概念时应注意:

（1）在某一变化过程中有两个变量x与y.

（2）这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y的值就随之确定.

（3）对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的一个值与它对应,如在关系式y2=x（x>0）中,当x=9时,y对应的值为3或-3,不唯一,则y不是x的函数.

1.

（1）汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时30千米,则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）之间的关系式为　　　　. 

（2）圆的面积S与半径R的关系式为　　　　. 

答案:

（1）s=30t　

（2）S=πR2

2.一般地,在某个变化过程中,有　　　　个变量x,y.如果给定一个x值,相应地就　　　　了一个y值,那么我们称y是x的函数.其中　　　　是自变量,　　　　是因变量. 

答案:

两　确定　x　y

3.对于两个变量之间的函数关系,可以采用不同的表达方式:

　　　　,　　　　,　　　　. 

答案:

列表法　关系式法　图象法

4.圆的周长公式C=2πR中,有　　　　个变量,是　　　　. 

答案:

两　R,C

5.某30层的大厦底层高4米,以上每层高3米,从底层数起,则前n层的高度h（米）与n的函数关系式为　　　　. 

答案:

h=3n+1

1　函　数

1.感知函数.

2.做一做.

3.函数的相关概念.

一、教材作业

【必做题】

教材第77页习题4.1第1,2题.

【选做题】

教材第78页习题4.1第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列变量间的关系不是函数关系的是（　　）

A.长方形的宽一定,其长与面积

B.正方形的周长与面积

C.等腰三角形的底边长与面积

D.圆的周长与半径

2.下列是关于变量x和y的四个关系式:

①y=x;②y2=x;③2x2=y;④y2=2x.其中y是x的函数的有（　　）

A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个

3.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表:

物体的质量/kg

0

1

2

3

4

5

弹簧的长度/cm

10

12.5

15

17.5

20

22.5

下列说法错误的是（　　）

A.没挂物体时,弹簧的长度为10cm

B.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量

C.在弹簧的弹性限度内,如果物体的质量为mkg,那么弹簧的长度ycm可以表示为y=2.5m+10

D.当物体的质量为4kg时,弹簧的长度为20cm

4.下列各题中,哪些是函数关系?

哪些不是函数关系?

（1）匀速运动所走的路程和速度;

（2）在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长与半径;

（3）x+3与x;

（4）正方形的面积和梯形的面积;

（5）水管中水流的速度和水管的长度.

【能力提升】

5.如图

（1）所示,在长方形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止.设点E运动的路程为x,ΔBCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图

（2）所示,则当x=7时,点E应运动到（　　）

A.点C处B.点D处

C.点B处D.点A处

6.如下图所示的是桂林冬季某一天的气温随时间的变化图象,请根据图填空:

　　　　时气温最低,最低气温为　　　　℃,当天最高气温为　　　　℃,这一天的温差为　　　　℃.（所有的结果都取整数） 

【拓展探究】

7.如图所示,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点,P为正方形ABCD边上一个动点,动点P从点A出发,沿A→B→C→E运动.若点P经过的路程为x,ΔAPE的面积为y,则当y=时,求x的值.

【答案与解析】

1.C（解析:

A.长=;B.面积=;C.高不能确定,共有三个变量;D.周长=2π·半径.故选C.）

2.B（解析:

①③是y关于x的函数.）

3.B（解析:

因为表中的数据主要涉及弹簧的长度和所挂物体的质量,所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系,所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量,故选项B错误,符合题意.故选B.）

4.解:

（1）匀速运动所走的路程和速度符合s=vt,是函数关系.　

（2）在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长L与半径r符合L=2πr,是函数关系.　（3）x+3与x,设y=x+3,即可得出是函数关系.　（4）正方形的面积和梯形的面积没有关系,所以不是函数关系.　（5）水管中水流的速度和水管的长度没有关系,所以不是函数关系.所以

（1）

（2）（3）是函数关系,（4）（5）不是.

5.B（解析:

当E在AB上运动时,ΔBCE的面积不断增大,当E在AD上运动时,面积不变,当E在DC上运动时,ΔBCE的面积不断减小,所以当x=7时,点E应运动到点D处.故选B.）

6.4　-2　10　12

7.解:

①当点P在AB上运动时,如图

（1）所示,y=x（0≤x<1）.当y=时,x=.②当点P在BC上运动时,如图

（2）所示,y=1-×1×（x-1）-（2-x）-×1,整理得y=-x（1≤x<2）.当y=时,-x,解得x=.③当点P在CE上运动时,如图（3）所示,EP=-x,y=×1×,即y=-x（2≤x≤2.5）.当y=时,-x,解得x=.因为不在2≤x≤2.5内,所以此情况不符合要求.所以当y=时,x的值为或.

本课时是函数学习的起始课,因此理解函数的基本思想和表达方式是本课时的重点.通过生活实例中对变量的提取,帮助学生比较深刻地领悟了函数的意义.

教材安排的实际问题,旨在让学生通过直观感知,领悟相关概念,这些问题不宜单纯作为教师讲解的例题,要注意引导学生观察其中数量之间的相互关系、鼓励学生发表意见,可以根据学生交流的情况,鼓励学生举出自己熟悉的实例,穿插在几个问题的讨论之中.

本课时的学习需注意后续相关内容的渗透,例如:

观察函数图象,感知函数的单调性;通过求函数值,渗透初步的对应思想等.教师在组织教学中应注意做适当的铺垫.

随堂练习（教材第77页）

解:

（1）问题中有时间和温度两个变量,且温度是时间的函数,自变量的取值范围是大于等于0,小于等于24.　

（2）问题中有汽车的速度v（km/h）和汽车紧急刹车后滑行的路程s（m）两个变量,且s是v的函数,v>0.　（3）问题中有信件质量m（g）与邮资y（元）两个变量,且y是m的函数,0

习题4.1（教材第77页）

1.解:

（1）反映了物体与抛射点之间的水平距离s与物体的高度h之间的关系.　

（2）依次填2,2.5,2.65,2.5,2,1.2,0.　（3）确定.　（4）可以.

2.解:

（1）当x=3时,y=9.　

（2）依题意得y=3x,x的取值范围是x>0,且x是整数.

3.解:

买单价是0.4元的铅笔,总金额y（元）与铅笔数x（支）之间的关系,其函数的关系式为y=0.4x,自变量的取值范围是非负整数.（答案不唯一）

4.解:

（1）能.　

（2）能.　（3）能.

1.关于确定函数关系式的问题,需要分析实际问题中的等量关系,其具体方法和列方程解应用题类似.

2.关于函数自变量的取值范围的讨论,主要包含两个方面:

一是自变量取值使函数关系式有意义;二是自变量取值使实际问题有意义,这需要对实际问题作具体分析,具有一定难度.

　图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层（n为正整数）圆点的个数,则下列函数关系式中正确的是（　　）

A.y=4n-4　　　　B.y=n2

C.y=4n+4　　　　D.y=4n

〔解析〕　由图可知n=1时,圆点有4个,即y=4;n=2时,圆点有8个,即y=8,从而可知y=4n.故选D.

2　一次函数与正比例函数

理解一次函数和正比例函数的概念,以及两者之间的关系,利用一次函数和正比例函数解决实际问题.

能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式,并利用它解决实际问题.

1.通过函数与变量之间的联系,一次函数与一次方程的联系,提高学生的数学思维能力.

2.经历利用一次函数解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力.

【重点】　

1.一次函数、正比例函数的概念.

2.一次函数、正比例函数的关系.

3.会根据已知信息写出一次函数的表达式.

【难点】　一次函数知识的运用.

【教师准备】　引例和例题投影图片.

【学生准备】　复习函数的定义、函数值等内容.

导入一:

生活中充满着许许多多变化的量,你了解这些变量之间的关系吗?

如弹簧的长度（在弹性限度内）与所挂物体的质量,输液时间与相应时间内水滴数目……了解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界.函数是刻画变量之间关系的常用模型,其中最为简单的是一次函数,那么什么是一次函数?

用一次函数可以解决哪些问题呢?

你想了解这些吗?

一起进入这节课的学习吧!

导入二:

汽车的平均速度为95km/h,A地直达北京的高速公路全程为570km,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己与北京的距离.小明能得到一个什么样的关系式呢?

他是怎样想的?

猜猜看.

　　[过渡语]　怎样写出两个变量之间的函数关系式呢?

一、出示教材引例及问题

某弹簧的自然长度为3cm.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.

（1）计算所挂物体的质量分别为1kg,2kg,3kg,4kg,5kg时弹簧的长度,并填入下表:

x/kg

0

1

2

3

4

5

y/cm

（2）你能写出y与x之间的关系式吗?

【分析】　当不挂物体时,弹簧长度为3厘米,当挂1千克物体时,增加0.5厘米,总长度为3.5厘米,增加1千克物体,即所挂物体为2千克时,弹簧又增加0.5厘米,总共增加1厘米,由此可见,所挂物体为x千克时,弹簧就伸长0.5x厘米,则弹簧总长为原长加伸长的长度,即y=3+0.5x.

二、做一做

某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.

（1）完成下表:

汽车行驶

路程x/km

0

50

100

150

200

300

耗油量y/L

（2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗?

（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗?

【答案与提示】　

（1）如下表所示:

汽车行驶

路程x/km

0

50

100

150

200

300

耗油量y/L

0

6

12

18

24

36

（2）y=6·x.

（3）z=60-x.

【归纳】　若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b（k,b为常数,k≠0）的形式,则称y是x的一次函数.例如y=2x+1,y=x-1等都是一次函数.

特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如,y=2x,y=-3x等都是正比例函数.

正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数.正比例函数与一次函数的关系如图所示.

[知识拓展]　正比例函数也是一次函数,不过是特殊的一次函数,就像是等边三角形与等腰三角形的关系一样.

三、例题讲解

　写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:

y是否为x的一次函数?

是否为正比例函数?

（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系;

（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系;

（3）某水池有水15m3,现打开进水管进水,进水速度为5m3/h,xh后这个水池内有水ym3.

（由学生交流讨论完成）

解:

（1）由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.

（2）由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.

（3）这个水池每小时增加5m3水,xh增加5xm3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.

【思考】　两个变量之间存在函数关系,它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗?

　我国自2011年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:

月收入不超过3500元的部分不收税;月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴纳个人工资、薪金所得税为（3860-3500）×3%=10.8（元）.

（1）当月收入超过3500元而又不超过5000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式;

（2）某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?

（3）如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元?

〔解析〕　一次函数y=kx+b（k,b为常数,k≠0）中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.

解:

（1）当月收入超过3500元而不超过5000元时,

y=（x-3500）×3%,即y=0.03x-105.

（2）当x=4160时,y=0.03×4160-105=19.8（元）

（3）因为（5000-3500）×3%=45（元）,19.2<45,所以此人本月工资、薪金收入不超过5000元.设此人本月工资、薪金收入是x元,则:

19.2=0.03x-105,x=4140.

即此人本月工资、薪金收入是4140元.

1.一根弹簧的原长为12cm,它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重物1kg就伸长0.5cm,则在弹性限度内,挂重物后的弹簧长度y（cm）与所挂重物x（kg）之间的函数关系式是　　　　. 

解析:

弹簧伸长后的长度等于原长加上挂重物后伸长的长度,所以y=0.5x+12.由于这是实际问题,自变量的取值要有实际意义,所以0≤x≤15.故填y=0.5x+12（0≤x≤15）.

2.y=kx+b是一次函数,则k为（　　）

A.一切实数　　　　　　B.正实数

C.负实数D.非零实数

解析:

y=kx+b是一次函数,也就是说kx+b是关于x的一次式,所以k是不等于0的实数.故选D.

3.下列函数中,y是x的一次函数的是（　　）

A.y=-3x+5B.y=-3x2

C.y=D.y=2

解析:

形如y=kx+b（k,b为常数,k≠0）的函数是一次函数.故选A.

4.下列说法不正确的是（　　）

A.一次函数不一定是正比例函数

B.不是一次函数就一定不是正比例函数

C.正比例函数是特殊的一次函数

D.不是正比例函数就一定不是一次函数

解析:

正比例函数是特殊的一次函数,不是正比例函数也可能是一次函数,如y=2x-3.故选D.

5.某面包厂现年产值是15万元,计划从今年开始每年增加产值2万元.

（1）写出年产值y（万元）与年数x之间的函数表达式;

（2）求5年后的年产值.

解析:

（1）年产值等于现年产值加上每年增加的年产值乘年数.

（2）将x=5代入

（1）中求得的表达式即可得解.

解:

（1）y=2x+15.

（2）当x=5时,y=2×5+15=25,

即5年后的年产值为25万元.

2　一次函数与正比例函数

1.出示教材引例及问题.

2.做一做.

3.例题讲解.

例1

例2

一、教材作业

【必做题】

教材第82页习题4.2第1,2题.

【选做题】

教材第82页习题4.2第5题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例,则m的取值范围为（　　）

A.m>-　　　　　B.m>5

C.m=-D.m=5

2.下列函数:

①y=4x+3;②y=x;③y=x4;④y=x2;⑤y=1-x中,一次函数有（　　）

A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个

3.在函数y=x,y=x+3,y=,y=2x2-3,y=2（x-3）中,　　　　是关于x的正比例函数. 

【能力提升】

4.容积为800L的水池内已蓄水200L,若每分钟注入的水量是15L,设池内的水量为Q（L）,注水时间为t（min）.

（1）请写出Q与t的函数关系式;

（2）注水多长时间可以把水池注满?

（3）当注水时间为0.2h时,池中水