数量关系例题习题及答案解析.docx

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数量关系例题习题及答案解析

平均数问题

　　求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……〞。

　　平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。

　　解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。

　　一、算术平均数

　　例1用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？

　　分析求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。

　　解：

〔4＋5+7+8〕÷4=6〔厘米〕

　　答：

这4个杯子水面平均高度是6厘米。

　　例2蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？

　　分析解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。

　　解：

①英语：

〔84×2+10〕÷2=89〔分〕

　　②语文：

89-10=79〔分〕

　　③政治：

86×2-89＝83〔分〕

　　④×2-83＝100〔分〕

　　⑤生物：

89×5-〔89＋79＋83＋100〕＝94〔分〕

　　答：

蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。

　　二、加权平均数

　　例3果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：

什锦糖每千克多少元？

　　分析要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。

　　解：

①什锦糖的总价：

×××5＝57.4〔元〕

　　②什锦糖的总千克数：

2＋3＋5＝10〔千克〕

　　③÷10=5.74〔元〕

　　答：

混合后的什锦糖每千克5.74元。

　　我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数〞.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数〞。

　　例4甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？

　　分析此题是两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数，求另一个数的权数的问题.甲棉田平均亩产籽棉203斤比甲乙棉田平均亩产多18斤，5亩共多出90斤.乙棉田平均亩产比甲乙棉田平均亩产少15斤，乙少的局部用甲多的局部补足，也就是看90斤里面包含几个15斤，从而求出的是乙棉田的亩数，即“权数〞。

　　解：

①甲棉田5亩比甲乙平均亩产多多少斤？

　　〔203-185〕×5=90〔斤〕

　　②乙棉田有几亩？

　　90÷〔185-170〕=6〔亩〕

　　答：

乙棉田有6亩。

　　三、连续数平均问题

　　我们学过的连续数有“连续自然数〞、“连续奇数〞、“连续偶数〞.几个连续数的和求出这几个数，也叫平均问题。

　　例5八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。

　　分析偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时，它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和，等于第三项与倒数第三项之和……即每两个数分为一组，八个数分成4组，每一组两个数的和是144÷4＝36.这样可以确定出中间的两个数，再依次求出其他各数。

　　解：

①每组数之和：

144÷4=36

　　②中间两个数中较大的一个：

〔36＋2〕÷2＝19

　　③中间两个数中较小的一个：

19-2=17

　　∴这八个连续奇数为11、13、15、17、19、21、23和25。

　　答：

这八个连续奇数分别为：

11、13、15、17、19、21、23和25。

　　四、调和平均数

　　例6一个运发动进展爬山训练.从A地出发，上山路长11千米，每小时行4.4千米.爬到山顶后，沿原路下山，下山每小时行5.5千米.求这位运发动上山、下山的平均速度。

　　分析这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题.解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念.速度的平均数=〔上山速度+下山速度〕÷2，而平均速度=上、下山的总路程÷上、下山所用的时间和。

　　解：

①上山时间：

11÷4.4=2.5〔小时〕

　　②下山时间：

11÷5.5=2〔小时〕

　　五、基准数平均数

　　例7中关村三小有15名同学参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别为93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每个人平均每分钟跳绳多少个？

　　分析从他们每人跳绳的个数可以看出，每人跳绳的个数很接近，所以可以选择其中一个数90做为基准数，再找出每个加数与这个基准数的差.大于基准数的差作为加数，如93＝90+3，3作为加数；小于基准数的差作为减数，如87=90-3，3作为减数.把这些差累计起来，用和数的项数乘以基准数，加上累计差，再除以和数的个数就可以算出结果。

　　解：

①跳绳总个数。

　　93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89

　　=90×15+〔3+4+2+4+1+2+3〕-〔5+4+2+2+1+4+1〕

　　=1350+19-19

　　=1350〔个〕

　　②每人平均每分钟跳多少个？

　　1350÷15=90〔个〕

　　答：

每人平均每分钟跳90个.

习题

　　1.某次数学考试，甲乙的成绩和是184分，乙丙的成绩和是187分，丙丁的成绩和是188分，甲比丁多1分，问甲、乙、丙、丁各多少分？

　　2.求1962、1973、1981、1994、2005的平均数。

　　3.缝纫机厂第一季度平均每月生产缝纫机750台，第二季度生产的是第一季度生产的2倍多66台，下半年平均月生产1200台，求这个厂一年的平均月产量。

　　4.甲种糖每千克8.8元，乙种糖每千克7.2元，用甲种糖5千克和多少乙种糖混合，才能使每千克糖的价钱为8.2元？

　　5.7个连续偶数的和是1988，求这7个连续偶数。

　　6.6个学生的年龄正好是连续自然数，他们的年龄和与小明爸爸的年龄一样，7个人年龄一共是126岁，求这6个学生各几岁？

　　7.食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到十种不同的重量〔千克〕：

　　47、50、51、52、53、54、55、57、58、59.问这五只羊各重多少千克？

　解答

　　1.∵甲+乙=184〔1〕

　　乙+丙=187〔2〕

　　丙+丁=188〔3〕

　　〔2〕-〔1〕丙-甲=3〔4〕

　　〔3〕-〔4〕丁+甲=185

　　∴甲=〔185+1〕÷2=93〔分〕

　　丁=93-1=92〔分〕

　　乙=184-93=91〔分〕

　　丙=187-91=96〔分〕

　　答：

甲、乙、丙、丁的成绩分别为93分、91分、96分、和92分。

　　2.1962+1973＋1981+1994+2005

　　=1981×5+〔13+24〕-〔8＋19〕

　　=9915。

　　9915÷5＝1983。

　　3.①上半年总产量：

　　750×3+750×3×2＋66=6816〔台〕

　　②下半年总产量：

1200×6=7200〔台〕

　　③平均月产量：

〔6816＋7200〕÷12=1168〔台〕

　　答：

平均月产量是1168台。

　　4.〔8.8-8.2〕×5÷〔8.2-7.2〕=3〔千克〕

　　答：

与乙种糖3千克混合。

　　5.分析奇数个偶数的和，可以用和除以个数求出中间数，再求出其他各偶数。

　　中间数：

1988÷7=284

　　其他六个数分别为278、280、282、284、286、288、290。

　　答：

这7个偶数分别为：

278、280、282、284、286、288、290。

　　6.分析6个孩子年龄和与小明爸爸年龄一样，说明小明爸爸年龄是126岁的一半，是63岁.其他6个学生的年龄和也是63岁.63÷3＝21〔岁〕，21=10＋11为中间两个数，所以其他四人年龄依次为8、9、12、13岁。

　　答：

这六个学生的年龄分别为：

8、9、10、11、12、13岁。

　　7.解：

设5只羊的重量从轻到重依次为A1、A2、A3、A4、A5.A1+A2=47，A1+A3=50……A3+A5=58，A4+A5=59.10次称重5只羊各称过4次，所以它们的重量和应是：

　　A1＋A2＋A3＋A4＋A5

　　=〔47+50+51＋52＋53+54+55+57+58+59〕÷4=134

　　A3=134-〔A1+A2〕-〔A4+A5〕=28

　　A1＝50-28＝22A2＝47-22＝25

　　A5＝58-28=30A4=59-30=29

　　答：

这5只羊的重量分别为22千克、25千克、28千克、29千克、30千克.

和差问题

　　和差问题是大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

　　为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同表达方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏〞起来，我们管暗藏的差叫“暗差〞。

　　例：

“把姐姐的铅笔拿出3支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.〞这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差3支。

　　再例：

“把姐姐的铅笔给弟弟3支后，两人铅笔支数就同样多.〞×2=6支，就是暗差。

　　“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支〞，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多3×2＋1＝7〔支〕。

例1两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？

　　分析这样想：

假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重150＋8＝158〔千克〕；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8＝142〔千克〕.

　　解法1：

①第二筐重多少千克？

　　〔150-8〕÷2=71〔千克〕

　　②第一筐重多少千克？

　　71＋8=79〔千克〕

　　或150-71=79〔千克〕

　　解法2：

①第一筐重多少千克？

　　〔150+8〕÷2＝79〔千克〕

　　②第二筐重多少千克？

　　79-8=71〔千克〕

　　或150-79=71〔千克〕

　　答：

第一筐重79千克，第二筐重71千克。

例2今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？

　　分析题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28〔岁〕.不管过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。

　　解：

①爸爸的年龄：

　　[58＋〔35-7〕]÷2

　　=[58＋28]÷2

　　=86÷2

　　=43〔岁〕

　　②小强的年龄：

　　58-43＝15〔岁〕

　　答：

当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。

例3小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？

　　分析解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.

　　解：

①语文和数学成绩之和是多少分？

　　94×2＝188〔分〕

　　②数学得多少分？

　　〔188+8〕÷2＝196÷2=98〔分〕

　　③语文得多少分？

　　〔188-8〕÷2=180÷2=90〔分〕

　　或98-8=90〔分〕

　　答：

小明期末考试语文得90分，数学得98分.

例4甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？

　　分析这样想：

甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多32×2+48＝112〔人〕.112是两校人数差。

　　解：

①乙校原有的学生：

　　〔864-32×2-48〕÷2＝376〔人〕

　　②甲校原有学生：

　　864-376=488〔人〕

　　答：

甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。

　　小结：

从以上4个例题可以看出题目给的条件虽然不同，但是解题思路和解题方法是一致的.和差问题的一般解题规律是：

　　〔和+差〕÷2=较大数较大数-差=较小数

　　或〔和-差〕÷2=较小数较小数+差=较大数

　　也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.

　　下面我们用和差问题的思路来解答一个数学问题。

例5在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。

　　123456789=5

　　分析这样想：

从1至9这几个数字相加是不会得到5的，只能从一局部数字相加再减去一局部字后差是5，也就是说1到9的和是45，而两局部的差是5，先要求出这两局部数字，利用和差问题的方法便可以求出。

　　〔45-5〕÷2=20，20+5=25

“+〞号，而在组成和是20的几个数前面添上“-〞号，此题就算出来了。

　　例如：

5+6+9=20可得到。

　　1+2+3+4-5-6+7+8-9=5

　　又如：

5+7+8=20可得到。

　　1+2+3+4-5+6-7-8+9=5

　　又如：

3+4+6+7=20可得到。

　　1+2-3-4+5-6-7+8+9=5

　　同学们，这道题你还有其他解法吗？

试试看！

习题

　　1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？

　　2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？

　　3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？

　　4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？

　　5.甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？

　　6.三个物体平均重量是31千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？

　　7.甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人参加乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？

　　8.四年级有3个班，如果把甲班的1名学生调整到乙班，两班人数相等；如果把乙班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人，问甲班和丙班哪班人数多？

多几人？

　　解答

　　1.桃树的棵树：

〔150+20〕÷2=85〔棵〕梨树的棵树：

150-85=65〔棵〕

　　答：

有桃树85棵，梨树65棵。

　　2.甲桶油重：

〔30+6×2〕÷2=21〔千克〕乙桶油重：

30-21=9〔千克〕

　　答：

甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。

　　3.锡的重量：

〔500-100〕÷2=200〔千克〕铝的重量：

500-200=300〔千克〕

　　答：

锡重量是300千克，铝的重量是200千克。

　　4.今年的产值：

〔96×2+10〕÷2=101〔万元〕去年的产值：

101-10=91〔万元〕

　　答：

今年的产值是101万元，去年的产值是91万元。

　　5.乙校原有人数：

　　[1245-〔20×2+5〕]÷2=600〔人〕

　　甲校原有人数：

1245-600＝645〔人〕

　　答：

甲校原有学生645人，乙校原有学生600人。

　　6.三个物体的总重量：

31×3=93〔千克〕

　　甲物体的重量：

〔93-1〕÷2=46〔千克〕

　　丙物体的重量：

〔93-46-2〕÷〔2+1〕=15〔千克〕

　　乙物体的重量：

93-46-15=32〔千克〕

　　答：

甲、乙、丙三个物体的重量分别为46千克、32千克、15千克。

　　7.甲队原有人数：

　　〔285×2+24+198O〕÷2=1287〔人〕

　　乙队原有人数：

1287-594=693〔人〕

　　答：

甲队原有1287人，乙队原有693人。

8.解〔略〕，答：

甲班比丙班人数多，多2名学生.

和倍问题

　　和倍问题是大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

　　分析设乙班的图书本数为1份，那么甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下列图表示它们的关系：

　　解：

乙班：

160÷〔3+1〕=40〔本〕

　　甲班：

40×3=120〔本〕

　　或160-40=120〔本〕

　　答：

甲班有图书120本，乙班有图书40本。

　　这道应用题解答完了，怎样验算呢？

　　可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，说明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。

　　验算：

120＋40=160〔本〕

　　120÷40=3〔倍〕。

例2甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？

　　分析解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比拟，可以求出甲班给乙班多少本书〔见上图〕。

　　解：

①甲、乙两班共有图书的本数是：

　　30＋120=150〔本〕

　　②甲班给乙班假设干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：

　　2＋1＝3〔倍〕

　　③乙班现有的图书本数是：

150÷3=50〔本〕

　　④甲班给乙班图书本数是：

50-30=20〔本〕

　　综合算式：

　　〔30＋120〕÷〔2+1〕=50〔本〕

　　50-30=20〔本〕

　　答：

甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。

　　验算：

〔120-20〕÷〔30+20〕＝2〔倍〕

　　〔120-20〕+〔30+20〕＝150〔本〕。

例3光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

　　分析把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍〔见下列图〕。

　　解：

①女生人数：

〔760＋40〕÷〔3＋1〕=200〔人〕

　　②男生人数：

200×3-40=560〔人〕

　　或760-200=560〔人〕

　　答：

男生有560人，女生有200人。

　　验算：

560＋200=760〔人〕

　　〔560+40〕÷200=3〔倍〕。

例4果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

　　分析下列图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比拟、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树那么变为552+20-12=560〔棵〕，相当于梨树棵数的4倍。

　　解：

①梨树的棵数：

　　〔552＋20-12〕÷〔1＋1＋2〕

　　=560÷4=140〔棵〕

　　②桃树的棵数：

140×2＋12=292〔棵〕

　　③苹果树的棵数：

140-20=120〔棵〕

　　答：

桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。

例5549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，那么4个数相等.求4个数各是多少？

　　分析上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，再分别求出其他各数。

　　解：

①丙数是：

〔549＋2-2〕÷〔2＋2＋1＋4〕

　　=549÷9

　　=61

　　②甲数是：

61×2-2=120

　　③乙数是：

61×2＋2=124

　　④丁数是：

61×4=244

　　验算：

120+124＋61+244=549

　　120＋2=122124-2=122

　　61×2＝122244÷2＝122

　　答：

甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.

习题

　　1.小明和小强共有图书120本，小强的图书本数是小明的2倍，他们两人各有图书多少本？

　　2.果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？

　　3.一个长方形，周长是30厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积。

　　4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

　　5.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？

　　6.有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米？

　解答

　　1.①小明的本数：

120÷〔2＋1〕=40〔本〕.②小强的本数：

40×2=80〔本〕。

　　2.①杏树的棵数：

〔340-20〕÷〔3＋1〕=80〔棵〕.②桃树的棵数：

80×3＋20=260〔棵〕。

　　3.①长方形的宽：

〔30÷2〕÷〔2＋1〕=5〔厘米〕.②长方形的长：

5×2=10〔厘米〕。

　　③长方形的面积：

10×5=50〔平方厘米〕。

　　4.①甲、乙两水池共有水：

　　2600＋1200=3800〔立方米〕

　　②甲水池剩下的水：

　　3800÷〔4+1〕=760〔立方米〕

　　③甲水池流入乙水池中的水：

　　2600-760=1840〔立方米〕

　　④经过的时间〔分钟〕：

1840÷23＝80〔分钟〕。

　　5.①甲、乙两桶油总重量：

　　470+190=660〔千克〕：

　　②当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：

　　660÷〔2+1〕=220〔千克〕：

　　③由甲桶倒入乙桶中的油：

220-190=30〔千克〕。

　　6.①变化后的绳子总长95-7＋8=96〔米〕.②第二条绳长：

96÷〔1＋1+1〕=32〔米〕。

　　③第一条绳长：

32＋7=39〔米〕。

　　④第三条绳长：

32-8=24〔米〕.