九年级数学上册 第二十九章相似形教案 冀教版.docx

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九年级数学上册第二十九章相似形教案冀教版

2019-2020年九年级数学上册第二十九章相似形教案冀教版

【概述】

1．通过丰富的实例，经历认识相似形的过程，并通过观察与思考、操作、交流、类比、归纳等活动，进一步培养学生的空间观念．

2．了解线段的比的概念，了解成比例线段以及比例的基本性质，通过建筑、艺术等方面的实例了解黄金分割．

3．通过观察、操作使学生了解相似三角形的概念，经历两个三角形相似条件的探索过程，掌握两个三角形相似的条件，会利用两个三角形相似的条件判断两个三角形相似．

4．经历探索相似三角形性质的过程，掌握相似三角形的性质，会利用相似三角形的性质解决一些实际问题．

5．了解相似多边形，经历探索相似多边形性质的过程，知道相似多边形的对应边成比例，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

6．了解图形的位似，会利用尺规，根据作位似图形的方法将一个图形放大或缩小，以及利用图形的位似解决一些实际问题．

29．1形状相同的图形

[学习目标解读]

1．通过对丰富实例的观察、思考，经历认识形状相同的图形的过程．

2．在学习活动中，通过学生主动观察、操作、比较、归纳，以及相互交流，提高他们的数学思考，发展探索精神和与他人合作的意识．

[重点问题解析]

例1．下列图形中形状相同的图形是（　　）．

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　D．

答：

A

2．把你认为形状相同的图形用线连起来．

[综合能力测评]

1.在如图所示的四组图形中，哪些组的两个图形看上去形状相同？

2．我们学过很多几何图形，你认为哪些类型的图形一定都是形状相同的呢？

例：

所有的等边三角形都是形状相同的图形.请你再举出几个这样的例子.

3．从望远镜中看到的物体与原来的实物的形状相同吗？

4.你看到过哈哈镜吗？

你在哈哈镜中的形象与你本人是否相同？

5.如图，在ΔABC中，取AB的中点D，取AC的中点E，连结DE，得到ΔADE，那么ΔADE与ΔABC的形状相同吗？

若再分别取AD、AE的中点M、N，连结MN,得到ΔAMN，那么ΔAMN与ΔABC的形状相同吗？

请画出图形观察后回答.

6.在图中，找出你认为形状相同的图形，用线连起来.

[实践活动探究]

1.在图的直角坐标系中，描出下列各点：

A（4，0）、B（7，0）、C（5，4）、D（2，4）.

（1）用线段顺次连结A，B，C，D，A，得到一个图形.

（2）把上面四个点的横、纵坐标都乘，描出对应的点，再用线段顺次连结各对应点，得到一个图形.（3）这两个图形的形状是否相同？

2.如图,在格点图中有一个四边形，请你在此格点图中画一个与该四边形形状相同的四边形，并和你的同伴交流一下，怎样画才能做到又快又好？

29．2比例线段

[学习目标解读]

1．了解线段的比和成比例线段的概念，知道两条线段的比与所采用的度量单位

无关．

2．理解并掌握比例的基本性质，了解比例中项的概念．

3．了解黄金分割，会利用比例的基本性质解决一些简单的问题．

[重点问题解析]

例如图：

平面图得比例尺是1∶5000，根据图中所示的尺寸（单位：

厘米），求围墙的长度

解：

设围墙的实际长度为xcm，∵围墙的图上长度是：

2+4+2.6+4.5=13.1

根据题意：

1：

5000=13.1：

x∴解得x=65500

答：

围墙的实际长度是655米．

[课堂自我测评]

一．填空题

1．若5，3，10的第四比例项是x，则x的值是.

2．、、的第四比例项是.

3.a、b、c、的第四比例项是.

4.线段AB=12cm,点C在线段AB上，且AC=40mm,则AC：

AB=.

5.已知：

a=4、b=5，则a、b的比例中项是.

6.若=，则=.

7.如果=，那么=；如果==，那么=.

二．选择题

1.下列各组线段中，不成比例的是（）

A．a=6mm,b=8mm,c=15mm,d=10mm

B．a=7cm,b=4cm,c=0.7cm,d=0.4mm

C．a=5dm,b=3dm,c=5dm,d=3dm

D．a=0.3m,b=1.5m,c=0.6m,d=3m

2.丽水市第一座横跨瓯江的单塔斜拉式大桥——紫金大桥正在建造中，在比例尺为1：

500的图纸上，大桥的长度约为1.04米，则大桥的实际长度是（）

A.104米B.1040米C.5200米D.520米

3.把长度为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段的长度是（）

A.B.10-5C.15-5D.15-10

4.若=，且2y-x=5,则x+y的值为

（）A.3B.5C.7D.9

5.如果==≠0，那么的值是（）

A.7B.8C.9D.10

6.已知，在RT△ABC中，∠BAC=90。

，D为BC的中点，则AD:

BC等于（）

A.1：

2B.1：

3C.2：

3D.不能确定

7.等边三角形的一边与这一边上的高的比是（）

A.：

2B.:

1C.2：

D.1：

8.若三角形三边长为2、3、4，它个边上的高依次是x、y、r，则x：

y：

r等于（）

A.1：

2：

3B.2：

3：

4C.3：

4：

6D.6：

4：

3

9.正方形ABCD中，E是AB上任意一点，作EF⊥BD于F，则EF：

BE为（）

A.1：

2B.1:

C.：

D.不能确定

10.若k===，则k的值为（）

A.或-1B.C.-1D.

11.已知：

线段a＝3，b＝6，c＝4，那么下面说法正确的是（　）

A.a、b、c的第四比例项是a＋b　　B.a、b、c的第四比例项是（2a＋3b）　

C.a、b的比例中项是c　

D.线段2a是线段b、c的比例中项。

[综合能力测评]

1.如图,在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=45°，斜边AB=2，求，，.

2.延长线段AB到C，使BC=2AB，求

（1）AC：

AB；

（2）AB：

BC；（3）BC：

AC.

3.A、B两地的实际距离AB=250m,画在图上的距离A´B´=5cm,则图上的距离与实际距离的比是多少？

4.在比例尺是1：

25的图纸上画出一个零件的长度是20mm，请你求这个零件的实际长度是多少mm？

5.已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项.第三个数可能是多少？

[实践活动探究]

1.已知：

线段a=1，b=，c=.试说明b是a、c的比例中项.

2.已知C是线段AB的黄金分割点，≈0.618,求的近似值.

29．3相似三角形

[学习目标解读]

1．经历相似三角形、相似比概念的形成过程，了解相似三角形的含义．

2．了解表示两个相似三角形的方法，体会成比例线段与相似三角形之间的内在联系

3．在学习活动中，注意引导学生主动观察、操作、归纳，发展他们的概括能力，提高他们

进行数学思考的意识和能力．

[重点问题解析]

例一个钢筋三角架的三边长为40cm，100cm，120cm，现要做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm、50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，问有几种不同截法？

试说出来.

解：

当30cm的钢筋为最长边时，设其余两边的长分别为xcm、ycm，由相似三角形的定义可知：

==，∴x=10（cm），y=25（cm）.

当30cm的钢筋为次长边时，设其余两边的长分别为xcm、ycm，则==，∴x=12（cm），y=36（cm）.

[课堂自我测评]

一．填空题

三角形甲的各边之比为2：

5：

6，和它相似的一个三角形乙的最长边为24，则三角形乙的最短边为，周长为.

二．选择题

1．已知：

△ABC∽△A＇B＇C＇，∠A=45°∠B=105°,则∠C＇的度数是（）

A．30。

B．45。

C．30。

或45。

D．75。

2.△ABC∽△A1B1C1且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）

A．B．C．或D．

[综合能力测评]

1.如图，△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC与E，用刻度尺量一量，判断△ADE和△ABC是否相似.

2.在右图中，AB∥CF,根据图中标出的数据判断△ABE和△FCE是否相似。

3.已知：

ΔABC的三边长分别为5、12、15，和ΔABC相似的ΔA´B´C´的最大边长为30，求ΔA´B´C´的另两条边长和周长.

4.如图,ΔABC∽ΔADE，AD=7，AB=10.5，DE=4，求BC的长.

5.如图,△ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结ED，则△AED与△ABC的相似吗？

请说明理由.若相似，相似比是多少？

6.如图，，已知ΔADE∽ΔABC，且AB=16，AD=10，BC=14，求DE的长.

7.已知ΔABC∽ΔA1B1C1，ΔA1B1C1∽ΔA2B2C2.试说明ΔABC∽ΔA2B2C2.

[实践活动探究]

如图，已知ΔAEF∽ΔABC，ΔCDF∽ΔCBA.

（1）试说明四边形EBDF为平行四边形.

（2）若AE=1.8厘米，BE=1.2厘米，CD=1.4厘米，求BD的长.

29．4三角形相似的条件

（一）

[学习目标解读]

经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养善于观察、动手操作、猜想、研究问题的习惯．

[重点问题解析]

例

（1）如图①，可以算出一个正方形的对角线长为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？

（2）根据图②，求证：

△BCE∽△BED

（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明：

①∠BEC+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°③∠BEC+∠DFE=45°．

解：

1）n个正方形时，对角线长为

（2）因为BE=，BC=1，BD=2，所以．

又∠EBC=∠DBE，所以△BCE∽△BED．

（3）②∠BEC+∠BED=45°③∠BEC+∠DFE=45°都正确．

选②证明如下．由△BCE∽△BED得∠BED=∠BCE，

∠BCE+∠BEC=∠ABE=45°，所以∠BEC+∠BED=45°．

[课堂自我测评]

一.判断题：

（1）三个角对应相等的两个三角形必相似.（）

（2）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（）

（3）有一个底角相等的两个等腰三角形相似.（）

（4）有一个角是100°的两个等腰三角形相似.（）

（5）一个角等于其它两个角之和的两个等腰三角形相似.（）

（6）在△ABC和△A＇B＇C＇中，若∠B=∠B＇=75°、∠C=50°、∠A＇=55°，

则△ABC∽△A＇B＇C＇.（）

（7）三角形的一条中位线截出的三角形与原三角形相似.（）

二．填空题

1.如图，在RtΔABC中，CD是斜边上的高，则∽∽.

2.如图，DE∥AC,AD=0.7,AB=2.1,DE=3,则AC=.

三．选择题

如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，则和ΔABC相似的三角形有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

[综合能力测评]

1.如图，已知DG∥EH∥FI∥BC，请写出图中所有相似的三角形.

2.判断下列各组中的两个三角形是否相似，并简单说明理由.

（1）在ΔABC中，∠B是直角，∠A=30°；

在ΔA´B´C´中，∠B´是直角，∠C´=60°.

（2）ΔABC与ΔA´B´C´中，∠B=∠B´=75°，∠C=50°，∠A´=55°.

3.如图，已知：

∠B=∠ADE.试说明ΔADE∽ΔABC.

4.如图，四边形ABCD是老王家的一个养鱼池，已知∠A=∠C=90°，∠D=120°，AD=54m，DC=36m，为确定放养鱼苗的数量，需先算出它的面积，请你帮他计算一下.（精确到1米2）

5.已知；如图,RtΔABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M.

（1）试说明ΔAMN∽ΔACB.

（2）若AM=8cm,AC=AB,求AN的长.

6.如图，已知：

∠BDF=∠CEF，试说明ΔABE∽ΔACD.

7.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.试说明△ADE∽△EFC．

8.如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，F是AB上的点，连结DF并延长交CB的延长线于点G，交AC于点E.观察图形，请写出4对以上的相似三角形，并从你所写的相似三角形中任选一对说明理由.

[实践活动探究]

1.为防水患，在漓江上游修筑了防洪堤，其截面为一梯形，如图,堤的上底宽AD和堤高DF都是6米，其中∠B=∠CDF.

（1）求证：

ΔABE∽ΔCDF；

（2）若AE：

BE=2：

1，求堤的下底BC的长.

2.如图，ΔABC中，∠B=∠CAM，MN∥AC.

（1）试说明ΔBMN∽ΔACM；

（2）试说明ΔACM∽ΔBCA；

（3）若BM=10cm，MC=8cm，试求MN的长.

29．4三角形相似的条件

（二）

[学习目标解读]

初步掌握两个三角形相似的判断条件，并能够运用三角形相似的判断方法解决一些简单

的问题，进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识．

[重点问题解析]

例如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，请你说明当CM的长为多少时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似？

解：

因为，由勾股定理可得：

．分两种情况：

（1）当，即，时，△AED∽△CMN．

（2），即，时，△AED∽△CNM．

[课堂自我测评]

一．

填空题

如图，在ΔABC中，点P在AB上，以下给出了四个条件：

①∠ＡＣＰ＝∠B　②∠ＡＰＣ＝∠ＡＣB　

③ＡＣ：

ＡＢ＝ＡＰ：

ＡＣ④ＰＣ：

ＢＣ＝ＡＣ：

ＡＢ

条件能保证△ＡＣＰ∽△ＡＢＣ.　　　　

二．

选择题

1.如图，ΔABC中，D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件中：

①∠AED=∠B；②=；

③=，能够判断ΔADE∽ΔABC相似的是（）

A．①B．①②C．①③D．①②③

2.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC∽△PQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

3.如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC上一点，下列条件中，不能推出ΔABP∽ΔECP相似的是（）

A．∠APB=∠EPCB．∠APE=90°

C．BP：

BC=2：

3D．P是BC的中点.

4.如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=3，若在边DC上有点P使ΔPAD与ΔPBC相似，则这样的点P有（）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

[综合能力测评]

1.根据下列各组条件，判定ΔABC与ΔA´B´C´是不是相似，并说明理由.

（1）∠A=65°,AB=7厘米，AC=14厘米，∠A´=65°，A´B´=3厘米，A´C´=6厘米；

（2）AB=12厘米，BC＝15厘米，AC=24厘米，A´B´=20厘米，B´C´=15厘米，A´C´=40厘米．

2.ΔABC中，∠A=47°，AB=1.5cm,AC=2cm,

ΔDEF中，∠E=47°，ED=2.8cm,EF=2.1cm.

这两个三角形相似吗？

为什么？

如果相似，写出表示式.

3.小明画了如图，的两个三角形，现在想使△ABC∽△AＤE，只能添加一个条件，请你说说你的添加方案和理由。

4.已知：

如图，AB∥DE，BC∥EF，试说明ΔOAC∽ΔODF.

5.如图，D、E、F分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，试说明ΔDEF∽ΔABC.

6.如图，已知：

AD·AC=AE·AB，试说明ΔAED∽ACB.

[实践活动探究]

1.如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b,CB=a,当BD与a、b之间满足怎样的关系时，ΔACB∽ΔCBD?

2.如图，正方形ABCD边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动，当DM等于多少时，ΔABE与以D、M、N为顶点的三角形相似?

29．5相似三角形的性质

[学习目标解读]

1．经历探索相似三角形性质的过程，理解并掌握两个相似三角形周长的比等于它们的相似

比；对应高的比等于它们的相似比；面积的比等于它们相似比的平方．

2．能利用相似三角形的性质解决一些简单的问题．

3．在探究相似三角形性质的过程中发展学生积极的情感、态度，体会前后知识的联系及解决问题的多样性．

[重点问题解析]

例如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为．

探究与计算：

（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为；

（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为．

猜想与证明：

如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？

并对你的猜想进行证明．

解：

探究与计算：

（1）；

（2）．猜想与证明：

若

三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内

接于△ABC，正方形的边长是．证明如下：

如图5，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点

M．设小正方形的边长为x．∵四边形GDEF为矩形，

∴GF

∥AB．CM⊥GF．容易算出．∴．

即

．∴x=．即小正方形的边长是．

[课堂自我测评]

一．填空题

1.相似三角形的周长比等于；对应高的比等于；对应中线的比等于；对应角平分线的比等于；面积比等于；

2．如果两个相似三角形对应高分别是2cm,3cm,那么它们的面积比是.

3.两个相似三角形的面积比是4:

25，那么它们的周长比为：

.

4．如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高m（杆的粗细忽略不计）。

5.在ΔABC和ΔBED中,===，且ΔABC和ΔBED的周长之差为10cm,则ΔABC的周长为cm.

6.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB。

（1）此图中共有三个三角形相似，它们是.

（2）当△ABC∽△ACD时，=，所以AC2=。

（3）当△ABC∽△CBD时，有：

BC2=.

（4）当△ACD∽△CBD时，有：

CD2=.

7.在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为________.

二．

选择题

1.如果两个等腰直角三角形斜边的比是1：

2，那么它们面积的比是（）

A.1：

1B.1：

C.1：

2D.1：

4

2．如图，DE是ΔABC的中位线，则ΔADE与ΔABC的面积之比是（）

A．1:

1B．1:

2C．1:

3D．1:

4

3.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点连线围成的三角形铺成黑色大理石，其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积比是（）

A.1：

4B.4：

1C.1：

3D.3：

4

4．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD=（）

A．2B.4C.D.3

[综合能力测评]

1.古时候，有赵、李两个庄主，赵庄主的土地大约是李庄主的4倍，土地的形状都接近正方形，有一天两个庄主打赌，李庄主说：

“我骑马围着自己的土地跑一圈，要一个半小时，围你的土地跑一圈三个半小时足够”。

赵庄主不信，说：

“如果你三个半小时前跑回来，我这个庄园归你，如果你三个半小时跑不回来，那么你的庄园归我”。

李庄主说：

“一言为定”。

然后就催马而去，你知道谁是胜利者吗？

请说说理由.

2.两个相似三角形的一对对边长分别是35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，求这两个三角形的周长.

3.如图,D为△ABC中AB边上一点，∠ACD＝∠ABC.

试说明：

AC2＝AD·AB

[实践活动探究]

1.已知：

如图，ΔCDE是等边三角形，∠ACB=120°.

（1）求证：

ΔACD∽ΔBCE

（2）AD·EB=DE2.

2.已知如图，E是四边形ABCD的对角线上的一点，且AB︰AE＝AC︰AD，∠１＝∠２，试说明∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ．

29．6相似多边形及其性质

[学习目标解读]

1．了解相似多边形的概念，知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例，以及表示两个

相似多边形的方法．

2．经历探究相似多边形性质的过程，知道相似多边形周长的比等于它们的相似比，面积的

比等于它们的相似比的平方．

3．理解并初步掌握相似多边形的性质，并能用来解决一些简单的问题．

[重点问题解析]

例一矩形ABCD花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等，如果花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A1B1C1D1能与矩形ABCD相似？

请说明理由

解：

两个矩形相似只需对应边成比例，由题意得：

所以20（30+2x）=30（30+2y）

解得

[课堂自我测评]

一．填空题

一个多边形的边长依次为1、2、3、4、5、6，与它相似的另一个多边形的最大边为8，那么另一个多边形的周长为.

二．选择题

1.下列说法正确的是（　　　）

A.　所有的矩形都相似　　B.所有的菱形都相似　　

C.所有的等腰梯形都相似　　D.所有的正方形都相似

2.若作业本的一页纸整张和半张是相似的，则作业本的长和宽的比是（）

A．2：

1B．4：

1C．：

1D．1.5:

1

[综合能力测评]

1.如图，正方形的边长a=10,菱形的边长b=5，它们相似吗？

请说明理由.

2.已知：

四边形ABCD∽四边形A´B´C´D´，且AB=4cm,A´B´=7cm,四边形A´B´C´D´的周长和面积分别为56cm和147cm2，求四边形ABCD的周长和面积.

3.已知：

五边形ABCDE∽五边形A´B´C´D´E´，它们的面积比为4：

9，周长的和是200厘米，求这两个五边形的周长.

4.已知：

六边形ABCDEF∽六边形A´B´C´D´E´F´，它们的相似比为3：

2，面积之差是25，求这两个六边形的面积.

5.已知：

如图,四边形ABCD相似于四边形EFGH，求未知边ｘ、ｙ的长度和角度α的大小。

6.已知：

如图,四边形ABCD相似于四边形EFGH，求四边形EFGH的周长.

[实践活动探究]

已知：

如图,四边形ABCD相似于四边形EFGH.求

（1）∠A；

（2）EF.

29．7位似图形

[学习目标解读]

1．了解位似图形及其有关的概念，知道位似图形是具有特殊位置关系的相似图形．

2．能够利用位似图形选择恰当的方法将一个图形进行放大或缩小．

3．能够利用图形的位似解