数感及其形成与发展.docx

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数感及其形成与发展

“数感〞及其形成与开展

　　徐文彬喻平

尽管义务教育数学课程标准及其施行〔比方，教科书的编写、课堂教学、甚至教学评价等〕都强调了“数感〞及其重要性，但是在认识上却存在着诸如简单化、泛化、混淆、借用、甚至神秘化等问题。

因此，在明确“数感〞的根本含义及其特征的根底上，讨论“数感〞的形成与开展，应该是开展学生“数感〞的理论认识前提和现实条件；更是在“数感〞根底上进一步开展学生“符号感〞，乃至数学观的必由之路。

一、何谓“数感〞

一旦论及感觉、直觉等与创造性或问题解决相关的问题时，很多人就会有一种莫名的神秘感。

其实，“数感〞并不是什么神秘的东西，它只是我们对数字关系和数字形式的意识，以及运用这种意识灵敏地解决数字问题的才能。

学生具有“数感〞的典型特征就是他们可以对其所面对的数字形式、数字关系和计算过程进展归纳，并可以把新知识和已有知识联络起来[1]。

但是，在我国数学教育理论界，却存在着一些关于“数感〞的不恰当、甚至错误的认识，而这些“误解〞必然会误导数学教育理论。

为了澄清这些“误导〞，就必须首先剖析这些“误解〞，并追问其发生的认识论根源。

譬如，有论者认为：

“‘数感’是对数的‘感悟’。

‘感’是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体〔如感官等〕而不是通过大脑思维，它含有原始的、经历性的成分。

悟是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。

‘感悟’是既通过肢体又通过大脑，因此，既含有感知的成分又有思维的成分。

〞[2]但是，唯物认识论却认为，假如要想从根源上来认识认识和思维，那么，其根源就是感觉，而感觉与知觉〔统称为“感知〞〕那么是认识和思维的初级阶段之详细形式。

认识和思维是主体与客体之间的一种关系，分开了客体，认识与思维是不存在的；即使是以认识与思维本身为认识与思维对象的认识与思维即反思，它也是思维着的思维、或者认识着的认识与被思维的思维、或者被认识的认识之间的主体与客体之间的关系。

因此，现实的人类“大脑思维〞就不仅仅是自身的：

它既是主体自身的、又是主体客体化的。

总之，意识必然是思维的，“数感〞也必然是思维的：

只“通过肢体而不通过大脑思维的〞肯定小可能是“数感〞，也不可能是人的反响性，它只可能是“物质的反响性〞。

由此可见，上述关于“数感〞的所谓“感悟说〞既割裂了人的感性认识与理性认识之间的联络，又简单地把两者粘贴为“数感〞。

与此相近的认识还有：

“从知识的角度来看，数感包括感觉、知觉、观念或是才能等，并可用知识来统一解释。

因此，数感是一种程序性知识，数感又主要是一种内隐性知识，数感又主要是一种非构造性知识。

〞[3]

再譬如，有论者认为[4]：

“狭义的数感就是‘数字感’，即人脑对于数字或数字运算定律的直觉；广义的数感就是数学感，即人脑对于数学对象的直觉。

而且数感还具有3个根本特征：

直觉性——非逻辑性、自动性，内隐性——理解性、抽象性、实用性，开展性——天赋性、层次性、可学性。

〞显而易见，该论者泛化了“数感〞的概念及其内容，而且还可以看出其直接借用人们对“美感〞理解的痕迹。

因此，这种关于“数感〞的所谓“直觉说〞既不利于我们对“数感〞的认识，又无助于我们对学生“数感〞的培育。

至于其所归纳的“数感〞的3个根本特征那么不仅需要进一步的实证研究来加以证实或者证伪，而且还存在一些概念间逻辑关系混淆的问题需要澄清：

直觉性、开展性和内隐性之间是什么关系？

开展性中的天赋性与可学性又是什么关系？

持“直觉说〞的阐述还有：

“数感是一种关于数字的直觉，它从数字的所有不同的意义的表述得以表现。

〞[5]“数感〞是一种类似于“语感〞“方向感〞“美感〞和“质感〞等〔关于数〕的“直感〞[6]。

还有论者认为：

“数感是人们在数概念的扩展中而产生的对数学的一种敏感与一般理解。

〞[7]而且这种“敏感与一般理解〞具有如下一些特点[7]：

“

（1）这种敏感与理解是对数字〔量〕的直觉，它帮助人们对数字〔量〕的直感迅速地反响为数学问题，使数学问题从感知层面敏捷地链接到数学思维；

（2）这种敏感与理解是关于数概念的网络构造：

（3）这种敏感与理解具有非算法性、非单一、非确定、非逻辑等特点，其反响时间短，稳定性差，是所需解决的问题与数学思维之间的按钮，其灵敏度与数概念网络构造的个性化有关。

〞这种关于“数感〞的所谓“敏感说〞具有某种神秘性：

“一种敏感〞“一般理解〞等语义不清，容易让人“浮想联翩〞；而且还存在着泛化的倾向：

把对“数概念的扩展〞无限推延至“对数学的一种敏感与一般理解〞。

我们可以设想，假如人们真可以在数概念的扩展中产生所谓的“对数学的一种敏感与一般理解〞，那么这种敏感与理解就不可能是“数感〞，而更可能是数学观。

由此可见，该论者混淆了“数感〞与数学观。

其实，“数感〞可能是数学观的一个有机构成，但绝不可能是数学观本身。

至于其所归纳的“数感〞所具有的特点那么需要更加严格的数学教育心理学等〔实验〕研究来加以证实或者证伪。

详细而言，“数感〞包括“对数字关系和数字形式的意识〞，以及运用这种对数字关系和数字形式的意识“灵敏地解决数字问题的才能〞两个局部内容；其核心是指计算策略中的灵敏性和创造性，而非“没有思维的〞计算程序。

由此可见，“数感〞不仅强调要培养学生的数学理解力，而且强调要培养其积极的学习态度与信心；“数感是一种主动自觉地或自动化地理解和运用数的态度与意识。

数感是人的一种根本的数学素养。

它是建立明确的数概念和有效地进展计算等数学活动的根底，是将数学与现实问题建立联络的桥梁。

〞与此同时，“建立数感可以理解为会‘数学地’考虑〞[8]。

因此，数感……表达的是应用数字的倾向和才能，以及作为交流、加工、解释信息的量化方法。

数感导致人们期待数学有某种规那么[9]。

二、何以形成“数感〞

“数感〞主要在三个领域中起作用：

（1）数字知识和数字的简便性；

（2）运算知识和运算的简便性；（3）把数字和运算的知识及其简便性应用到需要用数字进展推理的问题中[9]。

因此，我们可以从上述这三个领域来考虑“数感〞的形成问题。

1.从“数字知识和数字的简便性〞来看“数感〞的形成

单个数字的识别与学习，是数字知识积累的最初形式。

但是，数字的顺序感可能更为重要：

…，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，…或者反过来。

而“计数〞并非仅仅是指学生们最早体验到的“单向〞计数，而是可以以任何“适宜〞的方式来进展：

可用2，5，10，100〔其实也不排除用3，4，6，7等〕等为间隔来计数，可以从任何一个数字开场向前或向后“数〞……在这种“计数〞过程中，既可以形成数字的顺序感、又可以感觉到多样化的数字的呈现方式，以及数字相对与绝对数量的判断和考虑数字的基准参考体系。

当这些数字关系和数字形式与算术运算相联络的时候，这些数字关系和数字形式就可以促使学生们找到有效的计算策略，从而促进其“数感〞的形成与开展。

“数感〞是高度个性化的产物。

因为“数感〞不仅和学生已有的数字概念相联络，而且也与怎样形成这些数字概念相联络。

因此，随着学生们对数字事实及其之间的互相关系理解的深化，他们的“数感〞也会得到进一步的开展。

在这里，数字应用的不同方式，以及数字应用之间的关系的意识与区分等，是学生形成“数字知识和数字的简便性〞、以及运用“数感〞的关键之所在。

2.从“运算知识和运算的简便性〞来看“数感〞的形成

“数感〞也是一种运用数字和运算法那么进展灵敏运算的才能。

数字与计算之间的联络对学生形成“数感〞具有重大的影响。

?

美国学校数学教育的原那么与标准?

也认为，〔数与运算〕“这一标准的中心是培养学生的数感（NumberSense），就是用100或1/2这样特定的数作参考自然地分解数字的才能，运用从算术运算到问题解决间关系的才能，理解十进制数的才能，估算才能，理解数字含义的才能，以及对数的绝对和相对大小的识别才能〞[10]。

我国学者对“数感与估算之间的关系〞也进展过实证研究[11]：

“数感只是在一定程度上依赖于估算，同时它也受问题特点等诸多因素的影响；不同估算才能下的儿童在做数感类题时使用的策略相当多，而且有所侧重，但大多数情况下都选择有效性中等程度的策略；不同估算程度纯熟程度的儿童在对数感错误类型的影响〔方面〕存在较为明显的差异。

〞这项研究结果告诉我们，“数感〞的形成与“估算〞之间不是一个简单的一一对应关系，而是有着非常复杂的非线性关系。

但是，就“运算知识和运算的简便性〞而言，其核心应该是，理解运算结果，意识到所运用的运算规那么，以及运算之间的关系。

对运算结果的理解可能意味着对“标准运算程序〞的掌握甚至纯熟：

而对所运用的运算规那么的意识那么更加意味着对“标准运算程序〞的熟悉甚至对不同“标准运算程序〞之间关系的意识与区分；对各种运算之间的关系的意识那么必然意味着对所运用的运算规那么的“烂熟于心〞，而且还可能意味着对数字关系和数字形式与运算程序之间关系的把握。

由于“运算知识和运算的简便性〞主要来自对运算的标准程序的熟悉和不同标准运算程序之间关系的比拟、意识与区分，所以，应用标准的计算程序可能不如根据“数感〞来选择合适的计算策略更为快捷与有效。

反之，在一定程度上，计算策略的快捷与有效也反映了“数感〞的形成状态与开展程度。

3.从“把数字和运算的知识及其简便性应用到需要用数字进展推理的问题中〞来看“数感〞的形成

由此可见，“数感〞的形成是一个“对数字关系和数字形式的意识〞与运用这种意识“灵敏地解决数字问题的才能〞互相影响甚至互相制约的动态过程：

互为根底、互为补充、互相促进、共同开展，并进而促使学生一般数学才能〔即我们通常所指的3大才能：

计算才能、逻辑推理才能和空间想象才能〕得到提升。

在解决“需要用数字进展推理的问题〞时，关键是要在整合“数字知识和数字的简便性〞与“运算知识和运算的简便性〞的根底上，形成或获得以下这些理解力、意识和倾向：

（1）理解问题情境与适宜的解题策略之间的关系；

（2）意识到存在多样化的数字呈现方式；（3）应用有效呈现和〔或〕方法的倾向；（4）检验数据和结果的倾向。

“理解问题情境与适宜的解题策略之间的关系〞是实际解决“数字推理〞问题的第一步，而这就需要对问题所蕴含的数字形式或关系与数字运算之间关系的意识与区分。

但是，仅仅如此还不够。

因为假如没有适宜的“数字呈现方式〞，问题的解决也可能只存在于设想的思想当中，而不是实现于实际的详细运算操作程序当中。

要做到实际地解决问题就需要对同样的数字及其关系的不同呈现方式的比拟、意识与选择，以及应用有效呈现和〔或〕方法的倾向。

在详细施行所选择的解决问题的策略之前甚至当中，由于我们无法保证实际解决结果的正确性和完备性，所以，“检验数据和结果的倾向〞应该是一个不可或缺的必要环节。

在解决“数字推理〞问题当中，假如我们还可以意识到算术〔运算〕的“代数性质〞即“准变量〞及其表达式[12]、并自觉地运用这种意识于“数感〞的形成当中，那么，我们就由此而迈开了由“数感〞向“符号感〞开展的步伐，并在这个开展过程中体会到众多的数学思想，譬如，推广的思想、转化的思想、抽象化的思想、概括化的思想、化归的思想等等。

表1即是一个反映“符号感〞的形成状态与开展程度的研究实例，它是南京师范大学数学专业67名4年级学生对“〔n+1〕2-n2〞的鉴赏结果统计表[13]。

表1　学生对“〔n+1〕2-n2〞的鉴赏结果统计

注：

这里的鉴赏结果其实反映了鉴赏者对“〔n+1〕2-n2〞的意识以及运用这种意识的才能，即“符号感〞。

三、何以开展“数感〞

由上述分析可知，培育和开展学生“数感〞的关键是，从熟悉“互相独立的〞标准的计算程序到区分数字形式和数字关系，并在这两者之间建立起联络。

1.从熟悉“互相独立的〞标准计算程序到区分数字形式和数字关系

有关研究说明：

尽管在数学才能上存在“7年间隔〞现象[14]，即一些小学高年级11岁的学生表现出的数学才能并不比7岁孩子的平均才能强，而其他一些11岁的学生那么表现出14岁孩子的平均才能。

但却不能因此给某些学生加之以数学“学习迟钝者〞的称谓。

因为这些所谓数学“学习迟钝者〞可能因区分不出数字之间的互相关系而导致他们最终不得不学习更多的、“没有思维的〞、互相独立的计算程序[15]。

由此可见，假如不可以形成对数字之间的互相关系或形式的意识与区分，那么，对“没有思维的〞、互相独立的、“标准〞计算程序掌握得再多、再纯熟，也不可能进步学生的一般数学才能。

因此，如何引导学生从对“互相独立的〞标准计算程序的熟悉，开展至对其间的数字形式和数字关系的区分，是培养学生“数感〞的关键与根底。

通过逻辑推断和比拟分析，学生们可以体验到“标准计算程序〞中潜在的数字构造，而这种数字构造那么把数字计算和数字形式与数字关系联络在一起。

此外，发生考虑与互相交流〔尤其是同学之间的〕也可以促使学生观察、比拟、归纳不同的“标准计算程序〞，及其与非“标准计算程序〞之间所蕴涵的数字构造——而这同样也把数字计算和数字形式与数字关系联络在一起。

正是在这些逻辑推断和比拟分析，以及发生考虑与同学间的互相交流活动中，学生们开场理解数字和数字构造所起的不同作用，并进而开展其“数感〞。

因此，尽管学生们可能学会了使用假设干标准的计算程序，但是，可以灵敏应用不同方法〔尤其是非“标准计算程序〞方法〕进展数字计算那么是其开展“数感〞的必要条件。

2.建立“标准计算程序〞与“数字形式和数字关系〞之间的联络

在“标准计算程序〞与“数字形式和数字关系〞之间建立联络的有效方法可能是，在数字计算和数字推理中运用“估算〞与猜想策略，以及算法〔尤其是非“标准计算程序〞算法〕多样化策略。

首先，因为“估算〞与猜想在数字计算与数字推理中的运用本身就意味着数字形式和数字关系的存在〔因为“估算〞与猜想不是毫无目的瞎想，而是依赖于一定数字形式和数字关系的思维延续〕，而有意识的运用那么更加深化了学生对这种数字形式与数字关系的理解，以及对〔数字〕运算规律的意识与运用。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

〞我加以肯定说“这是乌云滚滚。

〞当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

〞接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：

“这就是雷声隆隆。

〞一会儿下起了大雨，我问：

“雨下得怎样?

〞幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比拟观察，让幼儿掌握“倾盆大雨〞这个词。

雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：

“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

〞这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。

如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。

通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。

其次，多样化的思想既肯定了“标准计算程序〞的合理性与多样性，也保证了非“标准计算程序〞的存在性与合法性，并促使学生形成对“标准计算程序〞的相对性〔甚至其社会、历史、文化性〕的意识与理解。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：

乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

〞我加以肯定说“这是乌云滚滚。

〞当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

〞接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：

“这就是雷声隆隆。

〞一会儿下起了大雨，我问：

“雨下得怎样?

〞幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比拟观察，让幼儿掌握“倾盆大雨〞这个词。

雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：

“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

〞这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。

如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。

通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。

前文中所提及的算术运算式中数〔字〕的变量特性即“准变量〞及其表达式，以及各种简算、速算、巧算和涉及数字推理的“数列〞“时间〞“比率〞等问题都是“标准计算程序〞与数字形式和数字关系联结的详细方法。

关于此类问题实例众多，此处不再赘言。

与当今“老师〞一称最接近的“老师〞概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问?

示侄孙伯安?

诗云：

“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

〞于是看，宋元时期小学老师被称为“老师〞有案可稽。

清代称主考官也为“老师〞，而一般学堂里的先生那么称为“老师〞或“教习〞。

可见，“老师〞一说是比拟晚的事了。

如今体会，“老师〞的含义比之“老师〞一说，具有资历和学识程度上较低一些的差异。

辛亥革命后，老师与其他官员一样依法令任命，故又称“老师〞为“教员〞。

正如“误解是骗人的，一如理解也是骗人的〞[16]一样，这里关于“数感〞的理解，以及关于“数感〞的形成与开展的认识，也同样可能是另一种“误解〞。

因此，真诚地希望那些被我们认为是误解了“数感〞的论者们不要被我们的理解所欺骗。