B.t1>t2>t3
C.t3>t1>t2
D.tl=t2=t3
解析：
选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图
定律得，
2，由牛顿第二
mgcos
ma①由几何关系，细杆长度L2Rcos
设下滑时间为t，贝UL-at2③
2
R
由以上三式得，t2.「一可见下滑时间与细杆倾角无
\g
以D正确。
若将图1倒置成图3的形式，同样可以证明物体从最高点
关，所
止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
结论：
①物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑,
到达圆周最低点的时间
相等。
②物体沿着位于同一竖直圆上的过顶点的所有光滑弦由静止下滑，到达圆
周低端的时间相等。
我们把这两种圆叫做“等时圆”，下面举例说明“等时圆”
的应用。
图4
例1:
如图4所示，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A
分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成
的面是（）
A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定
解：
由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以
A正确。
例2:
两光滑斜面的高度都为h,甲、乙两斜面的总长度都为I,
只是乙斜面由两部分组成，如图5所示，将两个相同的小球从斜
面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球
先到达斜面底端？
解：
构想一辅助圆如图6所示：
在AF上取一点0,使0A=0C，
以0点为圆心，以0A为半径画圆，此圆交AD于E点。
由“等时圆”可知，tActAE，
由机械能守恒定律可知：
VcVe，VbVd，所以VbcVed。
又因为两斜面的总长度相
等，所以Sbc
Sde，根据V
t得,tBC
tED，所以有t甲
t乙，即乙球先到达斜面底端。
2•在离坡底B为10cm的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高0A也是10cm。
杆的上端A到坡底B之间有钢绳，一穿心于钢绳上的物体（如图11）从A
点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s2）
答案：
如图12，把A0延长到C，使0C=0A=10cm
，则点0到A、
B、C三点的距
离相等。
以0为圆心，0A为半径作圆，则
B、C一定在该圆的圆周上，由结论可知，物体
间与从A到
tABtAC_2AC/g
220/102s。
【例1】倾角为30
的长斜坡上有C、O、B三点，CO=
B
C的时间
在C点竖直地固定一长10m的直杆AO。
A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢
绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图1所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g=10m/s2）
A.2s和2sB.、2s和2s
解析：
由于CO=OB=OA，故A、B、C三点共圆，O为圆
C.■,2s和4sD.4s和2s
12
2rcosgcos?
t
2a
解得：
t借，钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角“无
选项A正确。
关，且都等于由A到D的自由落体运动时间。
代入数值得t=2s,
2、运用等效、类比自建“等时圆”
例3:
如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h,B点离地高度为H，现在要
在地面上寻找一点P,使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开
始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离OP。
解析：
由“等时圆”特征可知，当即能满足题设要求。
如图6所示，此时等时圆的半径为:
h
RO,PH-
2
所以OPJr2（h）2JH7H~h）
例2:
如图2,在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。
求小环从A滑到B的时间。
【解析】：
可以以0为圆心，以L为半径画一个圆。
根据“等
时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径
解析：
以C为圆心作一个参考园。
由结论知，小球自A到B运动
的时间与自A到B自由落体运动的时间相等。
即
AE=2R=0.2m
AE=2gt2
t=0.2s
AE滑行的时间•技术人员通过测量
4、如图4所示，在离坡底15m的山坡上竖直固定一长15m的直杆
AO，A端与坡底B间连有一钢绳，一穿于钢绳上的小球从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求其在钢绳上滑行的时间tO
例5、图甲是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分
绘制出如图乙所示的示意图.AC是滑道的竖直高度，D点是AC竖直线上的一点，且有AD=DE=10m,
滑道AE可视为光滑，滑行者从坡顶A点由静止开始沿滑道AE向下做直线滑动，g取10m/s2，则滑行者
在滑道AE上滑行的时间为（）
A.sB.2s
C.s
D.2s
【解析】
AE两点在以D为圆心、半径为R=10m的圆上，在AE上的滑行时间与沿AD所在的直径自
4R
由下落的时间相同，t="「—J=2s，选B.
1
例4、如图所示，圆弧AB是半径为R的-圆弧，在AB上放置一光滑木板BD,一质量为m的小物体在BD
4
卜求：
小物体在BD上下滑过程中重力做功的平均功率.
【解析】由动能定理可知小物体从D到C有Wg—呵gL=0,所以Wg=pmgL
由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B点
的时间，即为
，所以小物体在木板
BD上下滑过程中，重力做功的
平均功率为
Wg
图7
例3:
如图7,—质点自倾角为的斜面上方的定点0沿光滑斜槽0P从静止开始下
滑，为使质点从0点滑到斜面的时间最短，则斜槽与竖直方向的夹角应为多大？
解：
如图7,作以0P为弦的辅助圆，使圆心O’与0的连线在竖直线上，且与斜面相切于P点。
由“等时圆”可知，唯有在0点与切点P点架设的斜槽满足题设条件，质点沿其它斜槽滑至斜面的时间都大于此时间。
由图可知，P0A，又OOP为等腰三角形，
所以一
2
与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P
处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的
夹角应为多大？
P
例4:
如图7,AB是一倾角为B的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P
解析：
借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切,
如图所示，C为切点，0为圆心。
显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时
上所用时间最短，需沿着PC建立管道。
由几何关系可得：
PC与竖直方向间的夹角等于B/2。
如图8所示，设P到斜面距离为h，则轨道长度为
的时间t最小。
再用“等时圆”作图求解。
以定点P为“等时圆”最高点，作出系列半径r不同（动态
的）“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上，如图9中甲所示，则轨
道长度均可表示为PM2Rcos物体沿轨道下滑的加速度agcos
由于PM
2川，故得：
t叮，
欲t最小，则须“等时圆”的半径r最小。
显然，半径最小的“等时圆”在图中与斜面相切于M2点，如图9中乙所示。
再根据几何关系可知：
2
图9
在这里，用了转化的思想，把求最短时间转化为求作半径最小的“等时圆”，避免了用解析法求解的复杂计算。
例4:
如图5所示，在倾角为的传送带的正上方，有一发货口A。
为了使货物从静止开始，由A点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角应为多少？
【解析】：
如图6所示，首先以发货口A点为最高点作一个圆0与传送带相切，切点为B，然后过圆心0画一条竖直线AB/，而连接A、B的直线，就是既过发货口A，又过切点B的惟一的弦。
根据“等时圆”的规律，货物沿AB弦到达传送带的时间最短。
因此，斜槽
应沿AB方向安装。
AB所对的圆周角B为圆心角的一半，而圆心角又等于a，所
1
以2。
如图3所示，在一个坡面与水平面成B=40°角的山坡AB的脚下A处有一个高塔，为防
止意外，需要在塔顶0与山坡之间搭一个滑道，以便塔上的人能尽快沿滑道滑到山坡上•假
设滑道光滑，试求滑道与山坡坡面AB的夹角多大？
解析如图4所示，过0点作一条水平线与山坡交于B点，过B点作/ABO的角平分线，交过0点作的竖直线于点C,以点C为圆心、0C为半径作圆与山坡相切于点D，连接0D、CD.
根据上述结论可知：
人从0点出发沿滑道到达圆上的时间是相等的，沿滑道0已到达
山坡，沿其他滑道还要再走一段距离才能到达山坡，所以人沿滑道0D到达山坡所用时间
最短，此时夹角B=90°—9=70°
另解如图5所示，过点0作山坡的垂线0D，设其长度为X.过点0画直线0E,作为滑道，设其与竖直方向的夹角为9•由几何知识可知滑道的长度0E=xcos（a—9）,由牛顿第二运动定律得人运动的加速度为a=gsin（90°—9,由运动学公式有
xcos（a—9）=12gcos92,
解得t=2xgcos9cos（a—9）,
其中cos9cos（a—9）=12[cosa+cos（29—a）],
所以当29=a=40°时，时间取得最小值，此时夹角=90°—970.
三、“形似质异”问题的区分
如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。
每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），
三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）,用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的
时间，则（）
A.t1D.t1=t2=t3
解析：
选任一杆上的环为研究对象,设圆半径为R，由牛顿第二定律得，
mgcosma
再由几何关系，细杆长度L2Rcos②
设下滑时间为t,则L1at2③
2
以D正确。
由此题我们可以得出一个结论。
结论：
物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。
推论：
若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。
象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。
关于它在解题中的应用，我们看下面的例子:
【例1】还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为□，小滑环分
别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等?
a=gcos0-（igsin0,
b、c所用的时间，则
解析：
bd的长为2Rcos0,bd面上物体下滑的加速度为
显然，0到f、b、g、e才是等时的，比较图示位移Oa>Of,OcvOg,故可推知t1t2t3,
正确的选项是B。
【例3】如图5所示，在竖直面内有一圆，圆内OD为水平线，圆周上有三根互成300的光滑杆OA、OB、OC，每根杆上套着一个小球（图中未画出）。
现让一个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到O,所用的时间分别为tA、tB、tc，则（）
AtAtBtcBtAtBtcCtAtBtcD无法确定
解析：
题设图中O点不在圆的最低点，故不是“等时圆”。
延长
OA，过B作B/B丄BO，贝UO、B、B/在同一圆周上，B处自由下落到
图5
图6
O的时间和小球沿光滑杆由B无初速滑到O的时间相同。
同理，过C作C/C±CO,贝yO、C、C/在同一圆周上，C/处自由下落到O的时间和小球沿光滑杆由C无初速滑到O的时间相同。
C/、B/、A自由下落到O的时间依次递减，故选项B正确。
3延伸
如图6所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一
圆周上，0点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点•每根杆上都套着一个光滑小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A处从静止开始释放，用t1、t2、t3依次表示滑环到达B、C、
D所用的时间，则三个时间的关系是什么？
解析A不在圆的最高点，前面的结论直接用是不行的•可以采用如下的方法解决•如图7所示，过点A作竖直线交AB的垂直平分线于点01，以01为圆心、01A为半径画圆交AB于B、分别交AC、AD的延长线于C1、D1.在圆ABC1D1中用前面的结论可知，所以
t1>t2.不可以根据CC1另解假设圆的半径为R,建立如图8所示的直角坐标系•连接A0并假设其与x轴的夹角为a,贝yA点的坐标为（Rcosa,Rsina）.设直线AB与x轴的夹角为B,则直线AB的斜率为k=tan直线AB的方程为y—sina=tan0（x—cosa）,
整理变形有xtan0—y+sina—tan0cosa=0,
由数学知识可知，坐标原点到直线AB的距离为OE=|sina—tan0cosa|1+tan20,
由几何知识解得BE2=R2（1—sin2a+tan20cos2a—2sinacosatan01+tan20）,
整理得BE=（cos0cosa+sinasin0）R,
由牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsin0,
由运动学公式有2BE=12gsin02,
解得小环运动时间为t=4R（cosacos0+sin久sin0）gsin0
=4Rg（cosacot0+sina）,所以0增大，时间减小，t1>t2>t3.
当式中a=90。
时，t=2Rg，与倾角、杆长无关，就是前面推导的等时圆规律
说明2如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为卩.环处于加速下滑的条件是卩
2BE=12（gsin0—^gcos0）t2,解得环运动时间
t=4R（cosacos0+sin%sin0）gsinB—^gcos0,变形为t=4Rg（cosatan0—^+sinal—^tan0）,由此式可知：
0增大，时间t减小，艮卩t1>t2>t3.
当式中a=90。
或a—90°、=0时，时间t=2Rg.可见等时圆规律适用的条件是：
细杆光滑、A点为圆周的最高点或最低点四、比较应用等时圆模型解典型例题
如图9，底边为定长b的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静
止滑到底端，至少需要多少时间？
答案：
用作图求解。
如图10,以b为半径、O为圆心作一个圆，作出圆的一条竖直切线MN，于圆切于D点。
A点为所作圆的最低点。
由图可看出：
从MN上不同的点由静止滑到A点，以DA时间为最短。
（由“等时圆”可知，图中E、D、C各点到达A的时间相等。
）所以小球从
底边b为定长的光滑直角斜面上滑下时以45。
的时间为最少，而且此时间
与球从P点自由下落到圆最低点的时间相等。
所以tmin:
一
\g
2.有三个光滑斜轨道1、2、3，它们的倾角依次是60°,450和30°,
这些轨道交于O点•现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道
同时从静止自由下滑，如图，物体滑到O点的先后顺序是B
A.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同时到达
解析：
设斜面底边长为I，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为agsin，物
2
gsint，cos2
45时，tmin匹
Vg
可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。
设圆柱底面半径
r14R
为R,贝U=—gsin0t2,t2=,当0=450时，t最小，当0=300和600时，sin2
cos2gsin2
0的值相等。
例3:
如图3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水
是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。
试分析和解：
在屋顶宽度（21）一定的条件下，屋顶的
倾角应该多大？
雨水流下的最短时间是多少？
体的位移为XI..COS。
物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得
得t一2141—，I、g一定，所以当
\gsincosVgsin2
角函数表达）
又PMlat2
2
之间的函数关系，再利用数学工具求极值，但计算相当复杂。
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