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数量关系

浙江公务员考试数量关系专题

一、行程问题

（一）、基本知识点：

1、基本公式：

距离=速度×时间

2、相遇追及问题：

相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间；追及距离=（大速度-小速度）×追及时间

3、环形运动问题：

环形周长=（大速度+小速度）×相向运动的两人两次相遇的时间间隔；环形周长=（大速度-小速度）×同向运动的两人两次相遇的时间间隔

4、流水行船问题：

顺流路程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间；逆流路程=逆流速度×逆流时间=（船速-水速）×逆流时间

5、电梯运动问题：

能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）×沿电梯运动方向运动所需时间；能看到的电梯级数=（人速-电梯速度）×逆电梯运动方向运动所需时间

6、钟面问题（此类问题很多可以转化为追及问题）

（1）假设时钟一圈是12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。

（2）钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。

（3）时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

（二）、例题和解题思路

1、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？

解析：

先画示意图：

可以看到它们到第二次相遇时共走了3个AB全程。

当甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，因此，我们可以理解为乙车一共走了3个64千米，再由上图可知：

乙车一共走过的路程减去一个48千米后，正好等于一个AB全程。

①AB间的距离是 64×3－48＝192－48＝144（千米）

②两次相遇点的距离为144—48－64＝32（千米）

2、甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

解析：

甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就可以了，因此，甲走100千米所需的时间为（4—1＋4÷2）＝5小时.这样就可求出甲的速度。

甲的速度为：

100÷（4－1＋4÷2）＝10O÷5＝20（千米/小时），乙的速度为：

20÷2＝10（千米/小时）

3、在一条直的公路上，甲、乙两个地点相距600米，张明每小时行4公里，李强每小时行5公里.8点整，张李二人分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都调头反向而行，再经过3分钟，他们又调头相向而行，依次按照1，3，5，…（连续奇数）分钟数调头行走，那么张、李二人相遇时是8点几分？

解析无论相向还是反向，张李二人每分钟都共走4000÷60+5000÷60=150（米）.如果两人一直相向而行，那么从出发经过600÷150=4（分钟）两人相遇。

画图可知：

在16分钟（=1+3+5+7）之内两人不会相遇.在这16分钟之内，他们相向走了6分钟（=1+5），反向走了10分钟（=3+7），此时两人相距600+[150×（3+7-1-5）]=1200米，因此，再相向行走，经过1200÷150=8（分钟）就可以相遇。

所以是600+150×（3+7-1-5）=1200（米）

1200÷（4000÷60+5000÷60）=8（分钟）

1+3+5+7+8=24（分钟）

两人相遇时是8点24分

4、姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追他。

姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。

小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。

问小狗共跑了多少米？

（）

A、600       B、800            C、1200          D、1600

解析：

由于小狗的运动规律不规则，但速度保持不变，故求出小狗跑的总时间即可。

由于姐姐和小狗同时出发，同时终止，小狗跑的时间也就是姐姐追弟弟的时间。

这个时间为80÷（60-40）=4分钟

小狗跑了150×4=600米

5、小明放学后，沿某路公共骑车路线以不变的速度不行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。

每隔30分钟就有辆公共骑车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。

问：

该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？

（）

A、20         B、24            C、25            D、30

解析：

设两辆车间距为S。

有S=（V车+V人）×20，S=（V车-V人）×30，求得V车=5V人，故发车间隔为：

T=S/V车=24分钟

6、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。

结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。

则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有：

A．80级   B．100级   C．120级   D．140级         

解析；总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下，

（X+2）×40=（X+3/2）×50

解得X=0.5  也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）×40=100 

7、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。

已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0．1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是

A．166米   B．176米   C．224米   D．234米     

解析，此题为典型的速度和问题，为方便理解可设甲的速度为X米/分，乙的速度为Y米/分，则依题意可列方程8X+8Y=400×3

X-Y=6  （速度差0.1米/秒=6米/分）

从而解得X=78  Y=72

由Y=72，可知，8分钟乙跑了576米，显然此题距起点的最短距离为176米。

8、甲、乙、丙三人沿湖边散步，同时从湖边一固定点出发，甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走，甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙，再过3又3/4分钟第二次遇到乙。

已知乙的速度是甲的2/3，湖的周长为600米，则丙的速度为；

A．24米／分   B．25米／分   C26米／分   D．27米／分

『解析』解题关键点为“相遇问题的核心是‘速度和’的问题”可设甲的速度为

，则乙的速度为2x/3，又根据“甲第一次遇到乙后1又1/4分钟遇到丙，再过3又3/4分钟第二次遇到乙”，可知（＋2x/3）×（1+1/4＋3+3/4）＝600，则＝72，如果设丙的速度为，则有（＋）×（1+1/4＋3+3/4＋1+1/4）＝600，从而解得＝24。

9、某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。

该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。

问汽车的速度是劳模的步行速度的几倍?

   A．5倍   B．6倍   C．7倍   D．8倍                （2003年中央B类）

解析，如果接劳模往返需1小时，而实际上汽车2点出发，30分钟便回来，这说明遇到劳模的地点在中点，也即劳模以步行速度（时间从1点到2点15分）走的距离和汽车所行的距离（2点到2点15分）相等。

设劳模的步行速度为A/小时，汽车的速度是劳模的步行速度的X倍，则可列方程

5/4A=1/4AX  

解得X=5

所以，正确答案为A。

10、某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则时刻为几点几分？

A、10点15分   B、10点19分    C、10点20分   D、10点25分

解析：

设此时刻是10点X分。

3分钟前是10点X-3分；6分钟后是10点X+6分。

则：

10点X-3分时，时针从12点位置上转过了300°+（X-3）×30°/60

10点x+6分时，分针从12点位置上转过了（X+6）×12×30°/60

300°+（X-3）×30/60°-（X+6）×12×30°/60=180°=>X=15

所以选A

注：

一般时针问题都有简便的方法来解

比如此题，可以使用代入法

B,C,D的时刻的3分钟前都还是10点多，因此时针在钟面上的10与11之间，而3个时刻6分钟以后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的5上或者之后了。

而钟面上10与11之间反过来对应的是4和5之间，所以这三项都不符。

选择A

11、有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少？

（）

A、11点整      B、11点5分     C、11点10分        D、11点15分

解析：

坏表问题的基本解题思路是找准坏表的“标准比”，然后按照比例来计算。

设此时的标准时间为y时，得到这样的比较：

           标准钟                慢钟

时刻1：

    4+30/60             4+30/60

时刻2：

      y                 10+50/60

两次时间差：

 y-（4+30/60）        （10+50/60）-（4+30/60）

标准比：

      60                  57

列出比例关系：

y-（4+30/60）:

（10+50/60）-（4+30/60）=60：

57

解得y=11+10/60，即此时的标准时间为11时10分。

（三）、练习

1.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离. 

2.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？

3.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，到达目的地后立即返回，如此反复运行多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？

 4.甲乙两地有公共骑车，每隔3分钟就从两地各发一辆汽车，30分钟驶完全程。

如果车速均匀，一个人坐上午9点的车从甲地开往乙地，一共遇上多少辆汽车？

A 15                 B18              C19               D20

 5.甲、乙两人站在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部走，甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍；当甲走了36级到达顶部，而乙走了24级到达顶部。

那么，自动扶梯有多少级露在外面？

A68                  B56              C72               D85

 6、绕湖一周是20千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走一小时以后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？

A120                 B125             C130              D136

 7、人乘竹排沿江顺流漂流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇，他问快艇员：

你后面有轮船开过来吗？

快艇员回答：

半小时前我超过一艘轮船。

竹排继续顺水漂流了1小时遇到了迎面开来的这艘轮船。

那么快艇静水速度是轮船静水速度的几倍？

A2            B2.5             C3              D3.5

8、某司机开车从A城到B城。

如果按原定速度前进，可准时到达。

当路程走了一半时，司机发现前一半路程中，实际平均速度只可达到原定速度的11/13.现在司机想准时到达B城，在后一半的行程中，实际平均速度与原速度之比是（）

A11：

9       B12：

7           C11：

8            D13：

8

9、在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要（）？

A24分钟      B26分钟         C28分钟          D30分钟

10、一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。

这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米，他们每爬行1秒，3秒，5秒……（连续的奇数），就掉头爬行，那么，他们相遇时已爬行的时间是多少秒?

（）

A46          B47              C48              D49

解析：

1.解：

①A、B两地间的距离：

4×3—3＝9（千米）.

　　 ②两次相遇点的距离：

9－4－3＝2（千米）.

2.解：

280÷（385÷11）＝8（秒）.

提示：

在这个过程中，对方的车长＝两列车的速度和×驶过的时间.而速度和不变.

3.解：

①第三次相遇时两车的路程和为：

90＋90×2＋90×2＝450（千米）.

　　 ②第三次相遇时，两车所用的时间：

450÷（40＋50）＝5（小时）.

　 　③距矿山的距离为：

40×5—2×90＝20（千米）.

4、C解析：

乙站在上午8点半到9点半，共发送21辆车，这21辆车也就是甲站九点钟发出所应遇到的，除去首尾就是途中遇到的即21-2=19辆车。

5、C解析：

甲乙到达顶部所用的时间之比是36/2:

24=3：

4

    假设扶梯的速度为x，那么36+3x=24+4x，得到x=12，所以扶梯长为36+3×12=72.

6、D解析：

两人相遇时间要超过2小时，出发130分钟后，甲、乙都休息完2次，甲已经行了4×2=8千米，乙已经行了6×（130-20）/60=11千米。

相遇还需要（20-8-11）/（4+6）=0.1小时=6分钟，故两人从出发到第一次相遇用了130+6=136分钟。

7、C解析：

对于竹排来说，它自身不动，而快艇、轮船都以它们在静水中的速度向它驶来。

快艇半小时走的路程，轮船用了1个半小时。

因此快艇静水中的速度是轮船静水速度的3倍。

8、A解析：

前一半路程用的时间是原定的13/11.多用了2/11.要想准时到达，后一半路程只能用原定时间的1-2/11=9/11。

所以后一半行程的速度是原定速度的9/11.即11：

9。

9、C解析：

甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分钟。

也就是说，两人16分钟走了一圈。

从出发到两人第一次相遇用了8分钟，所以两人共走版权，即从A到B是半圈，A从A到B用了8+6=14分钟，故甲环行一周需要14*2=28分钟。

10、D解析：

半圆周长63厘米。

如果蚂蚁不掉头走，用63/（5.5+3.5）=7秒即相遇。

由于13-11+9-7+5-3+1=7，所以经过13+11+9+7+5+3+1=49秒，两只蚂蚁相遇。

二、排列组合问题

（一）基本概念

（1）加法原理：

分类的用加法

乘法原理：

分步的用乘法

排列：

与顺序有关

组合：

与顺序无关

（2）主要解题技巧：

逆向考虑法，特殊位置先排，隔板法，插空法，分类法，捆绑法等。

因为这部分内容比较多，所以抽屉原理另外在下一个专题里单独讲。

（二）习题与解析：

1、用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？

解析：

这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题，由排列数公式，共可组成：

P85=8*7*6*5*4=6720

2、由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？

解析：

分类法

注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类，所以要一类一类地考虑，再由加法原理解决.

第一类：

一位偶数只有0、2，共2个；

第二类：

两位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位可有C13种取法；若个位取2，则十位有C12种取法.故两位偶数共有（C13＋C12）种不同的取法；

第三类：

三位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位和百位共有P23种取法；若个位取2，则十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2种取法，十位也有2种取法，由乘法原理，个位为2的三位偶数有2×2个，三位偶数共有（P23＋2×2）个；

第四类：

四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则共有P33个；若个位取2，则其他3位只能在0、1、3中取.千位有2种取法，百位和十位在剩下的两个数中取，再排成一列，有P22种取法.由乘法原理，个位为2的四位偶数有2×P22个.所以，四位偶数共有（P33＋2×P22）种不同的取法.

由加法原理知，共可以组成

2＋（C13＋C12）＋（P23＋2×2）＋（P33＋2×P22）

＝2＋5＋10＋10

＝27个不同的偶数.

3、从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？

解析：

分类法。

首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.

解：

符合要求的选法可分三类：

设第一类为：

国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.

因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种.

运用加法和乘法原理时要注意：

①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.

不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.

不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.

②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：

从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：

第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：

把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：

第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.

③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.

4、一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.

解析：

画图

由此可知，排列共有如下八种：

正正正、正正反、正反正、正反反、

反正正、反正反、反反正、反反反.

5、参加会议的人两辆都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有多少人？

（）

A、9B、10C、11D、12

解析：

两人握手与顺序无关，（甲与乙握手和乙与甲握手是一样的），假设共有N个人，两两彼此握手可以握C2N次，有C2N=N（N-1）/2*1=36.解得N=9，选A

6、五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？

（）

A、6B、10C、12D、20

解析：

第一步：

从五个瓶子中选出三个瓶子共有C35=10种方法

第二步：

对这三个瓶子进行错位排列，共有D3=2种方法

第三步：

根据乘法原理，所有可能的方法数为10*2*1=20种

PS：

有关错位排列问题。

请看下一题。

将有比较详细的解释。

7、甲乙丙丁四个人站成一排，已知：

甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？

（）

A、6B、12C、9D、24

解析：

甲不能站在第一位，因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。

如果甲站在第二位，则共有三种可能：

乙甲丁丙，丙甲丁乙，丁甲丙乙

如果甲站在第三位，则共有三种可能，乙丁甲丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙

如果甲站在第四位，则共有三种可能，乙丙丁甲，丙丁乙甲，丁丙乙甲

因此一共有9种可能

总结：

错位排列问题：

有N封信和N个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数记作Dn。

则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265。

。

8、A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两个人不站在一起，共有（）种排法。

解析：

采用插空法。

第一步：

CDE排成一排，共有P33=6种排法

第二步：

口C口D口E口，共有4个空，将A、B插入这4个空中，共有P24=12种排法

根据乘法原理，共有不同的排法6*12=72种

9、A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站在一起，共有（）种排法。

解析：

采用捆绑法。

第一步：

将A、B捆绑在一起，共有P22=2种捆法。

第二步：

用它们的整体和CDE一起拍，共有P44=24种排法

根据乘法原理，共有不同排法2*24=48种。

总结：

相邻问题---捆绑法。

不邻问题---插空法。

10、有10颗糖，每天至少吃一粒，直到吃完为止，共有多少种不同的吃法？

解析：

10片药并成一排，内部形成9个空。

想象每个空上方都有一块隔板，如果隔板放下了，就是把那部分的糖果分成2天来吃了。

每个隔板都有放下和不放下的2个选择。

所以一共的可能性是2^9=512种方法。

这个就是插板法。

是为了解决相同元素的分配问题的。

11、6人站在一排，要求甲站在乙的左边，有多少种不同的排法？

解析：

这里，甲站在乙的左边的排法和甲站在乙的右边的排法是对称的，那么排在左边的排法就是P66÷2=360种。

三、十字交叉法

十字交叉法是数算里面的一个重要方法，很多比例问题，都可以用十字交叉法来很快地解决，而在资料分析中，也能够派上很大用场，所以应该认真掌握它。

（一）原理介绍

通过一个例题来说明原理。

例：

某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。

求该班男生和女生的比例。

方法一：

男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。

男生和女生的比例是1：

1。

方法二：

假设男生有A，女生有B。

（A*75+B85）/（A+B）=80

整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：

1。

方法三：

男生：

755

80

女生：

855

男生：

女生=1：

1。

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。

平均值为C。

求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。

假设A有X，B有（1-X）。

AX+B（1-X）=C

X=（C-B）/（A-B）

1-X=（A-C）/（A-B）

因此：

X：

（1-X）=（C-B）：

（A-C）

上面的计算过程可以抽象为：

AC-B

C

BA-C

这就是所谓的十字相乘法。

十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：

用来解决两者之间的比例关系问题