高考理科数学通用版二轮专题复习教学案第二部分 板块二 系统热门考点以点带面 解析.docx

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高考理科数学通用版二轮专题复习教学案第二部分板块二系统热门考点以点带面解析

板块

（二）

系统热门考点——以点带面

（一）巧用性质　妙解函数

[速解技法——学一招]

函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，要深刻理解并加以巧妙地运用．

以对称性为例，若函数f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则函数图象关于直线x＝对称；若函数f（x）满足f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则函数图象关于点对称．

[例1]　定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－2）＝－f（x），且在[0,1]上是增函数，则有（　　）

A．f

B．f

C．f

D．f

[解析]　选B　由题设知f（x）＝－f（x－2）＝f（2－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称．

由于奇函数f（x）在[0,1]上是增函数，故f（x）在[－1,0]上也是增函数，

综上，函数f（x）在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数．

又f＝f＝f，

所以f

[例2]　已知函数f（x）＝x3＋sinx的定义域为[－1，1]，若f（log2m）

[解析]　由f（x）＝x3＋sinx的定义域为[－1,1]，

易知f（x）在[－1,1]上单调递增，

由f（log2m）

可得解得

故≤m<2.

综上可知，实数m的取值范围为.

[答案]　

[经典好题——练一手]

1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2＋x）＝－f（2－x），当x<2时，f（x）单调递增，如果x1＋x2<4，且（x1－2）·（x2－2）<0，则f（x1）＋f（x2）的值为（　　）

A．可正可负　　　　　　　　B．可能为0

C．恒大于0D．恒小于0

解析：

选D　由f（2＋x）＝－f（2－x）可知，函数图象关于点（2,0）中心对称．因为x<2时，f（x）单调递增，所以x>2时，f（x）单调递增．因为x1＋x2<4且（x1－2）·（x2－2）<0，设x1<2

2．已知定义在R上的函数f（x）＝2|x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a

C．c

解析：

选C　由函数f（x）＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，故f（x）＝2|x|－1.当x>0时，f（x）为增函数，log0.53＝－log23，∴log25>|－log0.53|>0.

∴b＝f（log25）>a＝f（log0.53）>c＝f（2m）．

3．已知y＝f（x）＋x2是奇函数，且f

（1）＝1.若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.

解析：

由题意得g（－1）＝f（－1）＋2.又f（－1）＋（－1）2＝－[f

（1）＋12]＝－2，所以f（－1）＝－3.

故f（－1）＋2＝－3＋2＝－1，即g（－1）＝－1.

答案：

－1

4．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x＋2）＝f（x）．当x∈[0,1]时，f（x）＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f（x）＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．

解析：

由f（x＋2）＝f（x），得函数的周期是2.

由ax＋2a－f（x）＝0，

得f（x）＝ax＋2A．

设y＝f（x），则y＝ax＋2a，作出函数y＝f（x），y＝ax＋2a的图象，如图．

要使方程ax＋2a－f（x）＝0恰有四个不相等的实数根，则直线y＝ax＋2a＝a（x＋2）的斜率满足kAH

由题意可知，G（1,2），H（3,2），A（－2,0），

所以kAH＝，kAG＝，所以

答案：

[常用结论——记一番]

1．函数的单调性

在公共定义域内：

（1）若函数f（x）是增函数，函数g（x）是增函数，则f（x）＋g（x）是增函数；

（2）若函数f（x）是减函数，函数g（x）是减函数，则f（x）＋g（x）是减函数；

（3）若函数f（x）是增函数，函数g（x）是减函数，则f（x）－g（x）是增函数；

（4）若函数f（x）是减函数，函数g（x）是增函数，则f（x）－g（x）是减函数．

[提示]　在利用函数单调性解不等式时，易忽略函数定义域这一限制条件．

2．函数的奇偶性

（1）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：

f（x）±f（－x）＝0，＝±1；

（2）设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

3．有关函数f（x）周期性的常用结论：

（1）若f（x＋a）＝f（x－a），则函数f（x）的周期为2|a|；

（2）若f（x＋a）＝－f（x），则函数f（x）的周期为2|a|；

（3）若f（x＋a）＝，则函数f（x）的周期为2|a|；

（4）若f（x＋a）＝－，则函数f（x）的周期为2|a|.

（二）最值函数　大显身手

[速解技法——学一招]

最值函数的定义：

设a，b为实数，则min{a，b}＝max{a，b}＝解有些求最值问题时，巧妙借助以下性质，可如虎添翼．

（1）min{a，b}≤≤max{a，b}；

（2）{a，b}≤≤{a，b}．

[例1]　对于任意x∈R，函数f（x）表示y＝－x＋3，y＝x＋，y＝x2－4x＋3中的最大者，则f（x）的最小值是（　　）

A．2　　　　　　　　　　B．3

C．8D．－1

[解析]　选A　如图，分别画出函数y＝－x＋3，y＝x＋，y＝x2－4x＋3的图象，

得到三个交点A（0,3），B（1，2），C（5,8）．

由图象可得函数f（x）的表达式为

f（x）＝

所以f（x）的图象是图中的实线部分，图象的最低点是B（1,2），所以函数f（x）的最小值是2.

[例2]　已知函数f（x）＝x2－x＋m－，g（x）＝－log2x，min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x>0），则当函数h（x）有三个零点时，实数m的取值范围为（　　）

A．　　　　　　　　B．

C．D．

[解析]　选C　在同一直角坐标系中，作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示．

当两函数图象交于点A（1,0）时，即有1－1＋m－＝0，解得m＝，

所以当函数h（x）有三个零点时，

即为点A和y＝f（x）与x轴的两个交点，

若满足条件，则需

解得

所以实数m的取值范围是.

[经典好题——练一手]

1．设a，b为平面向量，则（　　）

A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2

D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2

解析：

选D　max{|a＋b|2，|a－b|2}≥＝|a|2＋|b|2，故选D.

2．（2017·兰州模拟）记max{a，b}＝，已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c＝λa＋μb（λ≥0，μ≥0，且λ＋μ＝1），则当max{c·a，c·b}取最小值时，|c|＝（　　）

A．B．

C．1D．

解析：

选A　如图，设＝a，＝b，

则a＝（1,0），b＝（0,2），

∵λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1，∴0≤λ≤1.

又c＝λa＋μb，

∴c·a＝（λa＋b－λb）·a＝λ；

c·b＝（λa＋b－λb）·b＝4－4λ.

由λ＝4－4λ，得λ＝.

∴max{c·a，c·b}＝

令f（λ）＝

则f（λ）∈.

∴f（λ）min＝，此时λ＝，μ＝，

∴c＝a＋b＝.

∴|c|＝＝.

3．设x，y为实数，且5x2＋4y2＝10x，则x2＋y2的最大值为________．

解析：

法一：

5x2＋4y2＝10x⇒4y2＝10x－5x2≥0⇒0≤x≤2.

4（x2＋y2）＝10x－x2＝25－（5－x）2≤25－9＝16⇒x2＋y2≤4.

法二：

5x2－4y2＝10x⇒（x－1）2＋y2＝1，

令x－1＝sinθ，y＝cosθ，θ∈[0,2π]，

则x2＋y2＝（sinθ＋1）2＋2

＝－（sinθ－4）2＋4，

∵－1≤sinθ≤1，∴当sinθ＝1时，x2＋y2取得最大值，即（x2＋y2）max＝4.

答案：

4

（三）应用导数　开阔思路

[速解技法——学一招]

1．函数的单调性与导数的关系

①f′（x）>0⇒f（x）为增函数；

②f′（x）<0⇒f（x）为减函数；

③f′（x）＝0⇒f（x）为常数函数．

2．求函数f（x）极值的方法

求函数的极值应先确定函数的定义域，解方程f′（x）＝0，再判断f′（x）＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．

[例1]　若函数f（x）＝2sinx（x∈[0，π））的图象在切点P处的切线平行于函数g（x）＝2的图象在切点Q处的切线，则直线PQ的斜率为（　　）

A．　　　　　　　　　　B．2

C．D．

[解析]　选A　由题意得f′（x）＝2cosx，g′（x）＝x＋x－.设P（x1，f（x1）），Q（x2，g（x2）），

又f′（x1）＝g′（x2），即2cosx1＝x2＋x－2，

故4cos2x1＝x2＋x＋2，

所以－4＋4cos2x1＝x2＋x－2，

即－4sin2x1＝（x2－x－2）2，

所以sinx1＝0，x1＝0，x2＝x－2，x2＝1，

故P（0,0），Q，故kPQ＝.

[技法领悟]

求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点．

[例2]　已知函数f（x）（x∈R）满足f

（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）<，则不等式f（x2）<＋的解集为________．

[解析]　设F（x）＝f（x）－x，∴F′（x）＝f′（x）－，∵f′（x）<，∴F′（x）＝f′（x）－<0，即函数F（x）在R上单调递减．∵f（x2）<＋，∴f（x2）－

（1）－，∴F（x2）

（1），而函数F（x）在R上单调递减，∴x2>1，即x∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

[答案]　（－∞，－1）∪（1，＋∞）

[例3]　已知函数f（x）＝（ax＋b）lnx－bx＋3在（1，f

（1））处的切线方程为y＝2.

（1）求a，b的值；

（2）求函数f（x）的极值；

（3）若g（x）＝f（x）＋kx在（1,3）上是单调函数，求k的取值范围．

[解]　

（1）因为f

（1）＝－b＋3＝2，所以b＝1.

又f′（x）＝＋alnx＋a－b＝＋alnx＋a－1，

而函数f（x）在（1，f

（1））处的切线方程为y＝2，

所以f′

（1）＝1＋a－1＝0，所以a＝0.

（2）由

（1）得f（x）＝lnx－x＋3，f′（x）＝－1（x>0）．

令f′（x）＝0，得x＝1.

当00；当x>1时，f′（x）<0，

所以f（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，

故f（x）的极大值为f

（1）＝2，无极小值．

（3）由g（x）＝f（x）＋kx，得g（x）＝lnx＋（k－1）x＋3（x>0），g′（x）＝＋k－1，

又g（x）在x∈（1,3）上是单调函数，

若g（x）为增函数，有g′（x）≥0，

即g′（x）＝＋k－1≥0，即k≥1－在x∈（1,3）上恒成立．

又1－∈，所以k≥.

若g（x）为减函数，有g′（x）≤0，

即g′（x）＝＋k－1≤0，即k≤1－在x∈（1,3）上恒成立，

又1－∈，所以k≤0.

综上，k的取值范围为（－∞，0]∪.

[技法领悟]

破解此类问题需注意两点：

（1）求函数的单调区间时应优先考虑函数的定义域；

（2）求得函数在多个区间单调性相同时，区间之间用“，”分割，或用“和”相连，一般不用“∪”．

[经典好题——练一手]

1．f（x）＝x（2016＋lnx），若f′（x0）＝2017，则x0＝（　　）

A．e2B．1

C．ln2D．e

解析：

选B　f′（x）＝2016＋lnx＋x·＝2017＋lnx，由f′（x0）＝2017，得2017＋lnx0＝2017，所以lnx0＝0，解得x0＝1.

2．定义：

如果函数f（x）在[m，n]上存在x1，x2（m

A．B．

C．D．

解析：

选C　因为f（x）＝x3－x2＋a，所以f′（x）＝3x2－2x在区间[0，a]上存在x1，x2（0

令g（x）＝3x2－2x－a2＋a（0

则解得

所以实数a的取值范围是.

3．已知函数f（x）＝－x2＋ax＋1（a>0，b>0），则函数g（x）＝alnx＋在点（b，g（b））处的切线斜率的最小值是________．

解析：

因为f′（x）＝x2－bx＋a，

所以g（x）＝alnx＋＋1.

所以g′（x）＝＋（x>0），

因为a>0，b>0，则g′（b）＝＋＝＋≥2，当且仅当a＝b＝1时取“＝”，

所以斜率的最小值为2.

答案：

2

4．已知函数f（x）＝（x＋1）2ln（x＋1）－x，φ（x）＝mx2.

（1）当m＝时，求函数g（x）＝f（x）－φ（x）的极值；

（2）当m＝1且x≥0时，证明：

f（x）≥φ（x）；

（3）若x≥0，f（x）≥φ（x）恒成立，求实数m的取值范围．

解：

（1）当m＝时，

g（x）＝f（x）－φ（x）＝（x＋1）2·ln（x＋1）－x－，x>－1，

所以g′（x）＝2（x＋1）ln（x＋1）＋（x＋1）2·－1－x＝2（x＋1）ln（x＋1）．

由解得x＝0，

当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

x

（－1,0）

0

（0，＋∞）

g′（x）

－

0

＋

g（x）

极小值

所以函数g（x）的极小值为g（0）＝0，无极大值．

（2）证明：

当m＝1时，令p（x）＝f（x）－φ（x）＝（x＋1）2·ln（x＋1）－x－x2（x≥0），

所以p′（x）＝2（x＋1）ln（x＋1）＋（x＋1）2·－1－2x＝2（x＋1）ln（x＋1）－x.

设p′（x）＝G（x），则G′（x）＝2ln（x＋1）＋1>0，

所以函数p′（x）在[0，＋∞）上单调递增，

所以p′（x）≥p′（0）＝0，

所以函数p（x）在[0，＋∞）上单调递增，

所以p（x）≥p（0）＝0.

所以f（x）≥φ（x）．

（3）设h（x）＝（x＋1）2ln（x＋1）－x－mx2（x≥0），

所以h′（x）＝2（x＋1）ln（x＋1）＋x－2mx.

由

（2）知当x≥0时，（x＋1）2ln（x＋1）≥x2＋x＝x（x＋1），

所以（x＋1）ln（x＋1）≥x，所以h′（x）≥3x－2mx.

①当3－2m≥0，即m≤时，h′（x）≥0，

所以h（x）在[0，＋∞）上单调递增，

所以h（x）≥h（0）＝0，满足题意．

②当3－2m<0，即m>时，

设H（x）＝h′（x）＝2（x＋1）ln（x＋1）＋（1－2m）x，

则H′（x）＝2ln（x＋1）＋3－2m，

令H′（x）＝0，得x0＝e－1>0，

故h′（x）在[0，x0）上单调递减，在[x0，＋∞）上单调递增．

当x∈[0，x0）时，h′（x）

所以h（x）在[0，x0）上单调递减，

所以h（x）

综上，实数m的取值范围为.

[常用结论——记一番]

1．函数极值的判别的易错点

（1）可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f（x）＝x3，f′（0）＝0，但x＝0不是极值点．

（2）极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值．在x0处有f′（x0）＝0是函数f（x）在x0处取得极值的必要不充分条件．

2．函数最值的判别方法

（1）求函数f（x）在闭区间[a，b]上最值的关键是求出f′（x）＝0的根的函数值，再与f（a），f（b）作比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

（2）求函数f（x）在非闭区间上的最值，只需利用导数法判断函数f（x）的单调性，即可得结论．

（四）三角问题　重在三变

[速解技法——学一招]

[例1]　对于锐角α，若sin＝，则cos＝（　　）

A．　　　　　　　　　　B．

C．D．－

[解析]　选D　由α为锐角，且sin＝，

可得cos＝，

所以cos＝sin

＝sin＝－2sincos

＝－2××＝－.

[例2]　若sin2α＝，sin（β－α）＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是（　　）

A．B．

C．或D．或

[解析]　选A　因为α∈，所以2α∈，

又sin2α＝，故2α∈，α∈，

所以cos2α＝－.

又β∈，故β－α∈，

于是cos（β－α）＝－，

所以cos（α＋β）＝cos[2α＋（β－α）]

＝cos2αcos（β－α）－sin2αsin（β－α）

＝－×－×＝，

且α＋β∈，故α＋β＝.

[经典好题——练一手]

1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin的值为（　　）

A．－B．

C．－D．

解析：

选D　由题意可得tanθ＝2，cosθ＝±，

所以tan2θ＝＝－，cos2θ＝2cos2θ－1＝－，

所以sin2θ＝cos2θ·tan2θ＝，

所以sin＝（sin2θ＋cos2θ）＝×＝.

2．（2017·沈阳质检）已知f（x）＝2sin2x＋2sinxcosx，则f（x）的最小正周期和一个单调递减区间分别为（　　）

A．2π，B．π，

C．2π，D．π，

解析：

选B　∵f（x）＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝sin＋1，∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ（k∈Z），得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），令k＝0得f（x）在上单调递减．

3．已知α为锐角，若sin＝，则cos＝________.

解析：

cos＝cos＝sin＝sin＝2sincos，因为α为锐角，sin＝<，所以<α＋<，故cos＝，所以cos＝2××＝.

答案：

4．若0<α<，0<β<，sin＝，cos＝，则cos的值为________．

解析：

由题易知－<－α<，－<－<－，所以cos＝＝，sin＝－＝－，所以cos＝cos＝×＋×＝.

答案：

[常用结论——记一番]

三角公式中常用的变形：

（1）对于含有sinα±cosα，sinαcosα的问题，利用（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，建立sinα±cosα与sinαcosα的关系．

（2）对于含有sinα，cosα的齐次式

，利用tanα＝转化为含tanα的式子．

（3）对于形如cos2α＋sinα与cos2α＋sinαcosα的变形，前者用平方关系sin2α＋cos2α＝1化为二次型函数，而后者用降幂公式化为一个角的三角函数．

（4）含tanα＋tanβ与tanαtanβ时考虑tan（α＋β）＝.

（五）正弦余弦　相得益彰

[速解技法——学一招]

三角函数求值的解题策略

（1）寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；

（2）注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；

（3）对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法．

（4）求角的大小，应注意角的范围．

[例1]　（2017·福州质检）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC＝（acosB＋bcosA）．

（1）求角C；

（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．

[解]　

（1）∵ctanC＝（acosB＋bcosA），

∴sinCtanC＝（sinAcosB＋sinBcosA），

∴sinCtanC＝sin（A＋B）＝sinC，

∵0

∴tanC＝，∴C＝60°.

（2）∵c＝2，C＝60°，

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，

得12＝a2＋b2－ab≥2ab－ab，

∴ab≤12，∴S△ABC＝absinC≤3，

当且仅当a＝b＝2时取“＝”，

所以△ABC的面积的最大值为3.

[例2]　已知向量m＝（2sinωx，cos2ωx－sin2ωx），n＝（cosωx,1），其中ω>0，x∈R.函数f（x）＝m·n的最小正周期为π.

（1）求ω的值；

（2）在△ABC中，若f（B）＝－2，BC＝，sinB＝sinA，求·的值．

[解]　

（1）f（x）＝m·n＝2sinωxcosωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝2sin.

因为f（x）的最小正周期为π，所以T＝＝π.

因为ω>0，所以ω＝1.

（2）设△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，C．

因为f（B）＝－2，所以2sin＝－2，

即sin＝－1，得B＝.

因为BC＝，所以a＝.

因为sinB＝sinA，所以b＝a，得b＝3.

由正弦定理有＝，解得sinA＝.

因为0

得C＝，c＝a＝.

所以·＝cacosB＝××cos＝－.

[经典好题——练一手]

1．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是（　　）

A．直角三角形　　　　　　B．等腰三角形

C．等边三角形D．钝角三角形

解析：

选A　因为＝，由正弦定理得＝，所以sin2A＝sin2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈（0，π），所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．故选A．

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosC＋ccosA＝2bsinA，则A的值为（　　）

A．B．

C．D．或

解析：

选D　由acosC＋ccosA＝2bsinA结合正弦定理可得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBsinA，即sin（A＋C）＝2sinBsinA，故sinB＝2sinBsinA．又sinB≠0，可得sinA＝，故A＝或.

3．非直角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝1，C＝.若sinC＋sin（A－B）＝3sin2B，则△ABC的面积为（　　）

A．B．

C．或D．

解析：

选D