人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》拔高练习.docx

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人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数》拔高练习

《实际问题与二次函数》拔高练习

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系是h＝﹣

+20t+1，若此礼炮在升空到最高处时引爆，到引爆需要的时间为（　　）

A．6sB．5sC．4sD．3s

2．（5分）如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：

m）与水平距离x（单位：

m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（　　）

A．10mB．20mC．15mD．22.5m

3．（5分）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离要s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点）则下列说法正确的是（　　）

A．小球滑行6秒停止B．小球滑行12秒停止

C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点

4．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　）

A．1或﹣3B．﹣3或﹣5C．1或﹣1D．1或﹣5

5．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：

分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（　　）

A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图1）．如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流（如图2），水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是y＝﹣x2+4x+

，那么圆形水池的半径至少为　　米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．

7．（5分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：

米）关于行驶的时间t（单位：

秒）的函数解析式是s＝8t﹣2t2，汽车刹车后停下来前进的距离是　　米．

8．（5分）从地面竖直向上抛出一个小球小球的高度h（单位：

m）与小球运动时间t（单位：

s）之间的关系式是h＝24t﹣4t2，小球运动的高度最大为　　m．

9．（5分）如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为　　．

10．（5分）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣

，当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为　　米．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）某商店购进一批单价为20元的节能灯，如果以单价30元出售，那么一个月内能售出400个根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少10个，设节能灯的销售单价提高x元

（1）一个月内商店要获得利润6000元，并且能尽可能多卖出以推广节能灯的使用，那么节能灯的销售单价应为多少元？

（2）当销售单价为多少元时，该商店一个月内获得的利润最大？

最大利润是多少元？

12．（10分）某商家按市场价格10元/千克在该市收购了1800千克产品，经市场调查：

产品的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但仓库存放这批产品时每天需要支出各种费用合计240元，同时平均每天有6千克的产品损耗不能出售（产品在库中最多保存90天）

（1）设存放x天后销售，则这批产品出售的数量为　　千克，这批产品出售价为　　元；

（2）商家想获得利润22500元，需将这批产品存放多少天后出售？

（3）商家将这批产品存放多少天后出售可获得最大利润？

最大利润是多少？

13．（10分）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是40元．超市规定每箱售价不得少于45元，根据以往经验发现：

当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出20箱．

（1）求出每天的销量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式，并直接写出x的范围；

（2）当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润w（元）最大？

最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关部分规定：

每箱售价不得高于70元．如果超市想要每天获得的利润不低于5120元，请直接写出售价x的范围．

14．（10分）某网店经营一种新文具，进价为20元，销售一段时间后统计发现：

当销售单价是25元时，平均每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，平均每天的销售量就减少10件．

（1）求销售单价x（元）为多少时，该文具每天的销售利润W（元）最大？

并求出W；

（2）为回馈广大顾客同时提高该文具知名度，该网店决定在11月11日（双十一）开展降价促销活动．若当天按

（1）的单价降价m%销售并多售出2m%件文具，求销售款额为5250时m的值．

15．（10分）某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣

+c．

（1）求c的值；

（2）计算铅球距离地面的最大高度．

《实际问题与二次函数》拔高练习

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系是h＝﹣

+20t+1，若此礼炮在升空到最高处时引爆，到引爆需要的时间为（　　）

A．6sB．5sC．4sD．3s

【分析】将关系式是h＝﹣

+20t+1转化为顶点式就可以直接求出结论．

【解答】解：

∵h＝﹣

+20t+1＝﹣

（t﹣6）2+61，

∴当t＝6时，h取得最大值，

即礼炮从升空到引爆需要的时间为6s，

故选：

A．

【点评】本题考查了二次函数的性质顶点式的运用，解答时将一般式化为顶点式是关键．

2．（5分）如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：

m）与水平距离x（单位：

m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（　　）

A．10mB．20mC．15mD．22.5m

【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．

【解答】解：

根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），

则

，

解得：

，

所以x＝﹣

＝

＝15（m）．

故选：

C．

【点评】此题考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．

3．（5分）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离要s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点）则下列说法正确的是（　　）

A．小球滑行6秒停止B．小球滑行12秒停止

C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点

【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案．

【解答】解：

如图所示：

滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键．

4．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　）

A．1或﹣3B．﹣3或﹣5C．1或﹣1D．1或﹣5

【分析】利用配方法可得出：

当x＝m时，y的最小值为1．分m＜﹣3，﹣3≤m≤﹣1和m＞﹣1三种情况考虑：

当m＜﹣3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去；当m＞﹣1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较大值．综上，此题得解．

【解答】解：

∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，

∴当x＝m时，y的最小值为1．

当m＜﹣3时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而增大，

∴9+6m+m2+1＝5，

解得：

m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）；

当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去；

当m＞﹣1时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而减小，

∴1+2m+m2+1＝5，

解得：

m1＝﹣3（舍去），m2＝1．

∴m的值为﹣5或1．

故选：

D．

【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，分m＜﹣3，﹣3≤m≤﹣1和m＞﹣1三种情况求出m的值是解题的关键．

5．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：

分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（　　）

A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟

【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案．

【解答】解：

由题意知，函数p＝at2+bt+c经过点（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5），

则

，

解得：

，

∴p＝at2+bt+c＝﹣0.2t2+1.5t﹣2.2＝﹣0.2（t﹣3.75）2+0.6125，

∴最佳加工时间为3.75分钟，

故选：

C．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图1）．如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流（如图2），水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是y＝﹣x2+4x+

，那么圆形水池的半径至少为　

　米时，才能使喷出的水流不至于落在池外．

【分析】求出函数解析式中y＝0时x的值，结合x＞0可得最终的x的值，从而得出OB的长．

【解答】解：

在y＝﹣x2+4x+

中，当y＝0时，﹣x2+4x+

＝0，

解得x1＝﹣

，x2＝

，

∵x＞0，

∴x＝

，即OB＝

，

∴圆形水池的半径至少为

米时，才能使喷出的水流不至于落在池外，

故答案为：

．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确函数解析式中两个变量的实际意义．

7．（5分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：

米）关于行驶的时间t（单位：

秒）的函数解析式是s＝8t﹣2t2，汽车刹车后停下来前进的距离是　8　米．

【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．

【解答】解：

s＝8t﹣2t2

＝﹣2（t2﹣4t）

＝﹣2（t﹣2）2+8，

故当t＝2时，s最大为8m．

故答案为：

8．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确应用配方法是解题关键．

8．（5分）从地面竖直向上抛出一个小球小球的高度h（单位：

m）与小球运动时间t（单位：

s）之间的关系式是h＝24t﹣4t2，小球运动的高度最大为　36　m．

【分析】直接利用二次函数最值求法得出答案．

【解答】解：

h＝24t﹣4t2

＝﹣4（t2﹣6t）

＝﹣4（t﹣3）2+36，

即小球运动的高度最大为36米．

故答案为：

36．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确运用配方法是解题关键．

9．（5分）如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为　2.25m　．

【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．

【解答】解：

由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，

则设抛物线的解析式为：

y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），

代入（3，0）求得：

a＝﹣

．

将a值代入得到抛物线的解析式为：

y＝﹣

（x﹣1）2+3（0≤x≤3），

令x＝0，则y＝

＝2.25．

则水管长为2.25m．

故答案为：

2.25m．

【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．

10．（5分）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣

，当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为　20　米．

【分析】根据题目中的函数解析式和题意，将y＝﹣4代入函数解析式，求出相应的x的值，从而可以得到AB的长．

【解答】解：

当y＝﹣4时，

﹣4＝﹣

，

解得，x1＝﹣10，x2＝10，

∴当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为：

10﹣（﹣10）＝20（米），

故答案为：

20．

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）某商店购进一批单价为20元的节能灯，如果以单价30元出售，那么一个月内能售出400个根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少10个，设节能灯的销售单价提高x元

（1）一个月内商店要获得利润6000元，并且能尽可能多卖出以推广节能灯的使用，那么节能灯的销售单价应为多少元？

（2）当销售单价为多少元时，该商店一个月内获得的利润最大？

最大利润是多少元？

【分析】

（1）设销售单价为x元，根据题意列出方程求解即可；

（2）设销售利润为y元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．

【解答】解：

（1）设日光灯销售单价为x元，

根据题意，得：

（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）]＝6000，

解得：

x1＝50，x2＝40，

∵尽可能多卖出以推广节能灯的使用，

∴x取40，

∴节能灯的销售单价应为40元；

（2）设销售利润为y元，根据题意得：

y＝（x﹣20）[400﹣10（x﹣30）]

＝（x﹣20）（700﹣10x）

＝﹣10（x﹣45）2+6250，

∵﹣10＜0，

∴x＝45时，y有最大值，最大值为6250，

45﹣30＝15，

所以，销售单价提高15元，才能在半月内获得最大利润6250元．

【点评】本题考查了二次函数计一元二次方程的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．

12．（10分）某商家按市场价格10元/千克在该市收购了1800千克产品，经市场调查：

产品的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但仓库存放这批产品时每天需要支出各种费用合计240元，同时平均每天有6千克的产品损耗不能出售（产品在库中最多保存90天）

（1）设存放x天后销售，则这批产品出售的数量为　（1800﹣6x）　千克，这批产品出售价为　（10+0.5x）　元；

（2）商家想获得利润22500元，需将这批产品存放多少天后出售？

（3）商家将这批产品存放多少天后出售可获得最大利润？

最大利润是多少？

【分析】

（1）根据“销售价格＝市场价格+0.5×存放天数，销售数量＝原购入量﹣6×存放天数”列出代数式即可；

（2）按照等量关系“利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用”列出函数方程求解即可；

（3）根据等量关系“利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用”列出函数关系式并求最大值．

【解答】解：

（1）存放x天后销售价格为：

10+0.5x；

销售数量为：

1800﹣6x；

故答案为：

（10+0.5x），（1800﹣6x）；

（2）由题意y与x之间的函数关系式为y＝（10+0.5x）（1800﹣6x）＝﹣3x2+840x+18000（1≤x≤90，且x为整数）；

﹣3x2+840x+18000﹣10×1800﹣240x＝22500

解方程得：

x1＝50，x2＝150（不合题意，舍去）

故需将这批产品存放50天后出售；

（3）设利润为w，由题意得

w＝﹣3x2+840x+18000﹣10×1800﹣240x＝﹣3（x﹣100）2+30000

∵a＝﹣3＜0，

∴抛物线开口方向向下，

∴x＝90时，w最大＝29700，

∴商家将这批产品存放90天后出售可获得最大利润，最大利润是29700元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法，根据函数关系式求出以及最值公式求出是解题关键．

13．（10分）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是40元．超市规定每箱售价不得少于45元，根据以往经验发现：

当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出20箱．

（1）求出每天的销量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式，并直接写出x的范围；

（2）当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润w（元）最大？

最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关部分规定：

每箱售价不得高于70元．如果超市想要每天获得的利润不低于5120元，请直接写出售价x的范围．

【分析】

（1）根据“当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出20箱”即可得出每天的销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式；

（2）根据二次函数的最值问题解答；

（3）先由

（2）中所求得的w与x的函数关系式，根据这种糕点的每箱售价不得高于70元，且每天销售水果的利润不低于5120元，求出x的取值范围．

【解答】解：

（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45＜x＜80）；

（2）设每天的利润为w元，

根据题意得，w＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20（x﹣60）2+8000

当x＝60时，

w有最大值为8000元；

（3）令w＝5120，则﹣20（x﹣60）2+8000＝5120，

解得x1＝48，x2＝72

∵x≤70，

∴48≤x≤70，

故售价x的范围为：

48≤x≤70．

【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒糕点所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．

14．（10分）某网店经营一种新文具，进价为20元，销售一段时间后统计发现：

当销售单价是25元时，平均每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，平均每天的销售量就减少10件．

（1）求销售单价x（元）为多少时，该文具每天的销售利润W（元）最大？

并求出W；

（2）为回馈广大顾客同时提高该文具知名度，该网店决定在11月11日（双十一）开展降价促销活动．若当天按

（1）的单价降价m%销售并多售出2m%件文具，求销售款额为5250时m的值．

【分析】

（1）首先确定有关利润与售价x之间的二次函数，配方后即可确定最大利润；

（2）首先确定原来的销售量，然后销售量×单件利润＝总利润列出方程求解即可．

【解答】解：

（1）∵销售量＝250﹣10（x﹣25）＝500﹣10x，

∴总利润＝（x﹣20）（500﹣10x）

＝﹣10x2+700x﹣10000

＝﹣10（x﹣35）2+2250

∴当x＝35时，最大利润为2250元．

（2）原来销售量500﹣10x＝500﹣350＝150，

35（1﹣m%）150（1+2m%）＝5250

设m%＝a，

∴（1﹣a）（1+2a）＝1，

解得：

a＝0或a＝

，

∵要降价销售，

∴a＝

，

∴m＝50．

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，二次函数的性质的运用，解答时根据条件建立方程是解答本题的关键．

15．（10分）某运动员在推铅球时，铅球经过的路线是抛物线的一部分（如图），落地点B的坐标是（10，0），已知抛物线的函数解析式为y＝﹣

+c．

（1）求c的值；

（2）计算铅球距离地面的最大高度．

【分析】

（1）把（10，0）代入函数关系式进而得出答案；

（2）直接利用对称轴的值，代入函数关系式进而得出答案．

【解答】解：

（1）把（10，0）代入y＝﹣

+c，

解得：

x＝

；

（2）当x＝﹣

＝4时，y最大＝﹣

×16+

×4+

＝4，

所以铅球距离地面的最大高度为3m．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确掌握求最值的方法是解题关键．