四年级等差数列求和.docx

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四年级等差数列求和

第3讲：

等差数列求和

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

1+2+3+4+,,+99+100=?

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？

原来小高斯通过细心观察发现：

1+100=2+99=3+98=,,=49+52=50+51。

1〜100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）X1004-2=5050o

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列'的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项,最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：

等差数列的和=（首项+末项）X项数*2

末项=首项+公差X（项数一1）

1/13

项数=（末项一首项）十公差+1

例1:

计算下列数列的和

（1）1,2,3,4,5,,,,100；

（2）8,15,22,29,36,71。

其中

（1）是首项为1,末项为100,公差为1的等差数列；

（2）是首项为8,末项为71,公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和二（首项+

末项）X项数一2

随堂小练：

计算等差数列1,3,5,7,9,”,99的和

例2：

计算下面数列的和

1+2+3+,,+1999

分析：

这串加数b2,3,1999是等差数列，首项是1,末

项是1999,共有1999个数。

由等差数列求和公式可得

解：

原式二（1+1999）X19994-2=1999000

注意：

利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例3：

计算下面数列的和

11+12+13+,,+31

分析：

这串加数11,12,13,,,,31是等差数列，首项是11,末项是31,共有31-11+1=21（项）。

解：

原式二（11+31）X214-2=441

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）三公差+1,末项二首项+公差X（项数-1）。

例4：

计算下面数列的和

3+7+11+,,+99

分析：

3,7,11,,,,99是公差为4的等差数列，项数二（99一3）4-4+1=25

解：

原式二（3+99）X254-2=1275

例5:

求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。

解：

末项二25+3X（40-1）=142,和二（25+142）X40—2=3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，也可以解决各种与等差数列求和有关的问题。

随堂小练：

（1）求等差数列：

1、3、5、7、9……它的第21项是多少?

（2）求等差数列：

2、6、10、14、18……它的第60项是多少?

例6：

己知数列2、5、8、11、14……35,这个数列共有多少项？

分析：

第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差……，那第n项比首项多5-1）个公差。

可根据，项数=（末项一首项）宁公差+1进行计算，（35-2）宁3+1=12。

所以，这个数列共有12项。

由此可知：

项数二（末项一首项）一公差+1

随堂小练：

（1）有一个等差数列：

1、3、5、7、9……99,这个等差数列共

有多少项？

（2）有一个等差数列：

2、5、8、11……101,这个等差数列共

有多少项?

例7：

在下图中，每个最小的等边三角形的而积是12厘米2,边长是1根火柴棍。

问：

（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？

（2）整个图形由多

少根火柴棍摆成?

分析：

最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目为1、3、5、7、9等，由此可知，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。

解：

（1）最大三角形而积为（1+3+5+,,+15）X12=[（1

+15）X84-2]X12=768（平方厘米）

2）火柴棍的数目为3+6+9+,,+24=（3+24）X84-2=108

（根）。

答：

最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。

例8：

盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里“第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只乒乓球？

分析：

一只球变成3只球，实际上多了2只球。

第一次多了2只球，第二次多了2X2只球,，”第十次多了2X10只球。

因此拿了十次后，多了2Xl+2X2+,,+2X10=2X（1+2+,,+10）=2X55=110（只）。

加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113（只）。

解：

综合列式为：

（3-1）X（1+2+,,+10）+3

=2X[（1+10）X104-2]+3

=113（只）

课后练习:

1、求下列等差数列的和。

（1）6+7+S+9+……+74+75

（2）2+6+10+14+……+122+126

（3）1+2+3+4+……+2007+2008

2、有一个数列,4、10.16、22……52,这个数列有多少项?

3、一个等差数列，首项是3,公差是2,项数是10o它的末项是多

少？

4、求等差数列1.4、1、10……,这个等差数列的第30项是多少?

5、有一个数列：

6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是

多少？

6、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？

第50

项是多少？

7、求1——99个连续自然数的所有数字的和。

8己知等差数列5,8,11…,求岀它的第15项和第20项。

9、按照1.4.7、10、13…，排列的一列数中，第51个数是多少？

10、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？