难点突破：立体图形的外接球与内切球问题.docx

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2019届高三数学第一轮复习教学案18：

难点突破：

立体图形的外接球与内切球问题

一、基础知识与概念：

1．球的截面：

用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆．

大圆：

截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：

截面不过球心．

2．球心和截面圆心的连线垂直于截面．

3．球心到截面的距离与球半径及截面圆半径的关系：

．

4．几何体的外接球：

几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：

球与几何体的各个面都相切．

二、多面体的外接球（球包体）

模型1：

球包直柱（直锥）：

有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）

球包

直柱

球径公式：

，

（为底面外接圆半径）

球包正方体

球包长方体

球包四棱柱

球包三棱柱

球包直锥

三棱锥

四棱锥

速算

模型2：

“顶点连心”锥：

锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）

实例：

正棱锥

球径计算方程：

，

（为棱锥的高，为底面外接圆半径）

特别地，

（1）边长为正四面体的外接球半径：

______________．

（2）底面边长为，高为的正三棱锥的外接球半径：

__________．

（3）底面边长为，高为的正四棱锥的外接球半径：

__________．

例：

1．（2017年全国卷III第8题）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A． B． C． D．

【解析】模式辨识：

“球包体”中的“垂底侧边棱（母线）”类型，，，底面半径为，则由得：

，．

2．（2010年全国新课标卷第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

A． B． C． D．

【解析】“球包体”中的“垂底侧边棱”类型，，，，

所以该球的表面积．答案B．

3．（2014年全国大纲卷第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为

A． B． C． D．

【解析】模式辨识：

“球包体”中的“顶点连心锥”，，，则，

所以，答案：

A．

4．（2013年全国卷I第6题）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6，如果不计容器的厚度，则球的体积为

A． B． C． D．

【解析】设水面与球的接触点（切点）为，球心为，则垂直于正方体的上表面，依题意到正方体上表面的距离为，球与正方体上表面相交圆的半径，有：

，

，所以球的体积．

三、定心大法：

球心在过截面圆的圆心且垂直于截面圆所在平面的直线上．

两圆定心法：

如下图，过两个截面圆的圆心分别作相应截面圆的垂线，由两垂线的交点确定圆心．

例2：

1．已知边长为的棱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为，此时点，，，在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

2．在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为___________．

3．在边长为的菱形中，，沿对角线将菱形折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为_____________．

四、正多面体的内切球（体中球）

锥体的内切球：

____________．

圆锥的内切球：

边长为的正方体：

等边圆柱（母线）：

．

边长的正八面体：

五、正多面体的“切边球”（与所有的棱都相切的球）

正四面体边长为，球半径

正方体边长为，球半径

正四面体边长为，球半径

例3：

1．一个球的外切正方体的全面积为，则球的体积为_________．

2．某圆锥的截面为边长为的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______．

3．（2016年全国卷III第10题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是

A． B． C． D．

【解析】考查直三棱柱中截面的内切圆为球的大圆的情景，有，故当球半径为时球的体积最大为．答案B．

练习：

1．（2015年全国卷II第9题）已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为

A． B． C． D．

2．（2016年福建漳州市5月质检）三棱锥中，平面，，是边长为的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

3．（2014年湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）

A． B． C． D．

4．（2013年辽宁卷理10）已知三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为（ ）

A． B． C． D．

5．（2012年全国新课标卷第11题）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为

A． B． C． D．

6．在正三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．

7．已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）

A． B． C． D．

8．（2017年福建省质检）．空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E、F分别是AB、CD的中点，且，若，则该球的半径等于

A． B． C． D．

9．若三棱锥的最长的棱，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是__________．

10．（2008年高考浙江卷理14）已知球的面上四点、、、，平面，，，则球的体积为____________．

11．（2016年东北三省三校联考）三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为____________．

12．在三棱柱中，侧棱垂直底面，，，，且三棱柱的体积为，则三棱柱的外接球表面积为_________．

13．在正三棱锥中，，分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是____________．

14．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为__________．

15．（2017年天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的体积为______．

16．（2017年江苏卷）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是_____________．